第2章点、直线、平面的投影

1、12一、投影法的概念一、投影法的概念利用投射线在投影面上产生物体投影的利用投射线在投影面上产生物体投影的方法称为投影法方法称为投影法3PSABCabc投影中心投射线物体投影投影面中心投影法中心投影法用于画透视用于画透视图图二、投影法的分类二、投影法的分类1.中心投影法中心投影法4PABCabc(b)中心投影SPABCabcS物体位置改变，物体位置改变，投影大小也改变投影大小也改变投影特性投影特性 投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。 度量性较差52.平行投影法平行投影法PABCabc(a)斜投影PABCabc（c） 正投影投影特性投影特性 投影大小与物体和投影面之间的距

2、离无关。 度量性较好投射线互相平行且垂直于投影面投射线互相平行且倾斜于投影面平行投影法平行投影法正投影正投影斜投影斜投影用于画斜轴测图用于画斜轴测图用于画工程图样及正轴测图用于画工程图样及正轴测图61 1）同类性）同类性 点的投影仍是点；直线的投影在一般情况下仍是直线；平面图形的投影在一般情况下是原图形的类似形。3.平行投影的基本性质平行投影的基本性质72 2）真形性）真形性 当直线或平面平行于投影面时，其投影反映原线段的实长或原平面图形的真形。3 3）积聚性）积聚性 当直线或平面垂直于投影面时，直线的投影积聚成点，平面的投影积聚成直线，这种性质称为积聚性 。84 4）从属性）从属性若点在直线

3、上，则点的投影在该直线的投影上。5)5)平行性平行性 若两直线平行，则其投影仍互相平行。6 6）定比性）定比性 直线上两线段长度之比或两平行线段长度之比，分别等于其投影长度之比。 返回返回9点的一个投影不能唯一确定点的空间位置，至少需要两个投影。101 1两投影面体系的建立两投影面体系的建立一、点在两投影面体系中的投影一、点在两投影面体系中的投影 V面和H面把空间分成四个分角，分别称为、分角。112 2点的两面投影点的两面投影 点在两投影面体系中的投影特性：(1)点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴，即aaOX； (2)点的水平投影到X轴的距离等于空间点到V面的距离，即aaXAa；点的正面

4、投影到X轴的距离等于空间点到H面的距离，即aaXAa。 121 1三投影面体系的建立三投影面体系的建立三投影面的展开三投影面体系的建立二、点在三投影面体系中的投影二、点在三投影面体系中的投影13aaaaxayazaaa三投影面的展开点的三面投影2. 2. 点的三面投影点的三面投影从前向后投影（正面）正面投影从上向下投影（水平面）水平投影从左向右投影（侧面）侧面投影14aaaxayaz点的三面投影3 3点的直角坐标和投影规律点的直角坐标和投影规律a=aax=aaz=oyAa=aax=aay=ozAa=aaz=aay=ox2点到投影面的距离等于点的投影到投影轴的距离。aaoxaaoz1点的投影连线

5、垂直于投影轴。15例例2-1 已知点A的正面投影a和水平投影a，求A的侧面投影a”。16例例2-2 已知点A的坐标（12，16，10）；点B的坐标（28，8，0），点C的坐标（20，0，0），求作各点的三面投影图。分析点A位空间点，B在H面上，C在X轴上。121610288Z=020Y=0,Z=0174.4.两点的相对位置两点的相对位置18当Xa=Xb Zb5.5.重影点重影点返回返回19直线的投影特征直线的投影特征直线的投影特征1ABP 直线 实形性实形性投影面的平行线2ABP 直线 类似性类似性一般位置直线3ABP 直线 积聚性积聚性投影面的垂直线4点在直线上，其投影必在该直线的同面投影上

6、。（从属性从属性） 直线上的点分割直线之比，在其投影后保持不变。（定比性定比性）20一、直线对投影面的各种相对位置一、直线对投影面的各种相对位置一般位置直线一般位置直线、直线类似性 、 在三投影面上都不反映真实大小请点击此处到下一页21（1）水平线投影特性投影特性：1 ab=AB2 ab OX ; ab OY1 3反映、 角的真实大小表3- 21.1.投影面平行线投影面平行线22投影特性投影特性：1 a b =AB2 ab OX ; ab OZ 3反映a、 角的真实大小表3- 2（2）正平线23（3）侧平线投影特性：投影特性：1 ab=AB2 ab OY ; a b OZ 3反映a、 角的真实

7、大小表3- 224（1）铅垂线投影特性投影特性：1 a b 积聚成一点2 a bOX ; a b OY1 3 a b = a b = AB表3- 32.2.投影面垂直线投影面垂直线25（2）正垂线投影特性投影特性：1 ab 积聚成一点2 a bOX ; a b OZ 3 a b = a b = AB表3- 326（3）侧垂线投影特性投影特性：1 a b 积聚成一点2 a bO ; ab OZ 3 a b = ab= AB表3- 327反映 、实角反映 、实角反映 、实角,直线的位置直 观 图平行于 面（水平线）投 影 图特 征平行于 面（侧平线）平行于 面（正平线）表表3-2请点击此处到下一页

8、28直线的位置直 观 图垂直于 面（铅垂线）积聚成一点 积聚成一点积聚成一点投 影 图特 征垂直于 面（侧垂线）垂直于 面（正垂线）表表3-3请点击此处到下一页29二、直线上的点二、直线上的点AC:CB=ac:cb=ac:cb=a”c”:c”b”点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上，且点分直线段长度之比等于其投影分直线段投影长度之比。30例2-3 已知线段AB的投影，试将AB分成2：3两段，求分点C的投影B b LaC ：C B2：3L31两直线平行两直线平行如果空间两直线相互平行，则它们的同面投影必定相互平行；反之，如果两直线的各同面投影相互平行，则两直线在空间一定相互平行。相交

9、两直线相交两直线如果空间两直线相交，则它们的同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律；反之，如果空间两直线的同面投影相交，且交点符合点的投影规律，则这两直线在空间一定相交。交叉两直线交叉两直线既不平行又不相交的两直线。三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置请点击此处到下一页32AB/CD,则 ab/cd ab/cd a”b”/c”d”1 1、平行两直线、平行两直线332 2、相交两直线、相交两直线交点符合点的投影特性343 3、交叉两直线、交叉两直线35例24判断两侧平线AB、CD的相对位置。a”b”c”d”故故ABCDkkkkOX故故ABCDab:cd=ab:cd故故ABCDa2=cda1

10、=cda3=ab方法一：方法二：方法三：36例例2-5已知直线AB、CD的两面投影和点E的水平投影e，求作直线EF与CD平行，并与AB相交于点F。ff eefcdefcd返回返回37几何要素表示一、平面的表示法一、平面的表示法请点击此处到下一页38几何元素表示平面(a)三点表示平面(b)一点一直线(c)两相交直线(d)两平行直线(e)平面图形 39平面的投影特性实形性投影面平行面积聚性投影面垂直面类似性一般位置平面二、平面对投影面的各种相对位置二、平面对投影面的各种相对位置40一般位置平面的投影及投影特征平面的投影图一般位置平面的投影特性1、一般位置平面、面三个投影均为类似形 、 在三投影面上

11、都不反映真实大小41投影特征正垂面（ABCV面） 铅垂面（ABCH面） 侧垂面（ABCW面） (1)Vabc积聚为一直线，、在V面上反映真实大小。90（2）H、Wabc和a”b”c”为类似形(1)Habc积聚为一直线， 、在H面上反映真实大小。 90(2) V、W ， abc和a”b”c”为类似形(1)Wa”b”c”积聚为一直线， 、在H面上反映真实大小。 90(2)V、Habc和abc为类似形abcabccbaabcabcabcabcabcacb42投影特征正平面（ABCV面） 水平面（ABCH面） 侧平面（ABCW面） (1)V abc反映实形(2)H、W abc OX a”b”c” OZ

12、，且具有积聚性(1)Habc反映实形(1)Wa”b”c”反映实形abc OZ,abc OYH，且具有积聚性(2)V、W abc OX a”b”c” OYW，且具有积聚性abcabcabcabcacbabccabcabcab43三、平面上的点和线三、平面上的点和线（1）若点位于平面上的任一直线上，则此点在该平面上。（2）若一直线通过平面上的两个点，或一直线通过平面上一已知点且平行于平面内的另一直线，则此直线必在该平面上。44例26 已知ABC平面上L点的水平投影l，求其正面投影l，又知K点的正面投影k和水平投影k，试判断K点是否在ABC平面上。45例214 已知ABC平面的两面投影，作出平面上的

13、水平线AD和正平线CE的两面投影。作作adOX作作ceOX46例28 完成平面图形ABCED的正面投影。47例29 在ABC平面上取一点K，使K点在A点之下15mm，在A点之前26mm，试求出K点的两面投影。例210 完成如图所示平面图形的水平投影，并求侧面投影。返回返回48一、平行问题一、平行问题1.直线与平面平行 若一直线平行于平面内任意一直线，则该直线平行于该平面。492.平面与平面平行 若两个平面内各有一对相交直线对应地平行，则这两个平面互相平行。 50二、相交问题二、相交问题1.直线与平面相交 直线与平面相交的交点是直线与平面的共有点；其投影既满足直线上点的投影特性，又满足平面内点的

14、投影特性。2.平面与平面相交 两平面相交其交线为一直线，它是两平面的共有线。所以只要确定两平面的两个共有点，或一个共有点及交线的方向，就可以确定两平面的交线。两平面的交线是可见与不可见的分界线，对于同一平面，交线两侧可见性相反。51三、垂直问题三、垂直问题1.直线与平面垂直 定理：定理：若一直线垂直于一平面，则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。52定理定理(逆逆)：若一直线的水平投影垂直于某一平面的水平线的水平投影，直线的正面投影垂直于该平面的正平线的正面投影，则直线必垂直于该平面。 2.平面与平面垂直 若一直线垂直于某一平

15、面，则包含该直线的所有平面都垂直于该平面。反之，若两平面相互垂直，则从第一平面内的任意一点向第二平面所作的垂线必定包含在第一个平面内。返回返回5354一、点的投影变换规律一、点的投影变换规律1.点的一次变换 (1)点的新投影和被保留的原投影的连线，必垂直于新投影轴。(2)点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原来投影轴的距离。 552.点的二次变换 有时变换一次投影面后还不能解决问题，必须再变换一次投影面，这种变换二次投影面的方法称为二次变换。二次变换是在一次变换的基础上进行的，变换一个投影面后，在新的两投影面体系中再变换另一个还未被代替的投影面。56二、直线的变换二、直线的变换1.将一般位置直线变换成投影面平行线 为将一般位置直线变为投影面平行线，可作一新投影面平行直线。572.将投影面平行线变换成投影面垂直线 将下图所示的水平线AB变换成投影面垂直线。根据投影面垂直线的投影特性，以反映实长的投影作为不变投影，即水平投影面不变，变换正投影面，作新投影面V1垂直于AB，作图时作X1轴ab，则AB在V1面上的投影a1、b1重影为一点a1(b1)。583.将一般位置直线变换成投影面垂直线 要将一般位置直线变换成投影面垂