函数的单调性与奇偶性

1、函数的单调性与奇偶性（1）1函数yx22x3（x0）的单调增区间是 (，0)解析：二次函数的对称轴为x1，又因为二次项系数为负数，抛物线开口向下，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(，0)2设函数g(x)x22(xR)，f(x)则f(x)的值域是 ，0(2，)解析：令xg(x)，即x2x20，解得x1或x2令xg(x)，即x2x20，解得1x2故函数f(x)当x1或x2时，函数f(x)f(1)2；当1x2时，函数ff(x)f(1)，即f(x)0.故函数f(x)的值域是(2，)3函数y(x3)|x|的递增区间是_解析：y(x3)|x|作出该函数的图象，观察图象知递增区间为.4若函数f(x)

2、为奇函数，则a【解法1】因为函数的定义域为x|x且xa，又定义域关于原点对称，则a【解法2】 因为f(x)为奇函数，则f(x)f(x)恒成立，解之得a5设函数f(x)，g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的递减区间是 0,1)解：g(x)，其图象如图所示其递减区间为0,1)6定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1、x20，)（x1x2），有0，则f(2)、f(1)、f(4)的大小关系是 f(4)f(2)f(1)7函数yf(x)是R上的偶函数，且在(，0上为增函数若f(a)f(2)，则实数a的取值范围是_a2或a2解析：由已知yf(x)在0，)上递减，f(a)f(2)f(|a|)f(2)|a|

3、2a2或a28已知函数在区间(2，+)上为单调增函数，则实数a的取值范围是解析：，12a0，a9已知yf(x)是偶函数，当x0时，f(x)x+，且当x3，1时，nf(x)m恒成立，则|nm|的最小值是 110若函数f(x)为奇函数，则a 解析：f(x)是奇函数，利用赋值法，f(1)f(1)，a13(1a)，解得a.11设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)3 12已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x，若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是 (2,1)解析：当x0时，f(x)x22x为增函数，又f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)在

4、R上为增函数f(2a2)f(a)，2a2a，a2a20，2a1，实数a的取值范围是(2,1)13已知f(x)是定义在R上的偶函数，定义在R上的奇函数g(x)过点(1,1)且g(x)f(x1)，则f(2007)f(2008)_解：f(x)f(x)g(1x)g(x1)f(x2)f(x4)，f(2007)f(1)g(0)0，f(2008)f(0)g(1)1，f(2007)f(2008)114已知f(x)（xa）（1）若a2，试证f(x)在(，2)内单调递增；（2）若a0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围解：（1）证明：任设x1x22，则f(x1)f(x2).(x12)(x22)0，x1x

5、20，只需(x1a)(x2a)0恒成立，a1.综上所述知a的取值范围是(0,115已知函数yf(x)在定义域1,1上是奇函数，又是减函数（1）求证：对任意x1、x21,1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0；（2）若f(1a)f(1a2)0，求实数a的取值范围解：（1）证明：若x1x20，显然不等式成立若x1x20，则1x1x21，f(x)在1,1上是减函数且为奇函数，f(x1)f(x2)f(x2)，f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2)(x1x2)0成立若x1x20，则1x1x21，同理可证f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)(x1x2)0成立（2）f(1a)f(1a2)0f

6、(1a2)f(1a)f(a1)，由f(x)在定义域1,1上是减函数得即解得0a1.故所求a的取值范围是0,1)16已知函数yf(x)，x2，+) （1）当a时，求函数f(x)的最小值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）若对任意x2，+)，f(x)0恒成立，求实数的取值范围解析：（1）当时，f(x)x+3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 易证yf(x)在2，+)上是增函数（须证明一下） f(x)minf(2)2+3 （2）由f(x)0有0对x2，+)恒成立，2ax23x，令g(x)x23x，x2，+)， g(x)ming(2) 102a10，a517设函数f(x)x22|x|

7、1(3x3)，（1）证明f(x)是偶函数；（2）画出这个函数的图象；（3）指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；（4）求函数的值域解：（1）证明：x3,3，f(x)的定义域关于原点对称f(x)(x)22|x|1x22|x|1f(x)，即f(x)f(x)，f(x)是偶函数（2）解：当x0时，f(x)x22x1(x1)22，当x0时，f(x)x22x1(x1)22，即f(x)根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图（3）解：函数f(x)的单调区间为 3，1)，1,0)，0,1)，1,3f(x)在区间3，1)和0,1)上为减函数，在1,0)，1,3上为增函数（

8、4）解：当x0时，函数f(x)(x1)22的最小值为2，最大值为f(3)2；当x0时，函数f(x)(x1)22的最小值为2，最大值为f(3)2.故函数f(x)的值域为2,218已知：函数（a，b，c是常数）是奇函数，且满足，（1）求a，b，c的值；（2）试判断函数f(x)在区间上的单调性并证明解析：（1） ，c0 ， ，（2） 由（1）问可得 在区间上是单调递减的，证明：设任意的两个实数，又，在区间上是单调递减函数的单调性与奇偶性（1）1函数yx22x3（x0）的单调增区间是 2设函数g(x)x22(xR)，f(x)则f(x)的值域是，函数f3函数y(x3)|x|的递增区间是_4若函数f(x)

9、为奇函数，则a5设函数f(x)，g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的递减区间是6定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1、x20，)（x1x2），有0，则f(2)、f(1)、f(4)的大小关系是7函数yf(x)是R上的偶函数，且在(，0上为增函数若f(a)f(2)，则实数a的取值范围是_8已知函数在区间(2，+)上为单调增函数，则实数a的取值范围是9已知yf(x)是偶函数，当x0时，f(x)x+，且当x3，1时，nf(x)m恒成立，则|nm|的最小值是 10若函数f(x)为奇函数，则a 11设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1) 12已知f(x)是定义在R上的

10、奇函数，当x0时，f(x)x22x，若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是13已知f(x)是定义在R上的偶函数，定义在R上的奇函数g(x)过点(1,1)且g(x)f(x1)，则f(2007)f(2008)_14已知f(x)（xa）（1）若a2，试证f(x)在(，2)内单调递增；（2）若a0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围15已知函数yf(x)在定义域1,1上是奇函数，又是减函数（1）求证：对任意x1、x21,1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0；（2）若f(1a)f(1a2)0，求实数a的取值范围16已知函数yf(x)，x2，+) （1）当a时，求函数f(x)的最小值；

11、w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）若对任意x2，+)，f(x)0恒成立，求实数的取值范围17设函数f(x)x22|x|1(3x3)，（1）证明f(x)是偶函数；（2）画出这个函数的图象；（3）指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；（4）求函数的值域18已知：函数（a，b，c是常数）是奇函数，且满足，（1）求a，b，c的值；（2）试判断函数f(x)在区间上的单调性并证明函数的单调性与奇偶性（2）1若函数yax与y在(0，)上都是减函数，则yax2bx在(0，)上的单调性是减函数解析：yax与y在(0，)上都是减函数，a0，b0，yax2bx的对

12、称轴方程xf(6)；f(4)f(6)；f(4)0f(4)f(6)3若f(x)为R上的增函数，则满足f(2m)f(m2)的实数m的取值范围是_(，2)(1，)解析：f(x)在R上为增函数，2m0m1或m2.4若偶函数f(x)px2(q1)x的定义域为p,3，则pq25已知f(x)是R上的减函数aR，mf(a2)，nf(a1)，则m、n的大小关系为_解：因为a2(a1)a2a1(a)20，所以a2a1，因为f(x)是R上减函数，所以f(a2)f(a1)，故mn6已知定义域为(1,1)的奇函数yf(x)又是减函数，且满足f(2x1)f()0，则x的取值范围为_解：由奇函数的性质得f(2x1)f()，

13、即，解之得x17若函数f(x)x22(a1)x2在(，4上是单调减函数，则实数a的取值范围是解析：依题意得对称轴方程为x1a，则1a4，得a38已知f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且在区间(1,1)上是单调减函数若f(1a)f(1a2)0，则实数a的取值范围 (0,1)9设a，bR，且a0，函数f(x)x2ax2b，g(x)axb，在1，1上g(x)的最大值为2，则f(2)等于810如果函数g(x)是奇函数，则f(x)_解析：令x0，x0，g(x)2x3g(x)2x3.f(x)2x3.11若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(，0上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0的x的取值范围

14、是(2,2)解析：由题意知f(2)f(2)0，当x(2,0时，f(x)f(2)0，由对称性知，x0,2)时，f(x)为增函数，f(x)f(2)0，故x(2,2)时，f(x)012已知函数f(x1)为奇函数，函数f(x1)为偶函数，且f(0)2，则f(4)_.解析：f(x1)f(x1)，则f(0)f(2)2，f(x1)f(x1)，则f(4)f(2)2.13已知函数f(x)是定义在(0，)上的减函数，且满足f(xy)f(x)f(y)，f1.（1）求f(1)；（2）若f(x)f(2x)2，求x的取值范围解：（1）令xy1，则f(1)f(1)f(1)，f(1)0.（2）211fff， fx(2x)f，

15、由f(x)为(0，)上的减函数，得1x1，即x的取值范围为.14判断函数f(x)（a0）在区间(1,1)上的单调性解：设1x1x21，则f(x1)f(x2)，x1210，x2210，x1x210，x2x10，0，当a0时，f(x1)f(x2)0，函数yf(x)在(1，1)上为减函数，当a0时，f(x1)f(x2)0，函数yf(x)在(1,1)上为增函数15设函数，求的单调区间，并证明在其单调区间上的单调性解：在定义域内任取，只有当或时，才单调，而当当或时，在和都是单调函数16已知函数f(x)是奇函数（1）求实数m的值；（2）若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解：（1）设

16、x0，则x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2（2）要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象知所以1a3，故实数a的取值范围是(1,317已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(xy)f(x)f(y)，且x0时，f(x)0，f(1)2（1）求证f(x)是奇函数；（2）求f(x)在3,3上的最大值和最小值解析：（1）证明：令xy0，知f(0)0；再令yx，则f(0)f(x)f(x)0，所以f(x)为奇函数（2）任取x1x2，则x2x10，所以f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f

17、(x2)f(x1)f(6)；f(4)f(6)；f(4)f(6)3若f(x)为R上的增函数，则满足f(2m)f(m2)的实数m的取值范围是_4若偶函数f(x)px2(q1)x的定义域为p,3，则pq 5已知f(x)是R上的减函数aR，mf(a2)，nf(a1)，则m、n的大小关系为_6已知定义域为(1,1)的奇函数yf(x)又是减函数，且满足f(2x1)f()0，则x的取值范围为_7若函数f(x)x22(a1)x2在(，4上是单调减函数，则实数a的取值范围是8已知f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且在区间(1,1)上是单调减函数若f(1a)f(1a2)0，则实数a的取值范围 9设a，bR，且a0，函数f(x)x2ax2b，g(x)axb，在1，1上g(x)的最大值为2，则f(2)等于10如果函数g(x)是奇函数，则f(x)_11若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(，0上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0的x的取值范围是12已知函数f(x1)为奇函数，函数f(x1)为偶函数，且f(0)2，则f(4)_.13已知函数f(x)是定义在(0，)上的减函数，且满足f(xy)f(x)f(y)，f1.（1）求f(1)；（2）若f(x)f(2x)2，求x的取值范围14判断函数f(x)（a0）在区间(1,1)上的单调性15设函数，求的单调区间，并证明