如何判定圆与圆的位置关系

1、 如何判定圆与圆的位置关系襄阳市第47中学 张玉兰圆与圆的位置关系是圆一章中的重点知识，分析近几年来各地的中考试题可以看出，考察圆与圆的位置关系的题目是最常见的，而以圆与圆的位置关系为框架的综合题也屡见不鲜，因此掌握圆与圆的位置关系也是学好圆一章的关键。那么圆与圆的位置关系如何进行判定呢？一方面，可以根据两圆公共点的个数来判定。当两个圆没有公共点时，如果每个圆上的点都在另一个圆的外部时，这两个圆外离，如果一个圆上的点都在另一个圆的内部时，这两个圆内含；当两个圆有唯一公共点时，如果除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，这两个圆外切；如果除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆

2、的内部时，这两个圆内切；当两个圆有两个公共点时，这两个圆相交。另一方面，可以根据两圆圆心距与半径的数量关系来判定。设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，则：d>R+r两圆外离；d=R+r两圆外切；R-r<d<R+r两圆相交（Rr）；d=R-r两圆内切（R>r）；d<R-r两圆内含（R>r）。对于两圆的位置关系的判定，考察的类型较多，笔者根据多年的教学经验，现总结如下，仅供读者参考。 根据两圆公共点的个数来判定两圆的位置关系。例1 （2002年上海市）如果两个半径不等的圆有公共点，那么这两个圆的公切线可能有（ ）条。 A 1 B 2 C 3 D 4分析：两圆有

3、公共点时，两圆的位置关系是内切、相交或外切，因此，公切线的条数可能是1条、2条或3条，故选ABC。 根据圆心距与半径的数量关系直接判定两圆的位置关系。例2 已知O1和O2的半径分别为3和4，圆心距O1O2=6，那么O1和O2的位置关系是（ ） A 外离 B 相交 C 外切 D 内切分析： 4-3<O1O2=6<4+3 两圆相交 故选B 结合一元二次方程来判定两圆的位置关系。例3 两圆圆心距为4，而两圆半径长分别为方程4x2-24x+27=0的两根，则这两个圆的位置关系是（ ） A 外离 B 外切 C 内切 D 相交分析：解方程4x2-24x+27=0得x=或则R=，r= R+r=6

4、，R-r=3 3<4<6 即两圆相交 ， 故选D例4 两圆圆心距为6，而两圆直径长分别为方程x2-12x+1=0的两根，则这两个圆的位置关系是-分析：设两圆直径分别为a、b，则由根与系数的关系可知：a+b=12， +=6 即两圆外切。例5 已知两圆半径长分别为方程x2-2x+1=0的两根，圆心距是方程x2-x=0的一个根，则这两个圆的位置关系是-分析：解方程x2-2x+1=0得x=±1 R=+1，r=-1 则R+r= 2 ，R-r=2解方程x2-x=0得x=0或 d=0或当d=0时有d<R-r当d=时有d<R-r 两圆内含。 结合等式变换来判定两圆的位置关系。

5、例6 已知O1和O2的半径分别为R、r且R2+r2-4R-2r+5=0，O1O2=1，则O1和O2的位置关系是-分析：由R2+r2-4R-2r+5=0得（R2-4R+4）+（r2-2r+1）=0 即（R-2）2+（r-1）2=0 由非负数的性质可得R=2，r=1 则R-r=1 O1O2=R-r 即两圆内切。例7 两圆半径分别为R、r（R>r），其圆心距为d且R2+d2-r2=2Rd，则这两个圆的位置关系是-分析：由R2+d2-r2=2Rd得（R-d）2-r2=0（R-d+r）（R-d-r）=0 R+r=d或R-r=d即两圆外切或内切。 结合公切线长来判定两圆的位置关系。设两圆的外公切线长

6、为L外，两圆半径分别为R、r（Rr），圆心距为d，则无论是两圆外离、相交或外切，都有关系式L外2=d2-（R-r）2，根据这个关系式可判定两圆的位置关系。例8 两圆半径分别为12和4，外公切线长为15，则这两圆的位置关系是-分析：由关系式L外2=d2-（R-r）2得152=d2-（12-4）2 解得d=17 而R+r=12+4=16 d>R+r 即两圆外离。 结合比例的性质来判定两圆的位置关系。例9 已知两圆半径分别为a、b且a=3+，b=3-若它们的圆心距d是a、b的比例中项，则这两个圆的位置关系是（ ）A 内含 B 内切 C 外离 D 外切分析： d是a、b的比例中项 d2=ab=（3+）（3-）=4 d=2 而a-b=2 d<a-b 即两圆内含， 故选A 结合两圆的公切线条数来判定两圆的位置关系。我们知道，当两圆外离时有4条公切线；当两圆外切时有3条公切线；当两圆相交时有2条公切线；当两圆内切时有1条公切线；当两圆内含时没有公切线；例10 如果两圆共有3条公切线，那么这两个圆的位置关系是-分析：两圆共有3条公切线