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文档简介

1、1正与反的转化解答某些问题时，若按习惯从“正面进攻”很难奏效或运算较繁时，则可考虑从相反的方向去探求。攻其反面成功便易使问题得到解决。【例1】设（），则_.【解析】令，即，解之得，即.【点评】本题利用互为反函数的性质，从“反面”入手解题，使问题得到快速解决。在有些数学问题中，正面复杂，反面简单，只要逆向分析，就能使问题得到简捷的解答，同时这也是解某些选择题的有效方法。【备选题1】若二次函数在区间内至少有一个值，使，求实数的取值范围。【解析】此题从反面分析，采取补集法会比较简单。假设在内没有点满足，由的图象开口向上可知， 解得或.取其补集为，即为满足条件的的取值范围。2主与次的转化利用主元与参变

2、量的关系，视参变量为主元（即参变量与主元的角色换位），常常可以简化问题。【例2】已知曲线系的方程为，试证明坐标平面内任一点，在中总存在一椭圆和一双曲线通过该点。【解析】设点在曲线上，则，整理得. 令，.可知，根据函数图象开口向上，可知方程在和内分别有一根，即对平面内任一点，在曲线系中总存在一椭圆和一双曲线通过该点。【点评】本题巧妙地将解析几何中的曲线系问题转化为视参变量为主元的方程的根的问题，降低了难度，这种方法在解析几何中用的较普遍。【备选题2】已知，求证：（1）；（2）.【证明】（1）把看成变元，看成常数，构造一次函数.， .又，在上恒大于0，即.（2）令. 同理可得，.于是在上恒大于0，

3、又，故，所以，即.3一般与特殊的转化当面临的数学问题从一般性难以解决时，可以考虑从特殊性来解决，反之亦然。数学归纳法与赋值法是两种反映一般与特殊关系的典型方法。【例3】设，都是正数，求证：.【证明】，同理，将以上各式相加得：，即.【点评】本题是从特殊到一般的典型题目，学会了这种思维方法，可以把整体上难以处理的问题转化为局部易于解决的问题。【备选题3】求的展开式中的奇次项的系数之和。【解析】设原式，令，得，即. 再令，得，即. 由，得.即展开式中的奇次项的系数之和为0.4等与不等的转化等与不等的转化主要体现为化不等为相等及化相等为不等。在等与不等的矛盾转化中，基本不等式、函数的性质等，常常发挥着重要作用，它们是联系等与不等的纽带，是等与不等矛盾差异的内在联系。【例4】设二次函数，且对于任何实数、，恒有，.（1）求证：；（2）求证：.【解析】（1）令，则有且，即， .（2）令，则，即， .【点评】等与不等是对矛盾，在一定的条件下可以互相转化。本题由且可得出的原理。【备选题4】已知，

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