初中数学专项练习17-勾股定理-重难点题型

勾股定理一重难点题型

【知识点1勾股定理】

在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方,如果直角三角形的两条直角

边长分别是a,b,斜边长为C,那么出+肥”2.

【题型1勾股定理的认识】

【例1】（2021春•路南区校级月考）在Rt△人8C中，ZC=90°.

（1）已知a：b=3：4,c=10,则〃=,h=；

（2）已知〃=6,b=8,则斜边c上的高力=.

【变式1-1］（2020秋•本溪期末）在RlZ\ABC中，斜边4B=3,则AB，BC2+C42=.

【变式1-2］（2021春•广州期中）在aABC中，ZA=25°,/8=65°,则下列式子成立的是（）

A.AC1+AB2=BC2B.AB2+BC2=AC2

C.AC2-BC2=AB2D.AC2+BC2=AB2

【变式1-3］（2020春•灵山县期末）在直角三角形"C中，NC=90°,两直角边长及斜边上的高分别为

a，b,h,则下列关系式成立的是（）

A-/+正=^B.京+记=后

C.Ii1=abD.h2=a1+b2

【题型2利用勾股定理解勾股树问题】

［例2］（2020秋•惠来县期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面

积是（）

A.16B.25C.144D.169

【变式2-1】（2021春•海淀区校级月考）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,

其中最大的正方形的边长为8c〃z,则图中所有正方形的面积的和是（）

C.128cm2D.192cm2

【变式2-2］（2021春•汉阳区期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三

角形都是直角三角形，若正方形A，B,C,D的面枳分别为6,10,4,6,则最大正方形E的面积是（）

C.22D.16

【变式2-3］（2021春♦天津期中）如图，已知在RlZXABC中，NACB=90°,分别以AC,EC,/W为直

径作半圆，面积分别记为S,S2,S3,若S3=9m则S1+S2等于

【题型3利用勾股定理求线段长度】

【例3】（2020秋♦新吴区期中）己知△人8。中，/W=17,AC=IO,8。山上的高从〃=8,则的长是

()

A.21B.15C.6D.21或9

【变式3-1](2021春•庆云县月考)在RtaAAC中，ZC=90),AB=25cnhAC=\5cm,CH_LA8垂足

为H,CH=

Bi

【变式3-2］（2021春♦天津期中）如图，已知在RtZ\A8C中，ZACB=90°,AC=9,8c=12,AB的垂

直平分线交48于点4交RC于点E,则BE的长为.

【变式3-3］（2020秋•上海期末）如图，在△ABC中，NACB=90°,COJ_AB于点。，如果AC=6,AD

=3,那么BD=

【例4】（2020秋•青羊区校级明末）如图，在△A8C中，ZB=90°,48=6,BC=8,4。为NBAC的

角平分线，则三角形AOC的面积为（)

C.12D.15

【变式4-1］（2020秋•肥西县期末）如图，在RtAABC中，ZC=90°,AQ平分NZMC交8c于点£）.若

BC=3,且80：DC=5：4,AB=5,则△A8D的面积是.

【变式4-2]（2020秋•锦江区校级期中）己知△AZ?C中，27=17,Z?C=21,C4=10,求4C边上的高及

△A3c的面枳、

【变式4-3]（2020秋•中原区校级月考）如图所示，在△A8C中，点。是8C上的一点，已知4C=CO

D.125

【知识点2勾股定理的验证】

勾股定理的验证主要通过捱图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积

之间的关系为依据来实现的.用面积方法证明勾股定理是最常见的一种方法.

【题型5勾股定理的验证】

[例I]（2021春♦海淀区校级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上

第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端.下面四幅图中，不能证明公股定理的是

()

【变式5-1]（2020秋•中牟县期中）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理,

其中两个全等的直角三角形的边AE,跖在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（）

A.S^EDA=S^,CEBB.S^EDA+SACDE+SACEB=S四过形ABCD

C.S^EDA+S^CEB=S^CDED.S四边形AE€O=S四边形OE/JC

【变式5-2】（2020秋•仓山区校级期末）在学习勾股定理时，我们学会运用图（I）验证它的正确性.图

中大正方形的面积可表示为（好力）2,也可表示为c?+4x）如即（a+b）2=C2+4XLb.由此推出勾股

定理J+庐=»这种方法可以极简单地直观推论或验证出数学规律和公式.

(I)请你用图(II)的面积表达式验证勾股定理(其中四个全等的直角三角形困成一个大正方形ABCD,

中间的部分是〜个小正方形EFGH,AE=(i,BE=b,AB=c)；

(2)请你用图(III)提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：(x+)，)2=/+2X.V，+『.

(1)(R(in)

【变式5-3](2020春•包河区校级期中)教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我

们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图(如图①，其

中四个史角三角形较大的宜.角边长都为小较小的直角边长都为江斜边长都为c),大正方形的面积

可以表示为c)，也可以表示为Qa-b)2,由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条

直角边长为小b,斜边长为C,则。2+序=°2

(I)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理.

(2)如图③，在△相€?中，人。是AC边上的高，AI3=4,4c=5,BC=6,设求x的值.

(3)试构造一个图形，使它的面积能够解释(a+b)Ca+2b)=a2+3,ab+2b2,画在如图4的网格中，并

标出字母。，〃所表示的线段.

【知识点3勾股定理的应用】

(I)在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形.

（2）在应用勾股定理解次实际问题时勾股定理与方程的结合是解次实际问题常用的方法，关键是从题中

抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.

【题型6勾股定理的应用】

【例6】（2021春•涪城区校级期中）如图，有一直立标杆，它的上部被风从8处吹折，杆顶C着地，离

杆脚2〃?，修好后又被风吹折，因新断处。比前一次低0.5〃?，故杆顶E着地比前次远求原标杆的

高度.

【变式6-1］（2021春•永定区期中）如图，木工师傅将一根长2.5米的梯子（A8）,斜靠在与地面（OM）

垂直的墙（CW）上，这时梯足B到墙底端O的距离是0.7米，如果梯子的顶端4沿墙下滑0/米到点4'

时，梯足将外移多少米？

【变式6-2］（2020秋•沙坪坝区期末）如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项FI，工作

人员告诉小敏，该项FI48段和8c段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质

平台的主视图.小敏经过现场测量得知：CD=1米，AZ）=15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为

10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱A8段的正确长度.

【变式6-3］（2021春•南川区期中）为了积极宣传防疫，南川区政府采用了移动车进行广播，如图，小明

家在南大街这条笔直的公路MN的一侧点4处，小明家到公路MN的距离为600米，假使广播车P周

围1000米以内能听到广播宣传，广播车P以250米/分的速度在公路MN上沿尸N方向行坡时，若小明

此时在家，他是否能听到？若能，请求出他总共能听到多长时间的广播？

MPBQN

勾股定理-重难点题型（解析版）

【知识点1勾股定理】

在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方,如果直角三角形的两条直角

边长分别是a,b,斜边长为C,那么出+肥”2.

【题型1勾股定理的认识】

【例1】（2021春•路南区校级月考）在Rt△人8C中，ZC=90°.

（1）已知a：b=3：4,c=10,则〃=,h=；

（2）已知〃=6,b=8,则斜边c上的高力=.

【分析】（1）设。=3女，则6=4亿由勾股定理求出。=5女，再根据c=10求出攵的值，进而得到。与

〃的值；

（2）首先根据勾股定理求得斜边c=10；然后由面积法来求斜边上的高线.

【解答】解：（I）设a=3k,贝1」。=4匕

•・・在n△ABC中，ZC=90°,

Ac=Va2+b2=7（3k）2+（4/c）2=5匕

Vc=10,

，5A=1O,

解得2=2,

・"-3乂2-6,4X2-8；

(2)•・•在RtZ\A8C中，ZC=90°,a=6,b=8,

c=yJa2+b2=V62+82=10.

设斜边上的高为力，则”?=,

..ab6x8.0

••仁T=R=4.8.

故答案是:6,8；4.8.

【点评】本题考查了勾股定理的运用，直角三角形面积的求法，需同学们灵活掌握.注意:

（1）中可根据勾股定理求出己知边所占的份数，进•步求解：

（2）中掌握直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边.

【变式1-1］（2020秋•本溪期末）在Rh^/WC中，斜边AB=3,则482+3。2+82=.

［分析］由三角形A6C为直角三角形，利用勾股定理得到斜边的平方等于两直角边的平方和，根据斜

边从〃的长，可得出两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入艮］可求出值.

【解答】解：•••△48C为直角三角形，A3为斜边，

：.AC1+BC2=AB2,又48=3,

：.AC2+BC2=AB2=9,

则"2+8。2+（才=482+（靖+次）=9+9=18.

故答案为：18

【点评】此题考查了勾股定理，是一道基本题型.熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

【变式1-2］（2021春•广州期中）在△?15c中，NA=25°,NB=65。，则下列式子成立的是（）

A.AC2+AB2=BC2B.AB2+BC2=AC2

C.AC2-BC2=AB2D.AC2+BC2=AB2

【分析】根据在△ABC中，ZA=25°,N8=65°,可以得到NC的度数，然后根据勾股定理，即可

判断各个选项中的说法是否正确.

【解答】解：在△ABC中，ZA=25°,N8=65°,

AZC=180°-N4-N8=90°,

•••△ABC是直角三角形，

：.AC2+BC2=AB2,故选项。正确，选项A、B、C错误，

故选：D.

【点评】本题考查勾股定理、三角形内角和，解答本题的关健是明确题意，利用勾股定理的知识解答.

【变式1-3］（2020春•灵山县期末）在直角三角形A8C中，NC=90°,两直角边长及斜边上的高分别为

a,b,h,则下列关系式成立的是（

ill

A-7+记=后B-7+记=q

C.Ir=abD.h2=a2+b2

【分析】设斜边为。，根据勾股定理得出。=/小+/，再由三角形的面积公式即可得出结论.

【解答】解：设斜边为C,根据勾股定理得出c=标示，

11

’:一心=乎h,

22

ab=Va2+b29fi,即a2b2=a1h2+b2h2,

a2b22222

•----------a--h---+---b--h--

^a2b2h2-a2b2h2a2b2h21

„111

即Fa2b+277h=277-

故选：B.

【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜

边长的平方是解答此题的关键.

【题型2利用勾股定理解勾股树问题】

［例2］（2020秋•惠来县期末）如图,由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面

积是（）

C.144D.169

【分析】根据勾股定理解答即可.

根据勾股定理得出：AB=\/AC2-BC2=V132-122=5,

：,EF=AB=5,

・•・阴影部分面积是25,

故选：B.

【点评】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是小b,斜边长为c,那

么/+〃2=r2解答.

【变式2-1］（2021春•海淀区校级月考）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,

其中最大的正方形的边长为8（川，则图中所有正方形的面积的和是（）

C.128cm2D.192cm2

【分析】根据正方形的面枳公式，连续运用勾股定理，利用四个小正方形的面枳和等于最大正方形的面

枳进而求出即可.

【解答】解：•・•所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，

，正方形4的面积=〃2,正方形B的面积=店，

正方形C的面积=c2,正方形。的面积=心，

又+〃2=/,^2+屋=)2,

，正方形A、B、C、。的面积和=(a2+b2)+(J+/)=X2+)?2=82=64(cm2),

则所有正方形的面积的和是:64X3=192(cm2).

故选：

【点评】本题主要考查了勾股定理，根据数形结合得出正方形之间面积关系是解题关键.

【变式2-2](2021春•汉阳区期中)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四动形都是正方形，所有的三

角形都是直角三角形，若正方形A,/工C,D的面积分别为6,1(),4,6,则最大正方形E的面积是()

A.94B.26C.22D.16

【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A,B,C,D的面积和即为最大正

方形的面积.

【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、8的面积和为Si,C、。的面积和为S2,SI+52=53,

即53=6+10+4+6=26.

故选：B.

【点评】本题考查了勾股定理的应用.能够发现正方形A,B,C,D的边长正好是两个直角三角形的

四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A,B,C,。的面积和即是最大正方形的面积.

【变式2-3］（2021春•天津期中）如图，己知在RtZxA6c中，NAC8=9（T,分别以AC,BC,AB为直

径作半圆，面积分别记为Si,S2,S3,若S3=9IT，则S1+S2等于

【分析】根据勾股定理和圆的面积公式,可以得到S+S2的值，从而可以解答本题.

【解答】解：•・・NACB=90°,

:.AC2+BC2=AB2,

AC\FC1,1

2AB

*/Si=n(­)-X},S2=n(—)-又亍S3=n(—)-x

22'222

AC22

xI+nBC01ABXi=53,

.*.5i+52=n(—)(一)~X5=7T(------)

2222

•・・S3=9TT,

，SI+S2=9TT,

故答案为：9K.

【点评】本题考查勾股定理.，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

【题型3利用勾股定理求线段长度】

【例3】（2020秋•新吴区期中）已知△ABC中，AB=I7,AC=10,8C边上的高A"=8,则BC的长是

A.21B.15C.6D.21或9

【分析】高线A"可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论.分别依据

勾股定理即可求解.

【解答】解：如图所示，在Ri/SAB”中，

：,BH=V172-82=15；

在RlZXACH中，

VAC=10,AH=8,

：.CH=V102-82=6,

，当AH在三角形的内部时,如图1,BC=15+6=21；

当A”在三角形的外部时，如图2,60=15-6=9.

♦BC的长是21或9.

故选：D.

【点评】本题考查的是勾股定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解.

【变式3-1］（2021春•庆云县月考）在RtZVIBC中，ZC=90°,AB=25cm,AC=\5cm,CH_LAB垂足

【分析】利用勾股定理得出8C的长，再利用三角形面积求法得出“C的长.

【解答】解：在Rt^ABC中，NACB=90°,

根据勾股定理可得：BC=>/AB2-AC2=V252-152=20,

11

•JRtA/lBC的面积=jXBCXAC=彳XABXCH,

A20X\5=25XCH,

解得，C"=12(cm).

答案为\2cm.

【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是。，b,斜边长为c,那么J+必

=c2.

【变式3-2]（2021春•天津期中）如图,已知在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=9,8c=12,AB的垂

直平分线交AB于点D,交BC于点、E,则BE的长为

可以得到AE=/3£,再根据勾股定理，即可求得坟;的长.

【解答】解：连接AE,

〈ED是A8的垂直平分线,

：,AE=BE,

设AE=BE=x,

VAC=9,BC=[2,

：.CE=\2-x,

•••NACE=90°,

：.AC2+CE1=AE2,

即9?+(12-x)2=f,

解得户笄,

故答案为：

8

【点评】本题考查勾股定理、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思

想解答.

【变式3-3］（2020秋•上海期末）如图，在△人8C中，NACB=90°,于点如果AC=6,AD

=3,那么BD=.

【分析】根据勾股定理求出CD,再根据勾股定理用8。表示出8C,根据题意列出方程，解方程得到答

案.

【解答】解：在RlZ\4C。中，CD=VAC?一加=气2-3-=3同

在RtAZ^CD中，BC=y/CD2+BD2=V27+J?D2,

在RtA/lBC中，BC=y/AB2-AC2=7（3+^D）2-62,

“27+802=，（3+8。）2-62,

解得，BD=9,

故答案为：9.

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是小b,斜边长为c,那

么a2+b2=ci.

【题型4利用勾股定理求面积】

【例4】（202（）秋•青羊区校级期末）如图，在△A4C中，N5=90°,AB=6,BC=8,A。为N84C的

角平分线，则三角形4OC的面积为（）

A.3B.10C.12D.15

【分析】作。〃_LAC于〃，如图，先根据勾股定理计算出XC=10,再利用角平分线的性质得到。/3=

DH,进行利用面积法得到gxABXCD=\DHXAC,则可求出DH,然后根据三角形面积公式计算S”oc.

【解答】解：作。于凡如图，

在Rt/VIBC中，NB=90°,AB=6,BC=8,

：.AC=V62+82=10,

〈A。为NBAC的角平分线，

:・DB=DH,

11

V-xABXCD=^DHXAC,

22

A6(8-DH)=10DH,解得。”=3,

S/,ADC=劣x10X3=15.

故选：D.

【点评】本题考查了勾股定理的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度.也考查了角

平分线的性质.

【变式4-1］（2020秋•肥西县期末）如图，在Rb^ABC中，ZC=90°,AO平分N8AC交8c于点。.若

BC=3,且8。：DC=5：4,AB=5,则△AB。的面积是.

【分析】根据角平分线的性质，可以得到DE=DC,然后根据BC=3,且BD：DC=5：4,可以得到

。。的长，从而可以得到QE的长，再根据A8的长，即可计算出△A3。的面积.

【解答】解：作DELAB于点、E,

〈A。平分N8AC,ZC=90°,DELAB,

：.DC=DE,

VBC=3,且80：DC=5：4,

44

5+43一

4

：.DE=l，

•・・A8=5,DEYAB,

_4

ABDE5xo10

/\ABD的面积是：---=―2-=—

223

【点评】本题考查勾股定理、角平分线的性质，解答本题的关键是求出的长，利用数形结合的思想

解答.

【变式4-2]（2020秋•锦江区校级期中）已知△ABC中，AB=\1,BC=2\,CA=\0,求BC边上的高及

△ABC的面积、

【分析】作于。，设CO=x,根据勾股定理列出方程，解方程求出「根据勾股定理求出A。,

根据三角形的面积公式计算，得到答案.

【解答】解：作人力_LBC于D,

设CO=x,则80=21-x,

在RtZXAC。中，AD2=AC2-CD2,

在中，AD1=AB1-BD2,

AAC2-CD2=AB2-BD2,BP102-^=172-(21-x)2,

解得，x=6,即CD=6,

则AD=>JAC2-CD2=V102-62=8,

11

△ABC的面积=jxBCXAD=jX21X8=84.

【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是。，b,斜边长为c,那么/+后

【变式4-3]（2020秋•中原区校级月考）如图所示，在△48C中，点。是8c上的一点，己知AC=CQ

=5,AD=6,BD=，则△ABC的面积是（）

A.18B.36C.72D.125

【分析】先作辅助线，于点E,于点F,然后根据勾股定理，可以得到C尸的长，再

根据等积法可以得到AE的长，然后即可计算出△ABC的面积.

【解答】解：作于点E,作CRLAD于点F,

'：AC=CD=5,AD=6,CF1AD,

，AF=3,ZAFC=90°,

:・CF=>JAC2-AF2=4,

CDAEADCF

•••=9

22

SAE6X4

•*♦-9

22

解得.AE=餐,

\*BD=5,CD=5,

乙

••・3C=芋，

1524

BC-AE—X—

•••△ABC的面积是：------=---=18,

22

故选：A.

【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

【知识点2勾股定理的验证】

勾股定理的验证主要通过捱图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积

之间的关系为依据来实现的.用面积方法证明勾股定理是最常见的一种方法.

【题型5勾股定理的验证】

[例I]（2021春•海淀区校级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史，

第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是

()

【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可.

【解答】解：A、\'-ab+ic2+A<//?=i(a+b)(a+b)>

2，N幺

・••整理得：/+庐=/,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

B、V4xi«Z>+c2=Ca+b)2,

・••整理得：a\b2=c2,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

C、V4XL/?+(b-a)2=c2,

乙

・•・整理得：a2+b2=c2,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

。、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键.

【变式5-1](2020秋•中牟县期中)1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理,

其中两个全等的直角三角形的边AE,E8在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是()

A.S^EDA=SACEB

B.S^EDA+S^CDE+SACEB=S四边形ABCD

C.S^EDA+S^CEB=S^CDE

D.S四边形4ECD=S四动形DEBC

【分析】用三角形的面枳和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理.

【解答】解：根据勾股定理可得：SAEOA+SziCOE+ScCEBuS四边形430

故选：B.

【点评】本题考查了勾股定理的证明依据.此类证明要转化戌该图形面积的两种表示方法，从而转化成

方程达到证明的结果.

【变式5-2］（2020秋•仓山区校级期末）在学习勾股定理时，我们学会运用图（I）验证它的正确性.图

中大正方形的面积可表示为（。+》）2,也可表示为c?+4x幼，即（a+b）2=C2+4XLib.由此推出勾股

定理/+力2=/这种方法可以极简单地直观推论或验证出数学规律和公式.

（1）请你用图（II）的面积表达式验证勾股定理（其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD,

中间的部分是一个小正方形EFGH,AE=a,BE=b,AB=c）；

（2）请你用图（IB）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（"），）2=f+2x），+）2.

【分析】（1）根据大正方形的面积-小正方形的面积=4个直角三角形的面积，即可证明；

（2）可以拼成一个边长是x+y的正方形，它由两个边长分别是x、），的正方形和两个长、宽分别是x、y

的长方形组成；

【解答】解：（1）大正方形的面积为：c2,中间小正方形面积为：（b・a）2：

四个直角三角形面枳和为：4X

由图形关系可知：大正方形面积=小正方形面积十四直角三角形面积，

即有：（r=（b-a）2+4X^ab=br-2ab+cr+2ab=«2+Z?2；

（2）如图示:

大正方形边长为（x+y）所以面积为：（x+y）2,它的面积也等于两个边长分别为-），和两个长为x宽

为y的矩形面积之和，即，+2\科/

所以有：（x+y）2=/+2x.y+）2成立；

【点评】此题考查勾股定理问题，注意熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式

的方法.

【变式5-3](2020春•包河区校级期中)教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我

们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图[如图①，其

中四个直角三角形较大的直角边长都为。，较小的直角边长都为4斜边长都为c),大正方形的面积

可以表示为c),也可以表示为4乂。/方+(〃-))2,由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条

直角边长为4,b,斜边长为C,则。2+/?2=°2

(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理.

(2)如图③，在aA3c中，AO是BC边上的高，A5=4,XC=5,BC=6,设求x的值.

(3)试构造一个图形，使它的面积能够解释(a+b)Ca+2b)=a2+3ab+2b2,画在如图4的网格中，并

标出字母a,b所表示的线段.

【分析】(1)梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出

的面积相等列出关系式，化简即可得证；

(2)运用勾股定理在RtZ\A3D和RtZXAQC中求出A。?，列出方程求解即可；

(3)画出功长为。+〃和”+2〃的矩形即可.

11

【解答】解：(I)梯形48。)的面积为：(Q+b)(Q+b)=-^o+ab+-b\

____________11111111

也可以表不为一ab+—ab+—c?,ab+—ab+—c?=-a?+ab+-b7,

22222222

即a2+Z>2=c2；

(2)在RtZXABO中，AD2=AB2-BD1=41-.?=16-x2；

在中，AD1=AC2-DC2=52-(6-x)2=-ll+12r-A2；

所以16-»=-ll+12r-x2,

解得％=

，熟练掌握相关定理是解答此题的关键.

【知识点3勾股定理的应用】

(1)在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形.

(2)在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中

抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.

【题型6勾股定理的应用】

【例6】(2021春♦涪城区校级期中)如图，有一直立标杆，它的上部被风从8处吹折，杆顶C着地，离

杆脚2〃?，修好后又被风吹折，因新断处。比前一次低05〃，故杆顶£着地比前次远1〃?，求原标杆的

高度.

【分析】由题中条件，可设原标杆的高为x,进而再依据勾股定理建立平衡方程，进而求解即可.

【解答】解：依题意得AC=2,AE=3,

设原标杆的高为工,

VZA=90°,

，由题中条件可得4解+从。2=8(呼,即4解+22=(x-AB)2,

整理，得』-2ABx=4,

同理,得(4B-0.5)2+32=(x-AB+0.5)2,

整理，得/-2八以+4=9,

解得x=5.

••・原来标杆的高度为5米.

【点评】本题主要考查了简单的勾股定理的应用问题，能够熟练掌握.

【变式6-1]（2021春•永定区期中）如图，木工师傅将一根长2.5米的梯子（A8）,斜靠在与地面（OM）

垂直的墙（ON）上，这时