《复变函数与积分变换》课程教学大纲(工科)

1、复变函数与积分变换课程教学大纲(工科)英文名称：Complex Functions and Integral Transformation 课程编号：310601课程类型：学科方向课程学 时：56 学 分：3.5适用对象：工科本科自动控制、电子、计算机、楼宇智能控制、机电、环境工程专业先修课程：数学分析一、课程的性质、目的与任务1课程性质复变函数与积分变换是高等工科院校有关专业的一门基础课。2课程目的和任务通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法，为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。二、教学内容及要求第1篇 复变函数第1章 复数与复变函数教学内

2、容复数的各种表示方法；复数的代数运算；复数及其代数运算的几何意义；扩充复平面；平面点集；复变函数的概念及其几何意义；初等函数的定义及性质。教学要求1. 牢固掌握复数的各种表示方法及其运算。2.了解区域的概念。3.理解复变函数的概念，了解指数函数、对数函数、幂函数和三角函数的定义及其主要性质。重点：复变函数的概念及其几何意义。难点：初等函数中的多值函数。深度和广度：牢固掌握复数的各种表示方法及其运算，理解复变函数的概念。第2章 导数教学内容复变函数的极限、连续和导数的概念；解析函数的概念；函数解析的充分必要条件；解析函数与调和函数的关系；由解析函数的实部求其虚部和由虚部求其实部的方法；初等函数的

3、解析性。教学要求1. 了解复变函数的极限和连续的概念。2. 理解复变函数的导数和复变函数解析的概念，掌握复变函数解析的充分必要条件。3. 了解调和函数与解析函数的关系，掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法。4. 了解初等函数的解析性。重点：解析函数的概念；函数解析的充要条件；解析函数与调和函数的关系；初等函数的解析性。难点：函数解析的充要条件的证明。深度和广度：了解复变函数的极限、连续和导数的概念，理解复变函数解析的概念，掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法。第3章 积分教学内容复变函数积分的定义和计算方法；柯西积分定理及其推广；柯西公式；解析函数的高阶导数。教学要求1.

4、理解复变函数积分的定义，性质，了解求复变函数的积分的计算方法。2. 理解柯西积分定理、柯西积分定理的推广定理。掌握柯西积分公式和高阶导数公式。 重点：柯西积分定理及其推广；柯西公式；解析函数高阶导数公式。难点：柯西公式；解析函数高阶导数公式的证明。深度和广度：理解复变函数积分的定义，性质，了解求复变函数的积分的计算公式；掌握柯西积分公式和高阶导数公式的应用。第4章 级数教学内容复数项级数；幂级数（阿贝尔（Abel）定理，收敛圆和收敛半径，和函数的解析性，解析函数的泰勒展式，一些初等函数的泰勒展开式）；罗朗（Laurent）级数解析函数的罗朗展式。教学要求1. 正确理解复数项级数收敛、发散及绝对

5、收敛等概念。2. 了解幂级数收敛圆的概念，理解幂级数：收敛圆和收敛半径，解析函数的泰勒展式相关定理。3. 了解和函数的一些基本性质。4. 会求、的麦克劳林（Maclaurin）展开式，并能利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数。5. 理解罗朗（Laurent）定理，会求简单的函数在圆环内展为罗朗级数。重点：解析函数在圆及圆环内展为级数的理论。难点：罗朗定理的证明。深度和广度：了解复数项级数收敛、发散及绝对收敛等概念，会简单的函数在圆环内展为罗朗级数的间接方法。第5章 留数教学内容孤立奇点的分类及其类型的判定方法；留数的概念；留数定理；孤立奇点处留数的计算方法；应用留数计算定积分。教学要求1.

6、 掌握孤立奇点的分类方法，了解无穷远点作为孤立奇点的概念。2. 正确理解留数的概念，会求孤立极点处的留数。3. 理解留数定理，掌握用留数求围道积分的方法，会用留数求一些简单实积分。重点：留数的概念、计算、留数定理。难点：应用留数计算定积分。深度和广度：熟练孤立奇点的分类及留数的方法，并利用留数定理求一些实积分。第6章 保形映照教学内容保形映照的概念；分式线性映照及其性质特点；幂级数（为正有理数）；指数函数及对数函数所构成的映照；简单区域之间的保角映照；教学要求1. 理解保形映照的概念。2. 掌握分式线性映照的性质特点。3. 了解（为正有理数）和的映照性质。4. 会求一些简单区域（例如平面、半平

7、面、角形域、圆、带形域等）之间的保形映照。重点：分式线性映照性质特点。难点：运用分式线性作保形映照。深度和广度：了解保形映照的概念，重点掌握分式线性映照的性质。 第2篇 积分变换第1章 傅里叶（Fourier）变换教学内容傅里叶积分的概念；频谱的概念；傅里叶积分定理；傅里叶变换的定义、性质、应用；函数函数的概念、性质及其傅里叶变换。教学要求1. 了解傅里叶积分，傅里叶积分定理，频谱的概念，理解傅里叶变换的概念，会求一些常见函数的傅里叶变换。2. 正确理解傅里叶变换的线性性质、位移性质、微分性质、积分性质，理解卷积的概念及卷积定理，会用这些性质来求傅里叶变换，解线性微分方程。3. 了解单位脉冲函

8、数（函数）的概念及筛选性质并会用此性质来求一些函数的傅里叶变换。重点：傅里叶变换的概念、性质、应用难点：函数的概念深度和广度：掌握傅里叶变换的概念、性质、应用。第2章 拉普拉斯变换教学内容拉普拉斯积分的概念及其存在定理；常用函数的拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换概念定理；拉普拉斯变换的性质、应用；应用部分分式、卷积性质求拉普拉斯逆变换方法；应用拉普拉斯变换求解微分方程和微分方程组方法。教学要求1. 理解拉普拉斯变换的概念、知道拉普拉斯变换的存在定理。2. 理解拉普拉斯变换的线性性质、微分性质、积分性质、位移性质及延迟性质。3. 会用拉普拉斯变换的性质、部分分式法及查表的方法求拉普拉斯变换。4. 会用拉普拉斯变换方法求解线性微分方程及微分方程组。重点：拉普拉斯变换的概念；性质；应用。难点：拉普拉斯变换存在定理的证明。深度和广度：掌握拉普拉斯变换的定义、性质；会用拉普拉斯变换方法求解线性微分方程及微分方程组。三、课程教学基本要求1课堂讲授：课堂教学方法采用黑板讲授与多媒体课件相互配合进行，以启发、互动式的讲述为主，使学生从中学到本课程的基本内容，并学会逻辑推理方法，得到数学能力的培养。2作业：布置习题的目的有两点：一是对基本知识内容的掌握;二是数学能力的培养。每次课（2学时）布置5-7个题。3考核方式：考试考试形式以笔试为主，题型有选择题、填空题、计算题和证明题。以开卷面试为