具误差的三种迭代收敛的等价性

1、具误差的三种迭代收敛的等价性近些年来,许多学者研究了在某些条件下具误差的和不具误差的Maan迭代, Ishikawa迭代和三重迭代对各种非线性算子方程解或不动点的收敛性.2001年Chidume1举出反例说明当Maan迭代不收敛时, Ishikawa迭代却是收敛的. 2002年, Xu和Noor2引进和研究了三重迭代形式. Glowinski和Le Tallec3使用三重迭代形式解决了粘弹可塑性问题,液晶理论和特征值计算的逼近解法.在3中三重迭代格式表现出比Mann迭代和Ishikawa迭代具有更好的数值结果.1998年, Haubruge4等人应用这些格式得到了关于解变分不等式,可分凸规划、

2、凸函数和的最小值问题新的分裂型算法.因此,无论是在纯科学还是应用科学中, Mann迭代, Ishikawa迭代和三重迭代格式都起着重要而又显著的作用.然而,在某些情况下这三种迭代是等价的. Rhoades和Soltuz5,6在比较严格的条件下部分回答了Mann迭代, Ishikawa迭代的等价性问题. Huang和Bu7解决了具误差的Mann迭代, Ishikawa迭代的等价性问题.本文在以上基础上,给出了具误差的Mann迭代, Ishikawa迭代和三重迭代对中间意义下的渐进非扩张映射和强逐次伪压缩映射收敛的等价性.且包含前述结果为特例.1引言及预备知识下面的引理是从文献7得到的.引理3设a

3、n是一个非负序列,并且满足下面的不等式:an+1 (1 -n)an+n+nn(0,1), nN,n=,n和n=O(n),则limnan= 0.2主要结果定理设X是Banach空间, xn、vn和un是由(7)、(6)和(5)中定义的,并且n,n,n 0,1)满足(8).设T:XX是B上中间意义下渐进非扩张和强逐次伪压缩的自映射,且T的值域有界.设cn= max0,supx,yB(Tnx-Tny-x-y) (10)使得limncn= 0. (11)若u0=v0=x0B,则下面三个判断是等价的(I)改进的Mann迭代(5)收敛于x*F(T);(II)改进的Ishikawa迭代(6)收敛于x*F(T

4、);(III)改进的三重迭代(7)收敛于x*F(T).证明下面我们证明(I)和(III)的等价性.若改进的三重迭代(7)收敛于x*F(T).设n=0, nN,从(7)中我们得到改进的Ishikawa迭代的收敛性,设n=0,n=0, nN,从(7)中我们得到改进的Mann迭代的收敛性;反之,我们有改进的Mana迭代的收敛性来证明改进的三重迭代的收敛性,即证明了三个论断的等价性.从(7)中我们有xn=xn+1+nxn-nTnyn-n=(1+n)xn+1+nxn+1-nTnxn+1-knxn+1-2nxn+1+knxn+1+nxn+nTnxn+1-nTnyn-n=(1+n)xn+1+n(I-Tn-k

5、I)xn+1-(2-k)nxn+1+nxn+n(Tnxn+1-Tnyn)-n=(1-n)xn+1+n(I-Tn-kI)xn+1-(2-k)nxn+n(Tnyn-xn)+n+nxn+n(Tnxn+1-Tnyn)-n=(1+n)xn+1+n(I-Tn-kI)xn+1-(1-k)nxn+(2-k)2n(xn-Tnyn)+n(Tnxn+1-Tnyn)-(2-k)2n+1n(12)类似地我们由(5)得到un=(1 +n)un+1+n(I-Tn-kI)un+1- (1 -k)nun+ (2 -k)2n(un-Tnun)+n(Tnun+1-Tnun) - (2 -k)n+ 1n(13)计算(12)(13)得

6、到xn-un=(1 +n)(xn+1-un+1) +n(I-Tn-kI)xn+1- (I-Tn-kI)un+1- (1 -k)n(xn-un) + (2 -k)2nxn-un- (Tnyn-Tnun)+nTnxn+1-Tnyn- (Tnun+1-Tnun) - (2 -k)n+ 1(n-n)(14)应用三角不等式并在(3)中设:x=xn+1,y=un+1,t=n1 +n,有xn-un (1+n)(xn+1-xn)+n1+n(I-Tn-kI)xn+1-(I-Tn-kI)un+1-(1-k)nxn-un-(2-k)2nxn-un-(Tnyn-Tnun)-nTnxn+1-Tnyn-(Tnun+1-T

7、nun)-(2-k)n+1n-n(1+n)xn+1-un+1-(1-k)nxn-un-(2-k)2nxn-un-(Tnyn-Tnun)-nTnxn+1-Tnyn-(Tnun+1-Tnun)-(2-k)n+1n-n(15)因此(1 +n)xn+1-un+11 + (1 -k)nxn-un+ (2 -k)2nxn-un-Tnyn+Tnun+nTnxn+1-Tnun+1-Tnyn+Tnun+ (2 -k)n+ 1n-n1 + (1 -k)nxn-un+ (2 -k)2nxn-Tnyn+ (2 -k)2nun-Tnun+nTnun+1-Tnun+nTnxn+1-Tnyn+ (2 -k)n+ 1n-n(

8、16)由不等式(1 +n)-1 1和(1 +n)-1 1 -n+2n得xn+1-un+1 1+(1-k)n(1-n+2n)xn-un+n(2-k)nxn-Tnyn+(2-k)nun-Tnun+Tnun+1-Tnun+Tnxn+1-Tnyn+(2-k)n+1n-n=1+(1-k)n(1-n+2n)xn-un+nn+(2-k)n+1n-n(17)其中:n=(2 -k)nxn-Tnyn+ (2 -k)nun-Tnun+Tnun+1-Tnun+Tnxn+1-Tnyn(18)由于T的值域有界,故Tnxn,Tnzn,Tnyn在X中有界.设M= maxx0,supTnx,xX,nN (19)由数学归纳法可知

9、xn有界.事实上,x1 (1 -n)x0+nM+A M+A,假设xn L,则xn+1 (1-n)xn+nM+A (1-n)M+nM+A=M+A=L. (20)由假设改进的Mann迭代(5)收敛,即un-x*0(n).再由条件(10)和(11)则有0 un-Tnun Tnx*-Tnun+un-x*=(Tnx*-Tnun-un-x*) + 2un-x*cn+ 2un-x*0(n) (21)又有0 Tnun+1-Tnun= (Tnun+1-Tnun-un+1-un) +un+1-uncn+un+1-un0(n) (22)由于yn-xn+1=-nxn+nTnzn+nxn-nTnyn+n-nnxn+nT

10、nzn+nxn+nTnyn+n-n2L(n+n) +n-n0(n) (23)所以,Tnxn+1-Tnyn=(Tnyn-Tnxn+1-yn-xn+1) +yn-xn+1cn+yn-xn+10(n) (24)1 + (1 -k)n(1 -n+2n)= 1 -kn+k2n+ (1 -k)3n1 -kn+k2n+ (1 -k)2n= 1 -kn+2n(25)由条件limn= 0可知存在正整数N,使得对于所有n N时n k2(26)把(26)代入到(25)中有1 + (1 -kn)(1 -n+2n) 1 -kn+2n 1 -kn+k2n= 1 -k2n(27)联立(27)和(17)导出xn+1-un+1 1-k2nxn-un+nn+(2-k)n+1n-n(28)由(18)(24)可知limnn=0.记=(2-k)n+1n-n,由条件(9)可知n=1n.而n=xn-un,n=k2n,n=nn=O(n) (29)联立(29)、(28)和(8),用引理3我们有limnxn-un= 0 (30)因此0 xn-x* xn-un+un-x*0(n) (31)即limnxn-x*= 0 (I)和(