北师大版九年级数学上册教案汇总

1、北师大九年级数学上册教案汇总第一章证明（二）5三角形有关性质、定理及反证法5知识要点5易错易混点7典型例题8学习自评9线段的垂直平分线与角平分线13知识要点13易错易混点14典型例题15学习自评16第二章一元二次方程23一元二次方程23知识要点23易错易混点24典型例题24学习自评26解一元二次方程的方法29知识要点29易错易混点31典型例题31学习自评32一元二次方程的应用34知识要点34易错易混点35典型例题35学习自评37第三章证明（三）41平行四边形41知识要点41易错易混点42典型例题42学习自评43特殊平行四边形47知识要点47易错易混点48典型例题49学习自评51第四章试图与投影

2、57视图的特点与画法错.误!未定义书签。知识要点57易错易混点58典型例题59学习自评61平行投影与中心投影知识要点错误!未定义书签。易错易混点错误!未定义书签。典型例题错误!未定义书签。学习自评错误!未定义书签。第五章反比例函数67反比例函数及其图像与性质67知识要点67易错易混点69典型例题69学习自评69反比例函数的应用75知识要点75易错易混点76典型例题76学习自评76第六章频率与概率84频率与概率的关系84知识要点84易错易混点84典型例题84学习自评84用试验的方法求概率85知识要点85易错易混点85典型例题85学习自评8552第一章证明（二）三角形有关性质、定理及反证法知识要点

3、三角形的性质与判定:序号必记项目必记知识必记内容巧记方法1公理三角形全等的判定公理三边对应相等的两个三角形全等两边及夹角对应相等的两个三角形全等；两角及具夹边对应相等的两个三角形全等SSSSASASA2定埋三角形全等的判7E7E埋两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等AAS3公理三角形全等的性质全等三角形的对应边相等、对应角相等4定埋等腰三角形的性质的推论等腰三角形的两个底角相等等边对等角5定埋等腰三角形的判7E7E埋等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线底边上的局互相重合“三线合一”6士7E理等边三角形的判7E7E埋有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形7定埋有一个角等于3

4、0的直角三角在直角二角形中，如果有一个锐角等于30。，那么它所对的直角形的性质边等于斜边的一半8定埋等边三角形的判7E7E埋三个角都相等的三角形是等边三角形等角对等边9定理勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方符号语言：若/C=90,则c2=a2+b210概念互逆定埋如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定埋，这两个定理称为互逆定理11定理勾股定理的逆定理如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形符号语言若，则a2+b2=c2,/C=90。12定埋直角三角形全等的判定定埋斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等HL证明方法：综合法、反证法综合

5、法：审题：找出已知、求证的各量之间的关系；分析解题思路：一般采用逆向思考，即从结论入手，追溯结论成立的理由。书写推理过程，从已知入手，将分析过程倒着写出来反证法：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立的方法称为反证法。（步骤：提假设：假设命题的结论不成立，推矛盾：从假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；得结论：从而肯定命题的结论）a> b”几种常见的结论和它的否定形式:a<b"a=b”“a?b” 或 “ a< b, a> b”“a/ b”“a

6、与b相交”“点在直线上”“点在直线外”“至少有一个，“一个都没有”“至少有两个”“至多有一个”互逆命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题。（“条件”与“结论”交换）互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理。易错易混点B DZM02E1 .如图Z01,AABC为AD为中线，/BAD=/DAC,求证：AB=AC。2 .如图Z02所示，在ABC中，AD是它的角平分线，且AB=AC,DE、DF分别是垂直于AB、AC,垂足为E、F,求证BE=CF。典型例题1 .在ABC中，AB=2,AC=22,/B=30,

7、则/BAC的度数是ZM032 .已知：如图Z03所示，ABC中AB=AC,D是AB上一点，过D作DEXBC于E,并与CA的延长线相交于F。求证：AD=AF。3 .已知：如图Z04,在RtzABC中，/C=90°,ZBAC=30,求证:AB=2BC。变形题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30.已知：求证：4 .如图Z05所示，在ABC中，/1=/2,/ABC=2/C。求证:AB+BD=AC。5 .如图Z06,在ABC中，/CAB=90,/C=30,AD是BC边上的高，BE是/ABC的平分线，AD与BE交于点F,求证：AEF是等边三角形。6 .

8、折叠矩形纸ABCD,先折出折痕（对角线）BD,再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG,如图Z07,若AB=2,BC=1，求AG的长。学习自评1 .AABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的高，若/EBC=/BAD,则ABC一定是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2 .一个三角形三边之比为3:4:5,则此三角形三边上的高之比为（）A.3:4:5B.5:4:3C.20:15:12D.9:8:73 .三角形三边长分别为6,8,10,那么它的最短边上的高为（）A.4B.5C.6D.84 .直角三角形的斜边长为13cm,面积为30cm2,另两边分别为（）A.5cm,6

9、cmB.7.5cm,8cmC.5cm,12cmD.4%0cm,5 3cm5.两个直角三角形中，如果有一条直角边对应相等，则（）若斜边上的高对应相等，那么这两个直角三角形全等； 若直角的平分线对应相等，那么这两个直角三角形全等； 若斜边上的中线对应相等，那么这两个直角三角形全等； 两个直角三角形都有一个锐角是30°,那么这两个直角三角形全等。其中正确的命题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6.已知直角三角形一锐角是30,斜边长是1,那么这个三角形的周长是（ ）A. 5 B. 3 C. 227 .已知直角三角形两直角边之和是积等于（）A. 2 3 B. 1 C.- 28 . 一个等腰

10、三角形的顶角是cm9 .等腰三角形的两条边长分别为D.三法 ,斜边长为2,则这个三角形的面D.14,面积是4cm,则它的腰长是6cm和8cm,那么这个三角形的周长是15010 .等腰ABC中，腰AB上的中垂线与AC所在直线相交所得锐角为50°,则底角B的大小是o11 .在RtAABC中，/C=90,/A=30,AB+BC=12cm,则AB=cm。12 .“正方形是矩形”，它的逆命题是o13.等腰三角形底边长6cm,腰为5,则它的面积为14.一个三角形的三条边长分别是 20, 15, 25,那么它的最长边上的高是15.命题“一个三角形中至少有一个角大于 60。”，用反证法证时，应假设1

11、6.已知a, b, c为三角形ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4,则三角形ABC的形状为17.命题“对顶角的平分线成一直线”的题设是论是18.19.用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角。已知直角三角形斜边上的中线为1,周长为2蕊，求三角形的面积。20.在4ABC中，a,b,c分别是/A、/B、/C的对边，c-a=-1b,c+a=2b,判断ABC的形状。21.如图ZM08,在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AB上,B DZM 08AEF BZM09EAD=CE ; (2)求/ DFC 的且BD=AE,AD与CE交于点F。(1)求证:度数。22.如图ZM09,/AOB

12、是一钢梁，且/AOB=10,为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH添加的钢管长度都与OE相等，则最多能加多少根？23 .已知如图ZM10,在RtzABC中，AB=AC,/A=90，点D为BC上任意一点，DFXAB于F,DEXAC于E,M为BC的中点，试判断MEF的形状，并证明你的结论。24 .求证：以m2+n2,m2-n2,2mn为边的三角形为直角三角形。25 .已知等边ABC和点P,设点P到4ABC的三边的距离为hi、h2、h3,ABC的高为h。“若点P在AABC的一边BC上（图ZM11），此时h3=0,可得结论hi+h2+h3=h”请直接应用上述信息解决下列问题。当P点

13、在ABC内（图ZM11），P点在4ABC外（图ZM11）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明，若不成立，“、h2、h3与h之间有怎样的关系，请写出你的猜想，不需证明。ZM11线段的垂直平分线与角平分线知识要点序号必记项目必记知识必记内容巧记方法1定埋线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等有了中垂线，就有了相等的线段2定埋线段垂直平分线的判定到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上联想等腰三角形的“三线合一”3定埋三角形的三条边上的垂直平分线的性质三角形的三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等三边中垂线共点提示有线段垂直平分线时，

14、通常把垂直平分线上的点与线段的两端点连接起来，利用等腰三角形的性质来解决问题4定埋角平分线的性质角平分线上的点到这个角两边的距离相等图形与符号结合记忆5定埋角平分线的判断在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上6定埋三角形的三条角平分线的性质二角形的二条角平分线相交于一点，且这一点到二条边的距离相等三条角平分线共点易错易混点ZM12ZM13ZM141 .已知：如图ZM12,DEXAB,DFXAC,垂足分别为E、F,DE=DF,求证：AD垂直平分EF。2 .如图ZM13,P是/AOB的平分线上的一点，OC=OD,PC=2cm,求PD的长。3 .现有不在一条直线上的A、B、C三城

15、.wcmo ,lRud,ljJ J 与r 口口口nH QL 匚n.1 巴nil(1)在A、B城间建一果品批发市场，使其到A、B两城距离相等，此市场位置惟一么？它们的位置有什么关系？(2)在B、C两城间建一水果仓库，使其到B、C两城距离相等.仓库位置惟一么？它们的位置有什么关系？(3)为减少运费，现将果品批发市场与仓库建在同一位置，并分别到两城距离相等.应如何选址？画图说明.典型例题1 .已知，如图ZM14,在4ABC中，/B=70°,DE是AC的垂直平分线，且/BAD:/BAC=1:3,则/C=?2 .到三角形三个顶点距离相等的点是()A.三条中线的交点B.三条角平分线的交点C.三条

16、高线的交点D.三条中垂线的交点3 .如图ZM15,已知ABC中，AD平分/BAC,EF垂直平分线AD交BC的延长线于E,求证：(1)/EAC=/B;(2)DE2=CE-BE.4.如图ZM16,已知ABC中，/A的平分线与BC的垂直平分线MD交于点D,DELAB于E,DFAC交AC的延长线于F。求:CF=：（ABAC）.5.如图ZM17所示，在ABC中，/B=22.5°,ZC=60,AB的垂直平分线交BC于D,交AB于F,BD=672,AE，BC于E,求EC的长。学习自评1.等腰三角形顶角为100°,两腰的垂直平分线交于P,则P点在（）A.在三角形内B.在三角形的底边上C.在

17、三角形外D.与三角形的边长有关2.在4ABC中，AB=AC,BC=5cm,作AB的垂直平分线交另一腰AC于点D,连接EZM18若4BCD的周长是17cm,则腰长为（A.12cmB.6cmC.7cmD.5cm3 .如图所示ZM18,AABC中，/BAC=118°,若DE、FG分别垂直平分AB和AC,则/EAF等于（）A. 68B. 56C. 48D. 344 .如图ZM19,直线li、12、I3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.一处B.两处C.三处D.四处5 .在4ABC中，。是A的平分线与B的平分线的交点，ZM-19有

18、如下结论：点。到AC边，AB边的距离相等；点。到AB边，BC边距离相等；点。到AC边，BC边的距离相等；点。到AB,AC,BC边的距离都相等。其中正确的结论有（）A.一个B.二个C.三个D.四个6 .如图ZM20所示，在等腰直角三角形ABC中，/C=90°,AC=6,D是AC上一点，DE，AB于E,5DE=BE,则AD的长度是（）A.2B.1C.22D.27 .等腰三角形底边长为5cm,一腰上的中线把其周长分为两部分，其差为3cm,则腰长为（）A.2cmB.8cmC.8cm或2cmD.7cm8 .下列命题中真命题的个数是（）（1）如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点

19、与顶点的直线必垂直于底边(2)如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段，那么延长线段的两个点与顶点的距离相等(3)等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等(4)等腰三角形高上一点到底边的两端点的距离相等A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个9 .等腰三角形的底边长为a,其腰上的高是(A.&21-a2顶角是底角的C. -a610 .如图ZM21,已知在 ABC中，/ACB=90°，点。为 ABC的三条角平分线的交点，ODBC, OE± AC, OFLAB,点D、E、F是垂足,且AB=10 , BC=8,贝U点O至U三边AB、AC和BC的距离分别是()A.

20、 2, 2, 2B. 3, 3, 3C. 4, 4, 4 D. 2, 3, 411 .如图 ZM22,已知 BD 是/ ABC 的平分线，DELAB 于E, SaABC=36cm2, AB=18cm,BC=12cm,贝U DE的长为ZM22ZM2312 .如图ZM23,在zABC中，/B=115°,AC边的垂直平分线DE与AB边交于点D,且/ACD:/BCD=5:3,则/ACB=。13 .如图ZM24,在4ABC中，/C=90,AC=BC,AD平分/BAC交BC于D,DELAB于E,且AB=10cm,则DEB的周长是cmajN14 .在AABC中，AB=AC,/A=90°,

21、斜边BC的中线ZM25与AB的垂直平分线交于点P,若BC=16cm,则点P的三个顶点的距离之和为?15 .如图ZM25所示，点B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线l上取一点P,使得/APB=30°,则满足条件的点P有（）A.3个B.2个C.1个D.不存在16 .命题“线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等”的逆，/ B= / D=90命题是17 .如图ZM26,在四边形ABCD中，/A=135BC=2由，AD=2,则四边形ABCD的面积是18 .点P是/AOB内一点，作P关于OA、OB的对称点Pi、P2,连接P1P2交OA于M,交OB于N

22、,若RP2=5cm,则4PMN的周长是。19 .已知在ABC中，/A=40°,/B、/C的平分线BE、CF,交于点O,则/BOF=,20 .如图ZM27,在zABC中，/C=90°,B=15,AB的垂直平分线交BC于D,交AB于E,DB=10,则AC=21 .如图ZM28,/BAC=30°,P为/BAC的平分线上任意一点，PD±AC于D,PE/AC交AB于E,求空的值AE22 .如图ZM29,在4ABC中，AB、AC的垂直平分线交BC于E、F,垂足分别为M、N,(1)若4ABC的周长为18cm,且AB:CA=2:3,求AEF的周长；(2)若/BAC+/E

23、AF=150,求/BAC。23 .已知ZM-30:如图所示，E,D分别是AB,AC上的点，/EBC与/BCD的平分线交于点M,/BED,/DEC的平分线交于点N,那么A、M、 N三点能否在同一条直线上？给出判断并证明你的结论中,24.已知：如图 ZM31,在4ABC/ ACB=90 , / BAC=30 , ABD和4ACE都是等边三角形,F是AB的中点，DE交AB于点M,求证：(1)DF=AC;(2)MD=ME。25 .台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风为12级，

24、每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现在正以15千米/时的速度沿北偏东30方向往C移动，且台风中心，风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响。(1)该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。(2)若会受到影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级？ZM 33，求证：CD=AB+BD 。26.如图 ZM32, A ABC 中，/ B=2/C,AD，BC 于 DZM35ZM 36一变：ABC中，/ABC=2/C,AD±BC于D,延长CB至UN,使BN=AB,连接AN,如图ZM一33,求证：CD=AB+BD。二变：A

25、BC中，/B=2/C,ADLBC于D,作AC的中垂线分别交AC于G,交CD于H,连接AH,如图ZM34求证:CD=AB+BD。27 .(1)如图ZM35,在ABC中，/ACB是直角，/B=60,AD、CE分别是/BAC、/BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你写出FE与FD之间的数量关系，并证明。(2)如图ZM36,在4ABC中，如果/ACB不是直角，而以上中其他条件不变，请问，你在(1)中所的结论是否仍然成立？若成立，请证明;若不成立，请说明理由28 .如图ZM37所示，ABC中，AC=BC=2,/ACB=90,D是BC边的中点，E是AB边上一动点,ZM 23ZM 37贝UEC+ED的最

26、小值是第二章一元二次方程一元二次方程知识要点一元二次方程概念：含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程。经过整理后，一个一元二次方程可化简为ax2+bx+c=0(a?0),即它的一般形式：ax2+bx+c=0(a?0)。应从两方面理解一元二次方程的一般形式：(1)若ax2+bx+c=0是一元二次方程，则有a#0;(2)若a#0(b、c可以为零)，则ax2+bx+c=0是一元二次方程。判断一个方程是不是一元二次方程，满足三个条件：含有一个未知数并且未知数的最高次数是2;必须是整式方程；二次项系数不能为零。简而言之是指经化简后，若符合ax2+bx+c=0(a?0),则为一元二次方程，否则不

27、是。估计一元二次方程的解：能使一元二次方程两边相等的x的值是一元二次方程的解，估计一元二次方程的解，只是估计“解”的取值范围，比如在哪两个数之间。方法：当相邻两个整数，一个使ax2+bx+c>0,一个使ax2+bx+c<0,则一元二次方程的解就介于这两个数之间。认真观察代数式的特点和取值走向，才能很快找到这样的两个相邻整数。易错易混点1 .下列关于x的方程：(1)ax2+bx+c=0；(2)a235；(3)2x2x30;a(4)x32xx20中，一元二次方程的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个2 .判断方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是不是关于x的一元二次方程

28、。(1)一变：若方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是关于x的一元二次方程，则m应满足o(2)二变：若方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是关于x的一元一次方程,则m的值为。3 .m为何值时，关于x的方程m1xm2 2m 1 x2 m 1 x 5 ；(2) m 1 x14m 2某城市2003年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐3mx20是一元二次方程？典型例题1.F列方程是关于x的一元二次方程的是(A. ax2+bx+c=0B. k2x+5k+6=02.C. 33 二 *34若下列方程是关于0D. (m2+3)x2+2x-2=0x的一元二次方程，求出m的取值

29、范围。27mx 3 03.年增加，到2005年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x,由题意，所列方程正确的是()A.300(1+x)=363B.300(1+x)cm和 cm ,根据题意，可得方程整理成一月S形式得=363C.300(1+2x)=363D.363(1-x)2=3004 .某种产品，原来每件产品成本是700元，由于连续两次降价，现在成本为448元，如果每次降低成本的百分数相同，求每次降低成本百分之多少？若设每次降低成本的百分数为x,则第一次降低成本后的成本为,第二次降低成本后的成本为?这样可列方程得5 .已知：直角三角形的周长为2疾,斜边上的中线长为1,试求这个直角三

30、角形的面积。6 .如图Y201所示，用一块长80cm,宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成如图Y201所示的底面积为1500cm2的没盖的长方体盒子。想一想：应怎样求出截去的小正方形的边长?若设小正方形的边长为xcm,那么这个盒子的底部的长及宽分别为学习自评1 .下列方程中是一元二次方程的是()ax2=bx；3x22x1；x22x10；x2120；23xy26y1；x3x1x28A.B.C.D.2 .某学校计划在一块长8米，宽6米的矩形草坪的中央划出面积为16平方米的矩形地块栽花，使矩形四周的草地的宽度都一样，求四周草地的宽度应为多少？设矩形四周留下草地的宽为x米，根

31、据题意下列方程不正确的是()A.48-(16x+12x-4x2)=16B.16x+2x(6-2x)=32C.(8-x)(6-x)=16D.(8-2x)(6-2x)=163 .若关于x的一元二次方程a1x2xa210的一个根是0,则a的值为()A.1B.-1C.1或-1D.-24 .某地2004年外贸收入为2.5亿元，2006年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x,则可列出方程为()A.2.5(1+x)2=4B.(2.5+x%)2=4C.2.5(1+x)(1+2x)=4D.2.5(1+x%)2=45 .若关于x的方程m2xm2x30是一元二次方程，则m=o6 .方程x2-2x-1=0的近

32、似解是.(吉果精确到十分位)7 .当x时、代数式x2-4x+3的值等于0.8 .某高新技术生产的生产总值，两年内由50万元增加到75万元。若每年产值的增长率相同，设增长率为x,则可列方程为?2h29 .已知a#0,a?b,且x=1是方程ax2+bx-10=0的一个解，则的值2a2b10 .已知：方程m24x26m2x3m40,当m时，它是一兀二次方程，当m时，它是一元一次方程Y20311 .一口井直径为1.5米，用一根竹竿直插入井底，竹竿高出井口半米，如果把竹竿斜插入井口，竹竿刚好与井口平。(如图Y202所示)求竹竿的长度，设竹竿长x米，则井深为米，可列方程为212 .如图Y203,相框长为1

33、0cm,宽为6cm,内有宽度相同的边缘木板，里面用来夹照片的面积为32cm,则相框的边缘宽为多少cm?(1)若设相框的边缘宽为xcm,可得方程。般形式);(2)分析x的取值范围；(3)完成表格01234(1)中ax2+bx+c(4)根据上表判断相框的边缘宽是多少厘米？13 .已知x=1是关于x的方程x2-ax+1=0的根，化简：v'a22a1V96aa214 .一个长方形的周长是30cm,面积是54cm2,求这个长方形的长和宽。15 .若x2ab2xab30是关于x的一元二次方程，则a、b的值各是多少?甲同学的解答结果是:由题意，得:2ab 2乙同学的解答结果是:由题意，得:2a b

34、2a b 1你认为他们的解答正确吗？如果不正确，请说明理由，并给出正确答案。16.在宽20m,长32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路。（如图Y204所示）把耕地分成大小相等的六块试验地， 要使试验地总面积变为570m2,那么道路的宽应为多少米？（道路宽取整数）17.如图 Y205,在AABC 中，/ B=90 , AB=6cm,AB边向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动，设P、Q到各边端点处即Y204Y205停止运动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟， PBQ的面积等于8cm2?根据这一问题列出方程。解一元二次方程的方法知识要点直接开平

35、方法：对于形式如xm2n(n>0)的方程，根据平方根的意义，即两边同时开平方，变形为xm品,得到两个一次方程，解一次方程得到未知数的值。配方法：把一元二次方程通过配成完全平方式的方法转化为xm2n的形式，从而得到这个一元二次方程的根。步骤如下：(1)把常数项移到方程的右边；(2)把二次项系数化为1,(如果二次项系数不是1,给方程两边同除以二次项系数)(3)给方程两边都加上一次项系数的一半的平方(4)方程左边是一个完全平方式，将方程变形为xm2n的形式在xm2n中，当n0时，方程有两个不相等的实数根x1m4n,x2m7n。当n0时，方程有两个相等的实数根xx2mo当n0时，方程有两个相等的

36、实数根。公式法：一元二次方程的求根公式：xb4ac(b2-4acn0),步骤如下：(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b、c的值(注意符号)求出b2-4ac的值，(先判别方程是否有根)4ac在b2-4acn 0的前提下，把a、b、c的值代入求根公式，求出2a的值，最后写出方程的根。分解因式法：当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个因式的乘积时，令每个因式分别为0,得到两个一元一次方程，分别解之，得到的解就是原方程的解，这种解方程的方法称为分解因式法。一般步骤如下：(1)把方程整理使其右边化为0；(2)把方程左边分解成两个一次因式的乘积；(3)令每个因式分别等于零，得到两个一元一次方

37、程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。提示：分解因式法应用面广，它不仅可以解一元二次方程，对高次的求解更有独到之处。根的判别式：b2-4ac=A,当b2-4ao0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根；当b2-4ac<0时，方程无实数根。即不解方程就可判断方程解的情况。根与系数的关系：由求根公式可知，入X2b,xiX2c,即不解方程可知方程的两根之和aa与两根之积，利用此可解决一些关于两根之和、之积、两根的倒数和、两根平方和等一类的问题。利用一元二次方程解决实际问题时，一元二次方程有两个根，这些根虽然满足所列的一元二次方程，但未必符合

38、实际问题，因此，解完一元二次方程，要按题意检验这些根是不是符合实际问题的解。易错易混点(1)用配方法解一元二次方程时，二次项系数化1时易错；(2)不能确定a、b、c的值，代入公式时，代入不准确；(3)方程两边同除以一个含有未知数的式子。1 .用配方法解方程：2x2-4x-10=02 .解方程：8x2+10x=33 .用分解因式法解一元二次方程：X222x2典型例题1 .当x取时，x2-5x+7有最小值，最小值是2 .已知是方程2x2-x-7=0的两根，则=。3 .已知一三角形的两边长分别为1和2,第三边的长是方程2x2-5x+3=0的根，则该三角形的周长为?4 .已知方程x22axa2a10有

39、两个实数根，化简：Va22a12a。5 .已知a2-3a=1,b2-3b=1,并且a?b,那么1口=?ab6 .一元二次方程x2-px+q=0的两个根为3,-4,那么二次三项式x2-px+q可分解为()A.(x-3)(x+4)B.(x+3)(x-4)C.(x-3)(x-4)D.(x+3)(x+4)7 .若方程x22«x1。有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A.k>-1B.k"C.k>1D.k>08 .用适当的方法解方程：(1) 9x1225;(2)3x26x120；（3）92x3242x52;（4）X2-4x-6=09.按要求解下列方程：（1）x2

40、-3x=5（用公式法解）（2）8x2+10x=3（用公式法解）（3）2（x-2）2=x2-4（用因式分解法解）（4）（2x-1）（x+3）=4（用因式分解法解）学习自评1 .方程4x2+5=0的根是（）A.YB.yC.yD.无实根2 .用配方法将方程a24a50变形得（）2222A.a29B.a29C.a29D.a293.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）A.3B.3C.6D.94.三角形的两边长分别是8和6,第三边的长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（）A.24B.24或8而C.48D.

41、8n5 .已知xyxy215,则x+y的值为（）A.3或5B.3或-5C.-3或5D.-3或-56 .x2-+9=（x-）2;x2-5x+6=（）（）.7 .若x2+4x+m2是一个完全平方式，则m的值为?8 .把方程2y1222x 1 x x 81 x14.(1)用配方法证明-10x2+7x-4的值恒小于0;(2)由第(1)题，你能否得到启发而写出三个值恒大于 0的二次三项式。15.三角形两边长分别是2和3,第三边是方程3xx 2 3x 6的解，求这个 三角形的周长16.在宽为20m,长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的 道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为540m2,道

42、路的宽为多少？17.某电脑公司今年每个月的销售量都比上个月增长相同的百分数，已知该公司今年4月份的电脑销售量为500台，6月份比5月份多售出120台, 求该公司今年销售量的月增长率是多少？3y22化成一般形式为29 .若a+b+c=0,则关于x的方程ax2+bx+c=0必有一根为。10 .完成下列配方过程：x2+2px+1=x2+2px+()+()=(x+)2+().11 .已知实数a、b、c满足等式Ja1b22abc20,则方程ax2+bx+c=0的根是。12 .若X1,X2是方程x2-3x-2=0的两个根，则X1+X2=X1+X2=, X12+X22=11X1X213 .用适当的方法解方程

43、：(1) x2+2x=2;(2)4x2-7x+2=0;(3)x2+3x-4=0(5)2x2-3x+1=0;(5)2x(x+1)=3(x+1);(6)8一元二次方程的应用知识要点黄金分割点：线段上一个点将线段分成两部分，如果较长线段是较短线段和原线段的比例中项，那么该点叫做线段的黄金分割点。（一条线段有两个黄金分割点）黄金比：如果一条线段与另一条线段的比等于0.618,那么称这两条线段的比为黄金比。如图 Y2 18点C、D分别是线段AB的黄金分割点Al黑0 0.618,因此较长线段、较短线段、原线段有如下关系:A«,*BD CY2 18一 5 1AC BD AB2BCAD3 . 5AB

44、2CD 5 2 AB列一元二次方程解应用题:一元二次方程是刻画现实问题的有效数学模型。列一元二次方程解应用题的关键在于审题，要善于理解题意，分析题目中的数量关系，可采用列表、画图等分析方法，恰当地设出未知数，准确找出已知量与未知量之间的等量关系，正确列出方程，求得问题的正确答案，同时要注意根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。一般步骤为：|（1）审题；（2）设元；（3）列方程；（4）解方程；（5）检验；（6）写出答案。注意：寻找等量关系是列方程的关键也是难点；一元二次方程不仅能解决实际应用题，也可用来解决一些理论应用题，比如几何中的计算问题、数字问题等。易错易混点不检验方程的解1. 某商店从

45、厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为x元，则每天可卖出（350-10X）,但物价局限定每件商品加价不能超过20%，商店要想每天赚400元，需要卖出多少件商品，每件商品的售价应是多少？2. 某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该批发商要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？典型例题1. 两个连续偶数的积为440，那么这两个数的和等于（）A.42B.-42C.42或-42D.43或-432. 某种药品的零售价经过两次降价后的价格

46、为降价前的81%，则平均每次降价的百分率为（）A.10%B.19%C.9.5%D.20%3. 设点C是长为10cm的线段AB的黄金分割点，且AC>BC,则AC与BC的长分别是（）A. -AJcm, qcmB. 15 5.5 cm, 5.5 5 cm4.5.C.5M5cm,1555cmD.以上均不对一个两位数两个数字之和是9，把个位数字与十位数字互换后得数与原数相乘，积为1458,求这个两位数。某商场有一批名牌衬衣，平均每天可售出20件,每件盈利40元，为扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价1元，商场平均每天可多售出2件，若使商场每天盈

47、利1200元，每件衬衣应降价多少元？6 .如图，在宽为20m,长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(一条横向，两条纵向，且横向与纵向垂直)，把耕地分成大小不等的方块作为水稻试验田，假如试验田的总面积为570m2,道路的宽应为多少？7 .汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设，某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同。(1)该公司2006年盈利多少万元？(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？Y2 D1学习自评1 .两数差是3,这两数的平方和是117,那么这两个数分别为（）-9

48、C.-6、-9 D.不存在A.9、6B.9、6或-6、2 .两个连续奇数的积为255,则这两个数的和为（）A.31B.32C.±31D.±32那么这个方程（）3 .已知一元二次方程中a和c异号A.无实根B.有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数根D.根的情况不能确定4 .有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人o患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的AIT人数为（）A.8人B.9人C.10人D.11人cY2215 .某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次，设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为x,根据题意列出

49、的方程是6 .如图Y219是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1,则这个矩形色块图的面积为。7 .某公司今年的产值是1000万元，若以后每年的平均增长率为20%,则两年后该公司的年产值是万元。8 .如图Y220,4ABC中，AB=AC,/A=36,BD是/ABC的平分线，若BC=5cm,贝UAB=cm。变形：如图Y220,已知在ABC中，AB=AC=2,ZA=36,BD是/ABC的平分线，且BC2=CDAC,求BC的长。9 .有一个两位数，十位数字与各位数字之和是5,把这个数的十位，个位数字对换后，所得的新两位数与原两位数之积为736,求

50、原两位数。10 .某城市出租车的收费标准是3km内为N元，超过3km的收费标准如下表。某人乘出租车去某公司办事，停车后，打出的电子收费单上写里科主三立&工单价(元)22k-25N着“里程为11km,应收29.1元，请付29元，谢谢！”，求出租车的基本价N(N12).11 .如图Y221,AO=OB=50cm,OC是一条射线，OCLAB,一只蚂蚁由A以2cm/s的速度向B爬行；同时另一只蚂蚁由。点以3cm/s的速度沿OC方向爬行，问是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积为450cm2?12 .将进价为40元、个的商品按50元/个的价格出售时，能卖出500个，已知该商品单价

51、每涨1元，其销售量就减少10个，为了赚取8000元利润，售价应定为多少？这时的进货量应为多少？13 .某灯具店购进一批某种型号的节能灯，共用去400元，在搬运过程中不慎打碎5盏，该店把余下的灯每盏加价4元全部售出，然后用所得钱又采购了一批这种节能灯，且进价与上次相同，但购买的数量比上次多了9盏，求每盏灯的进价。14 .某工厂十月份生产零件1000件，这样一月份至十月份的总产量恰好完成全年计划，若在年底以前再生产2310个零件就超额完成计划的21%,问十一月份，十二月份月平均增长率是多少？15 .阅读下面的例题：解方程x2x|20解：（1）当xA0时，原方程化为x2-x-2=0,解得：X1=2,

52、X2=-1（不合题意，舍去）当x<0时，原方程化为x2+x2=0,解得：x1=1,（不合题意，舍去）x2=-2：原方程的根是x1=2,x2=-2.请参照例题解方程x2|x11016 .某容器盛满纯酒精25升，第一次倒出若干开后，用水加满，第二次倒出相同升数的酒精溶液后，再用水加满，这是容器里只剩下纯酒精16升，求每次倒出的酒精溶液的升数。17 .如图Y222所示，在4ABC中，/B=90,AB=6cm,BC=3cm,点P从A点开始沿着AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，到达ABC的顶点后即停止运动，经过多长时间后，PQ间的距离等于4V2cm?Y20118.某科技公司研制成功一种新产品，决定向PY222银行贷款200万元，用于生产这种产品,签订的合同上约定，两年到期时一次性还本付息，利息为本金的8%,该产品投入市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈利72万元，若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数。证明（三）平行四边形知识要点序号必t己项目必记知识必记内容巧记方法1定埋平行四边形的性质定埋平行四边形的对边相等，对角