已知正方形ABCD中_E为对角线BD上一点_过E点作EF

1、【011】已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG （1）求证：EG =CG ；（2）将图中BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG 问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）将图中BEF 绕B 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） 解：（1）证明：在Rt FCD 中，G 为DF 的中点， CG= FD1分 同理，在Rt DEF 中，EG=

2、 FD2分CG=EG3分 （2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG4分 证法一：连接AG ，过G 点作MN AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点 在DAG 与DCG 中， AD=CD，ADG=CDG ，DG=DG， DAG DCG AG=CG5分在DMG 与FNG 中， DGM=FGN ，FG=DG，MDG=NFG ， DMG FNG MG=NG 在矩形AENM 中，AM=EN 6分 在Rt AMG 与Rt ENG 中， AM=EN， MG=NG， AMG ENG AG=EG EG=CG 8分 证法二：延长CG 至M, 使MG=CG， 连接MF ，ME ，EC ， 4分在DCG 与FMG

3、中，FG=DG，MGF=CGD ，MG=CG， DCG FMG MF=CD，FMG DCG MF CD AB 5分 在Rt MFE 与Rt CBE 中， MF=CB，EF=BE，MFE CBE MEC MEF FEC CEB CEF 90° MEC 为直角三角形 MG = CG， EG= MC8分（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG其他的结论还有:EGCG 10分D 第24题图D E第24题图第24题图【012】如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A B C D 、四点抛物线2y ax bx c =+与y 轴交于点M A N

4、C 、 分别与圆O 相切于点A 和点C （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结D E ， 并延长D E 交圆O 于F ，求E F 的长（3）过点B 作圆O 的切线交D C 的延长线于点P ， 判断点P 是否在抛物线上，说明理由【012】解：（1） 圆心O 在坐标原点，圆O 的半径为1，点A B C D 、的坐标分别为(10 (01 (10 (01 A B C D -，、，、，、， 抛物线与直线y x =交于点M N 、，且M A N C 、分别与圆O 相切于点A 和点C ，(11 (11 M N -，、， 点D M N 、在抛物线上，将(01 (11 (11 D M

5、 N -，、，、，的坐标代入2y a x b x c =+，得：111c a b c a b c =-=-+=+ 解之，得：111a b c =-=抛物线的解析式为：21y x x =-+ ··································&

6、#183;··································· 4分 （2）2215124y x x x =-+=-+ 抛物线的对称轴为12x = ， 122O E D E =， ····&#

7、183;···············6分连结90B F B F D =，°，B F D E O D ，D E O D D BF D=， 又122D E O D D B =， 5FD =， 5210EF FD D E =-=-= ·················

8、83;·················································

9、83;· 8分（3）点P 在抛物线上 ··············································

10、················································· 9分 设过

11、D C 、点的直线为：y kx b =+，将点(10 (01 C D ，、，的坐标代入y kx b =+，得：11k b =-=，直线D C 为：1y x =-+ ····································&#

12、183;·················································10

13、分 过点B 作圆O 的切线B P 与x 轴平行，P 点的纵坐标为1y =-， 将1y =-代入1y x =-+，得：2x =P 点的坐标为(21 -，当2x =时，2212211y x x =-+=-+=-， 所以，P 点在抛物线21y x x =-+上·····························

14、;········································12分 【013】如图，抛物线经过(40 (10 (02 A B C -，三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛

15、物线上一动点，过P 作P M x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与O A C 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ， 使得D C A 的面积最大，求出点D 的坐标 【013】解：（1） 该抛物线过点(02 C -，可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-将(40 A ，(10 B ，代入，得1642020a b a b . +-=+-=，解得1252a b .=-=，此抛物线的解析式为215222y x x =-+-·····

16、··················································

17、· （3分）（2）存在 ···············································&

18、#183;·················································&

19、#183;········ （4分）如图，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为215222m m -+-， 当14m <<时， 4A M m =-，215222P M m m =-+-又90C O A P M A = °， 当21A M A O P MO C=时，A P M A C O ，即21542222m m m -=-+- 解得1224m m =，（舍去），(21 P ， ·········&

20、#183;·················································&

21、#183; （6分） 当12A M O C P MO A=时，A P M C A O ，即2152(4 222m m m -=-+-解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）当14m <<时，(21 P ， ·······························&#

22、183;················································· （

23、7分） 类似地可求出当4m >时，(52 P -，·············································&#

24、183;··················· （8分） 当1m <时，(314 P -，综上所述，符合条件的点P 为(21 ，或(52 -，或(314 -， ····················&#

25、183;········ （9分） （3）如图，设D 点的横坐标为(04 t t <<，则D 点的纵坐标为215222t t -+- 过D 作y 轴的平行线交A C 于E 由题意可求得直线A C 的解析式为122y x =-（10分）E 点的坐标为122t t - · （11分） 22211244(2 422D AC S t t t t t =-+=-+=-+ 当2t =时，D A C 面积最大(21 D ，·······&

26、#183;·············································（13分） 【014】在平面直角坐标中，边长为2的

27、正方形O A B C 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点. 现将正方形O A B C 绕O 点顺时针旋转， 当A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，A B 边交直线y x =于点M ，B C 边交x 轴于点N （如图）.（1）求边O A 在旋转过程中所扫过的面积； （2）旋转过程中，当M N 和A C 平行时，求正方形O A B C 旋转的度数；（3）设M B N 的周长为p ，在旋转正方形O A B C 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.【014】（1）解：A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，O A 旋转了045.(第26题xO

28、 A 在旋转过程中所扫过的面积为24523602=. 4分（2）解：M N A C ，45B M N B A C =, 45B N M B C A =.B M N B N M =. BM BN =. 又B A B C =，A M C N =.又O A O =, O A M O C N =, O A M O C N . A O M C O N =. 1(90452A O M =-=22.5. 旋转过程中，当M N 和A C 平行时，正方形O A B C 旋转的度数为45-22.5=22.5. 8分（3）答：p 值无变化. 证明：延长B A 交y 轴于E 点，则045AOE AOM =-，9045

29、45CON AOM AOM=-=-，A O E C =. 又O A O =，0001809090OAE OCN =-=. O AE O C N . , OE ON AE CN =.又045MOE MON =, O M O M =, O M E O M N M E AM AE =+. M N A M C N =+，p MN BN BM AM CN BN BM AB BC =+=+=+在旋转正方形O A B C 的过程中，p 值无变化. 12【015】如图，二次函数的图象经过点D(0，397，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6.求二次函数的解析式；在该抛物线的对称轴上

30、找一点P ，使PA+PD最小，求出点P 的坐标；在抛物线上是否存在点Q ，使QAB 与ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由 （第26题）x6【015】设二次函数的解析式为：y=a(x-h2+k顶点C 的横坐标为4，且过点(0，97y=a(x-42+k ka +=16397又对称轴为直线x=4，图象在x 轴上截得的线段长为6 A(1，0 ，B(7，00=9a+k 由解得a=93，k=3二次函数的解析式为：y=93(x-423点A 、B 关于直线x=4对称 PA=PB PA+PD=PB+PDDB 当点P 在线段DB 上时PA+PD取得最小值 DB 与对称轴的交点即为所求

31、点P设直线x=4与x 轴交于点M PM OD ，BPM=BDO ，又PBM=DBOBPM BDO BOBM DOPM =3373397=PM 点P 的坐标为(4，33由知点C(4，3- ，又AM=3，在Rt AMC 中，cot ACM=33，ACM=60o ，AC=BC，ACB=120o当点Q 在x 轴上方时，过Q 作QN x 轴于N 如果AB=BQ，由ABC ABQ 有 BQ=6，ABQ=120o，则QBN=60oQN=33，BN=3，ON=10，此时点Q (10，3 ， 如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，33当点Q 在x 轴下方时，QAB 就是ACB ，此时点Q 的坐标是(4，3- ，

32、经检验，点(10，33 与(-2，33 都在抛物线上综上所述，存在这样的点Q ，使QAB ABC点Q 的坐标为(10，3 或(-2，33 或(4，3- 【016】如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33 A ， （1）求正比例函数和反比例函数的解析式； 7（2）把直线O A 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6 B m ， 求m 的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ， 求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ， 使四边形O ECD 的面积1S 与四边形O A

33、BD 的面积S 满足：123S S =？若存在，求点E 的坐标； 若不存在，请说明理由【016】解：（1）设正比例函数的解析式为11(0 y k x k =， 因为1y k x =的图象过点(33 A ，所以133k =，解得11k =这个正比例函数的解析式为y x = ···························&#

34、183;·········································· （1分） 设反比例函数的解析式为22(0 k y k x=因为2k y x=的图象过点

35、(33 A ，所以233k =，解得29k =这个反比例函数的解析式为9y x = ·································· （2分）（2）因为点(6 B m ，在9y x=的图象上，所以9362m =，则点362B ·&

36、#183;····· （3分）设一次函数解析式为33(0 y k x b k =+因为3y k x b =+的图象是由y x =平移得到的， 所以31k =，即y x b =+又因为y x b =+的图象过点362B ，所以362b =+，解得92b =-，一次函数的解析式为92y x =- ·····················&#

37、183;······· （4分）（3）因为92y x =-的图象交y 轴于点D ，所以D 的坐标为902-， 设二次函数的解析式为2(0 y ax bx c a =+因为2y ax bx c =+的图象过点(33 A ，、362B 、和D 902- ， 所以933336629. 2a b c a b c c +=+=-， ·················&

38、#183;·（5分） 解得1249. 2a b c =-=-，这个二次函数的解析式为219422y x x =-+-·······································

39、83;············· （6分）8（4）92y x =-交x 轴于点C ，点C 的坐标是902222S =-99451842=-814=S S =四边形C D O E 的顶点E 只能在x 轴上方，00y >， 1OCD OCE S S S =+ 01991922222y =+081984y =+081927842y +=，032y =00( E x y ，在二次函数的图象上，2001934222x x -+-=解得02x =或06x =当06x =时

40、，点362E 与点B 重合，这时C D O E 不是四边形，故06x =舍去，点E 的坐标为322 （8分） 【017】如图，已知抛物线2y x bx c =+经过(10 A ，(02 B ，两点，顶点为D （1）求抛物线的解析式；（2）将O A B 绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置， 将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式； （3）设（2）中平移后，所得抛物线与y 轴的交点为1B ，顶点为1D ， 若点N 在平移后的抛物线上，且满足1N BB 的面积是1N D D 面积的2 求点N 的坐标【017】解：（1）已知抛物线2y x bx c =

41、+经过(10 (02 A B ，01200b c c =+=+ 解得32b c =-=所求抛物线的解析式为232y x x =-+ ·······································

42、··························· 2分 （2）(10 A ，(02 B ，12O A O B =，（第26题）9可得旋转后C 点的坐标为(31 ，·············

43、83;·················································

44、83;······················ 3分 当3x =时，由232y x x =-+得2y =， 可知抛物线232y x x =-+过点(32 ，将原抛物线沿y 轴向下平移1个单位后过点C 平移后的抛物线解析式为：231y x x =-+··········

45、3;················································· 5分

46、（3） 点N 在231y x x =-+上，可设N 点坐标为2000(31 x x x -+，将231y x x =-+配方得23524y x =- ，其对称轴为32x = ····························· 6分当0302x <<时，如图，112N BB N D D S

47、S = 00113121222x x =- 01x =此时200311x x -+=-N 点的坐标为(11 -， ········································

48、83;·················································

49、83;·· 8分 当032x >时，如图同理可得0011312222x x =- 03x =此时200311x x -+=点N 的坐标为(31 ，综上，点N 的坐标为(11 -，或(31 ， ······························ 分 【018】如图，

50、抛物线经过、两点，与轴交于另一点（1）求抛物线的解析式；24y ax bx a =+-(10 A -，(04 C ，x B 图图10（2）已知点在第一象限的抛物线上， 求点关于直线对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点， 且，求点的坐标【018】解：（1）抛物线经过，两点，解得抛物线的解析式为（2）点在抛物线上，即，或点在第一象限，点的坐标为 由（1）知 设点关于直线的对称点为点，且， ，点在轴上，且，即点关于直线对称的点的坐标为（0，1） （3）方法一：作于，于由（1）有：， ，且 ， ，设，则， 点在抛物线上，(1 D m m +，D B C B D P 45D B

51、 P =°P 24y ax bx a =+-(10 A -，(04 C ，4044. a b a a -=-=，13. a b =-=，234y x x = -+ (1 D m m +，21 34m m m +=-+2230m m -=1m =-3m = D D (34 ，45O A O B C B A =，°D B C E (04 C ，C D A B 3C D =45EC B D C B =°E y 3C E C D =1O E =(01 E ，D B C PF AB F D E BC E 445O B O C O BC =，°45D BP C BD

52、 PBA = °，(04 (34 C D ，C D O B 3C D =45D C E C B O =°2D E C E =4O B O C = BC =2BE BC C E =-=3tan tan 5D E P B F C B D B E=3P F t =5B F t =54O F t =-(543 P t t -+，P x 3t = -(-5t + 42 + 3(-5t + 4 + 4 ， t = 0 （舍去）或 t = 22 æ 2 66 ö ， P ç - ， ÷ 25 è 5 25 ø 方法二：过点 D

53、作 BD 的垂线交直线 PB 于点 Q ，过点 D 作 DH x 轴于 H 过 Q 点作 QG DH 于G Q ÐPBD = 45° QD = DB ， ÐQDG + ÐBDH = 90° ， 又 ÐDQG + ÐQDG = 90° ，ÐDQG = ÐBDH Q y C P G D QDG DBH ， QG = DH = 4 ， DG = BH = 1 由（2）知 D(3， ， Q(-1 3 4 ， A O H B x 3 12 Q B(4， ， 直线 BP 的解析式为 y = - x + 0

54、5 5 2 ì ì y = - x 2 + 3x + 4， ï x2 = - 5 ， ì x1 = 4， ï ï 解方程组 í í 3 12 得 í y = 0； ï y = 66 . ïy = - x + ， î 1 5 5 î ï 2 25 î 【019】如图所示，将矩形 OABC 沿 AE 折叠，使点 O 恰好落在 BC 上 F 处，以 CF 为边作正方形 CFGH， 延长 BC 至 M，使 CMCFEO，再以 CM、CO 为边作矩形 CM

55、NO (1试比较 EO、EC 的大小，并说明理由 (2令 m = S四边形CFGH S四边形CNMN； ，请问 m 是否为定值？ 若是，请求出 m 的值；若不是，请说明理由 11 (3在(2的条件下，若 CO1，CE 1 2 ，Q 为 AE 上一点且 QF ， 3 3 抛物线 ymx2+bx+c 经过 C、Q 两点，请求出此抛物线的解析式. (4在(3的条件下，若抛物线 ymx2+bx+c 与线段 AB 交于点 P， 试问在直线 BC 上是否存在点 K，使得以 P、B、K 为顶点的三角形与AEF 相似? 若存在，请求直线 KP 与 y 轴的交点 T 的坐标?若不存在，请说明理由。 æ 2 66 ö 点 P 的坐标为 ç - ， ÷ è 5 25 ø 【019】 （1）EOEC，理由如下： 由折叠知，EO=EF，在 RtEFC 中，EF 为斜边，EFEC， 故 EOEC 2 分 （2）m 为定值 S 四边形 CFGH=CF2=EF2EC2=EO2EC2=(EO+EC(EOEC=CO·(EOEC S 四边形 CMNO=CM·CO=|CEEO|·CO=(EOEC ·CO m = S四边形CFG