线性系统的数学模型邹伯敏

1、2022-3-1第二章控制系统的数学模型2有关数学模型的概念有关数学模型的概念2022-3-1第二章控制系统的数学模型42.1.1 列写系统微分方程的一般方法列写系统微分方程的一般方法 例例2-12-1：以：以RLCRLC电路为例说明建立数学模型的方法电路为例说明建立数学模型的方法2022-3-1第二章控制系统的数学模型5列写系统微分方程的一般方法列写系统微分方程的一般方法 例例2-2-2 2 ：图示为弹簧质量阻尼器机械位移系统，试列：图示为弹簧质量阻尼器机械位移系统，试列写质量写质量 在外力在外力 作用下（其中重力略去不计），位作用下（其中重力略去不计），位移移 的运动方程的运动方程( (

2、输入，输入， 输出）输出） m)(tF)(tx解：设质量块相对于初始状态的解：设质量块相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为：位移、速度、加速度分别为： 、 、 。dttdx/ )(22/ )(dttxd)(tx由牛顿运动定律有：由牛顿运动定律有：)()()()(2122tFtFtFdttxdm)(tF)(tx2022-3-1第二章控制系统的数学模型6其中：其中： 为阻尼器的阻尼力，为阻尼器的阻尼力， 为弹簧的弹力（拉力）为弹簧的弹力（拉力）)()()()(2122tFtFtFdttxdmdttdxftF)()(1)()(2tKxtF整理可得：整理可得：)()()()(22tFtKxdttd

3、xfdttxdm由此可见完全不同的两种系统可以用相同的微分方程由此可见完全不同的两种系统可以用相同的微分方程来描述，也就是说：其数学本质是相同的，这也我们建立来描述，也就是说：其数学本质是相同的，这也我们建立微分方程这一数学模型的意义所在。微分方程这一数学模型的意义所在。2022-3-1第二章控制系统的数学模型7建立数学模型的几个步骤：建立数学模型的几个步骤：1、确定系统和各元件的输入、输出变量。、确定系统和各元件的输入、输出变量。2、按照信号的、按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理（或传递顺序，依据各变量所遵循的物理（或化学）定律，化学）定律，列写变化（运动）过程中的动态方程，一列写变

4、化（运动）过程中的动态方程，一般为微分方程组。般为微分方程组。3、消去中间变量，得到输出与输入之间的微分方程。、消去中间变量，得到输出与输入之间的微分方程。4、标准化，将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出、标准化，将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。2022-3-1第二章控制系统的数学模型9设连续变化的非线性函数为设连续变化的非线性函数为 ，在，在工作点工作点 处展成泰勒级数为：处展成泰勒级数为： ( )yf x00(,)xy 当当 很小时，可很小时，可忽略上式中二次以上各项，忽略上式中二次以上各项，则有：则有：0

5、()xx202200)(!21)()(00 xxdxfdxxdxdfxfyxxxx2022-3-1第二章控制系统的数学模型10000()()x xdfyf xxxdx000()x xdfyyxxdx00, yyyxxx0 x xdfKdx或令则可得线性化增量方程为： yK xyKx即得到函数在工作点附近的线性化方程为：和2022-3-1第二章控制系统的数学模型11 【例【例2-3 2-3 】设铁芯线圈电路如左图所示，其磁通】设铁芯线圈电路如左图所示，其磁通 与电流与电流 之间关系如右图所示，试列写以之间关系如右图所示，试列写以 为输入量，为输入量， 为输出为输出量的电路微分方程：量的电路微分方

6、程：ruii2022-3-1第二章控制系统的数学模型12n解：设铁芯线圈磁通变化时产生的感应电解：设铁芯线圈磁通变化时产生的感应电势为：势为： 根据基尔霍夫定律写出电路微分方程为：根据基尔霍夫定律写出电路微分方程为：dtidKu)(1RidtdidiidKRidtidKur)()(11其中：其中： 是线圈中电流是线圈中电流 的非线性函数，的非线性函数，因此，上式是一个非线性微分方程。因此，上式是一个非线性微分方程。diid)(i2022-3-1第二章控制系统的数学模型13n在工程应用中，如果电路的电压和电流只在平在工程应用中，如果电路的电压和电流只在平衡点衡点附近附近作作微小变化微小变化，可利

7、用泰勒级数得：，可利用泰勒级数得：当当 很小时：很小时：220)()()()()(00idiididiidiiiiiiKiidiidiii)()()()(000iKii)()(0有：有：Kdid当当 很小时，可表示为：很小时，可表示为：i代入最初列写的方程式，则有：代入最初列写的方程式，则有：RidtdiKKur1至此，完成非线性问题在其工作点附近线性化。至此，完成非线性问题在其工作点附近线性化。2022-3-1第二章控制系统的数学模型15非线性微分方程的线性化小结：非线性微分方程的线性化小结：n将非线性微分方程在一定的条件下转化为线性将非线性微分方程在一定的条件下转化为线性微分方程的方法，称

8、非线性微分方程的线性化。微分方程的方法，称非线性微分方程的线性化。n小偏差线性化：小偏差线性化：非线性微分方程能进行线性化非线性微分方程能进行线性化的一个基本假设上是变量偏离其预期工作点的的一个基本假设上是变量偏离其预期工作点的偏差甚小，这种线性化通常称为小偏差线性化。偏差甚小，这种线性化通常称为小偏差线性化。n几何意义：几何意义：以过平衡点（工作点）的切线代替以过平衡点（工作点）的切线代替工作点附近的曲线。工作点附近的曲线。2022-3-1第二章控制系统的数学模型16A.A.线性化时各自变量在工作线性化时各自变量在工作点点X X0 0处必须有各阶导数存在处必须有各阶导数存在, ,如图如图所示

9、的继电器特性所示的继电器特性, ,本质非线性（本质非线性（第八章）；第八章）；B.如果非线性运动方程较接近如果非线性运动方程较接近线性时，则线性化运动方程对于变线性时，则线性化运动方程对于变量的增量在较大范围适用，反之，量的增量在较大范围适用，反之，只能适用于变量的微小变化。只能适用于变量的微小变化。1X继电器特性X0说明：说明：2022-3-1第二章控制系统的数学模型182.3.1 传递函数的定义传递函数的定义l 这一节我们用这一节我们用Laplace变换建立一变换建立一种新的数学模型，即传递函数，并用传种新的数学模型，即传递函数，并用传递函数来研究系统的运动。递函数来研究系统的运动。l 为

10、什么我们要用传递函数来表示控为什么我们要用传递函数来表示控制系统呢？制系统呢？2022-3-1第二章控制系统的数学模型19传递函数的定义传递函数的定义n定义：在定义：在零初值条件零初值条件下，下，线性线性定常系统定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为系统的传递函数。之比称为系统的传递函数。( )( )( )C sG sR s零初始条件输出信号的拉氏变换传递函数输入信号的拉氏变换jsl 传递函数的定义是以s为自变量的函数，它具有复变函数理论所阐明的一切性质。l这里s就是Laplace变换所用的复变量：2022-3-1第二章控制系统的数学模型20自变量

11、自变量分析法分析法数学形式数学形式微分方程微分方程 时间时间t t时间域分析法时间域分析法方程方程传递函数传递函数复频率复频率s s频率域分析法频率域分析法函数函数微分方程和传递函数的区别：微分方程和传递函数的区别：2022-3-1第二章控制系统的数学模型21n以例以例2-12-1为例说明传递函数的定义为例说明传递函数的定义l在初始条件为零的条件下，对方程两边取拉氏变换：在初始条件为零的条件下，对方程两边取拉氏变换：)()()()(2sUsUsRCsUsULCsiooo)(11)(2sURCsLCssUio11)()()(2RCsLCssUsUsGio定义)()()()(00202tutudt

12、tduRCdttudLCi传递函数的定义传递函数的定义2022-3-1第二章控制系统的数学模型221 1、传递函数只适用于、传递函数只适用于线性定常线性定常系统（系统（拉氏变换拉氏变换）；）； 2 2、传递函数取决于系统的结构和参数，与输入量的、传递函数取决于系统的结构和参数，与输入量的大小和形式无关；大小和形式无关； 3 3、传递函数只反映系统在、传递函数只反映系统在零状态零状态下的动态特性；下的动态特性； 4 4、传递函数一般为复变量、传递函数一般为复变量s s的有理分式，它的分母多的有理分式，它的分母多项式项式s s的最高阶次的最高阶次n n总大于或等于其分子多项式总大于或等于其分子多项

13、式s s的的最高阶次最高阶次m m，即，即 ；（；（一般系统均有惯性一般系统均有惯性，能能量不能为无穷大量不能为无穷大）5 5、一个传递函数只能表示一个输入与一个输出之间、一个传递函数只能表示一个输入与一个输出之间的关系；的关系； mn 2.3.2 传递函数的性质传递函数的性质2022-3-1第二章控制系统的数学模型236、多输入多输出时的传递函数、多输入多输出时的传递函数由框图可得：)()()()()()()()()()(22211222211111sUsGsUsGsCsUsGsUsGsC)()()()()()()()(212212211121sUsUsGsGsGsGsCsC矩阵形式：记：)

14、()()(sUsGsC)()()()()(22122111sGsGsGsGsG其中传递函数其中传递函数 为一矩阵为一矩阵 2022-3-1第二章控制系统的数学模型247、脉冲响应、脉冲响应g(t)与传递函数与传递函数G(s)()()(sRsCsG)()()(sRsGsC当：当： （即单位脉冲输入时），（即单位脉冲输入时）， ，此时，此时， ，传递函数传递函数G(s)是脉冲响应是脉冲响应c(t)g(t)的拉氏变换；的拉氏变换；)()(ttr1)(sR)()(sGsC2022-3-1第二章控制系统的数学模型258、时域中的卷积对应复数域中的乘积。、时域中的卷积对应复数域中的乘积。9、传递函数的零点

15、、极点、特征多项式。、传递函数的零点、极点、特征多项式。2022-3-1第二章控制系统的数学模型26传递函数：KsG)( 任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。典型环节通常分为以下几种：1 比例环节特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。实例：电子放大器，齿轮，电阻(电位器)，感应式变送器等。典型实例：2.3.2.3.3 3 典型环节的传递函数（典型环节的传递函数（1 1）微分方程: （式中，K为常数，称为比例系数或增益。） ( )( )c tKr t)()(tiRtu2022-3-1第二章控制系统的数学模型272 积分环节特点： 输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有

16、记忆功能。典型实例：SKsG)(传递函数：典型环节（典型环节（2）积分方程： dttrKtc)()(dttiCtu)(1)(2022-3-1第二章控制系统的数学模型283 理想微分环节特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号 的变化趋势。典型实例：典型环节（典型环节（3）微分方程： d ( )( )dr tc tt传递函数：( )G ssdttduCti)()(2022-3-1第二章控制系统的数学模型294 惯性环节特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出不能立即复现，输出延缓反应输入量的变化规律。实例： RC网络典型实例：典型环节（典型环节（4）微分方程： d ( )( )( )d

17、c tTc tr tt传递函数：1( )1G sTs11)()()()()()()()(RCssUsUsUsRCsUsUtudttduRCturoooroor2022-3-1第二章控制系统的数学模型305 5 二阶振荡环节二阶振荡环节典型环节（典型环节（6）微分方程： 222d( )d ( )2( )( )ddc tc tTTc tr ttt传递函数：1212)(22222TSSTSSsGnnn式中式中 阻尼比阻尼比 - -无阻尼自然频率无阻尼自然频率n) 10(nT12022-3-1第二章控制系统的数学模型316 纯滞后环节特点：时间延迟。典型环节（典型环节（8）微分方程： )()(trtc

18、传递函数：sesG)(2022-3-1第二章控制系统的数学模型33（2）信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向。（3）比较点（合成点、综合点、相加点）：两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。 “+”表示相加，“-”表示相减。 （1）方块：表示输入到输出单向传输间的函数关系。2022-3-1第二章控制系统的数学模型34(4)引出点（分支点、测量点）表示信号测量或引出的位置 注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。 ( (a a) ) 电电路路图图ru1i2i1R2Rcu1C2C2022-3-1第二章控制系统的数学模型35例：画出下列R-C网络的系统框图 解：（1）根据电路定理列出每

19、个元件的方程：1)4()(c22tudtiC) 3()()(221tutuiRcC)2()(1)(2111dtiiCtuC) 1 ()()(111tutuiRCr2022-3-1第二章控制系统的数学模型36（2）写出每个方程 对应的拉氏变换式，)4()()()3()()()()2()()()() 1 ()()()(222212111111sCsIsURsUsUsIsCsIsIsURsUsUsIccCCCr（3）根据以上列出的4个式子作出对应的框图；（4）根据信号的流向将各方框依次连接起来。2022-3-1第二章控制系统的数学模型37) 1 ()()()(111RsUsUsICr) 2()()(

20、)(1211sCsIsIsUC) 3 ()()()(221RsUsUsIcC) 4 ()()(22sCsIsUc2022-3-1第二章控制系统的数学模型381 1、分析系统，写出系统各部件的方程。、分析系统，写出系统各部件的方程。2 2、对各部件的微分方程取、对各部件的微分方程取LaplaceLaplace变换，并将它变换，并将它们用方框（块）表示。们用方框（块）表示。3 3、根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各、根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块连接起来，便可得到系统的方块图。方块连接起来，便可得到系统的方块图。2022-3-1第二章控制系统的数学模型392.4.2 结构图的等

21、效变换和化简结构图的等效变换和化简n框图的变换：框图的变换：用一个框图去代替与之等价的另用一个框图去代替与之等价的另一个框图，其目的通常是为了把框图化简。如一个框图，其目的通常是为了把框图化简。如:l框图的三种基本形式：框图的三种基本形式：串联、并联和反馈串联、并联和反馈 三种基本形式。在控制系统中，任何复杂的系统主三种基本形式。在控制系统中，任何复杂的系统主要由要由串联、并联和反馈串联、并联和反馈三种基本形式连接而成。三种基本形式连接而成。2022-3-1第二章 控制系统的数学模型40通式： niisGsG1)(串联环节数n1、串联连接)()()()()()()()()()()()()()(

22、3212312211sRsGsGsGsCsUsGsCsUsGsUsRsGsU)()()()()()(321sGsGsGsRsCsG等效传递函数：2022-3-1第二章 控制系统的数学模型412、并联连接)()()()()()(321sGsGsGsRsCsG等效传递函数： sRsRsRsRsCsCsCsCsGsGsG sGsGsG 321321321通式：并联环节数n sGsGnii12022-3-1第二章 控制系统的数学模型423、反馈连接2022-3-1第二章 控制系统的数学模型434、引出点移动1）引出点后移2）引出点前移2022-3-1第二章 控制系统的数学模型445、比较点（相加点）移

23、动1）比较点后移2）比较点前移变换前变换前变换后变换后引出点前移引出点前移引出点后移引出点后移比较点前移比较点前移比较点后移比较点后移比较点交换比较点交换2022-3-146例例 求图示系统的传递函数求图示系统的传递函数C(s)/R(s)解：将图中引出点A后移，并将引出点B分离，然后从内回路到外回路逐步化简，其过程如下图所示：H1G1H2分支点移动分支点移动abG41G3G4H3由于由于:G2引出引出 点分离点分离H3G3G4G2 H2G41 48G2H1G1G3向同类移动向同类移动G1G2G3H1G1G1G4H3G2G3H1作用分解作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1EoR1C2S+-E

24、iEo图（图（a) )图（图（b) )SCR111SCR221EiE+-R1C2s+-11RSC1121RSC21Eo图（图（c) )图（图（d) )EiEo图（图（e) )R1C2S+-EiSCRSCR1111111SCRSCR2222111R1C2S+-EiEo) 1)(1 (12211SCRSCR1)(1221122121SCRCRSCCRRHG3G4G4G3G1HG2G51、比较点后移，也相当于方块的分支、比较点后移，也相当于方块的分支C(s)R(s)2、引出点分支、引出点分支例：将图示结构图化简并求传递函数例：将图示结构图化简并求传递函数C(s)/R(s)G4G3G3G4G1G2G5

25、3、两条通道位置交换，即引出点换位置、两条通道位置交换，即引出点换位置HHC(s)R(s)4、比较点移位重画、比较点移位重画G3G4G1G2G55、比较点合并与分离、比较点合并与分离C(s)R(s)G3HHG4G1G3G56、一般等式效变换规则、一般等式效变换规则C(s)R(s)G3HG4HG2G4C(s)R(s)G5G4H+G3HG2G4+G1G3HGHGGGGGGsRsC34531421)()()(2022-3-1第二章控制系统的数学模型58本节内容简介本节内容简介1、开环开环传递函数与前向通道的传递函数传递函数与前向通道的传递函数)()()()()(21sHsGsGsEsB误差信号系统的

26、反馈量系统的开环传递函数)()()()(21sGsGsEsC误差信号系统的输出量数系统的前向通路传递函断开断开2、闭环传递函数、闭环传递函数)()()(1)()()()(21210)(sHsGsGsGsGsRsCsDR递函数参考输入作用下闭环传（1）、参考输入作用下的闭环传递函数D（s）=0)()()(11)()(210)(sHsGsGsRsEsDR递函数参考输入作用下闭环传闭环传递函数闭环传递函数（2）、扰动作用下的闭环传递函数R（s）=0-1扰动作用下闭环传递函数扰动作用下闭环传递函数)()()(1)()()(2120)(sHsGsGsGsDsCsRD数扰动作用下闭环传递函扰动作用下闭环传

27、递函数扰动作用下闭环传递函数)()()(1)()()()(2120)(sHsGsGsHsGsDsEsRD数扰动作用下闭环传递函总的闭环传递函数总的闭环传递函数)()()()(1)()()()()(1)()()()()(2122121sDsHsGsGsGsRsHsGsGsGsGsCsCsCDR 当系统同时受到R(s)和D(s)作用时，由叠加原理可知：系统总的输出阻抗为它们单独作用于系统引起的输出之和。即： 同样，系统总的误差为它们单独作用于系统引起的输出之和。即：)()()()(1)()()()()()(11)()()(21221sDsHsGsGsHsGsRsHsGsGsEsEsEDR2022-

28、3-1第二章控制系统的数学模型66本节内容简介本节内容简介 信号流图和框图类似，都可用来表示系统结构和信号传送过程中的数学关系。因而信号流图也是数学模型一种表示。 框图及其等效变换虽然对分析系统很有效，但是对于比较复杂的系统，方框图的变换和化简过程往往显得繁琐、费时，并易于出错。如采用信号流图，则可利用梅逊公式，不需作变换而直接得出系统中任何两个变量之间的数学关系。 信号流图是一种将线性代数方程组用图形来表示的方法 信号流图起源于 S.J.Mason 利用图示法来描述一个或一组线性代数方程式，它是由节点和支路组成的一种信号传递网络。452534423312cxgxdxxbxxfxaxxexxx

29、例如，已知线性代数方程为：x1dx4x3x2abce1fgx5X61（1 1） 节点：节点：信号流图中的变量信号，用信号流图中的变量信号，用 “ “o” o” 表示。表示。 每个节点都有两层意思：每个节点都有两层意思： 代表系统中的变量；代表系统中的变量； 每个节点标志所有流向该节点的信号的代数和。每个节点标志所有流向该节点的信号的代数和。（2 2） 源点：源点：也叫输入节点，即信号流图的输入点，这种也叫输入节点，即信号流图的输入点，这种节点只有输出支路，相当于自变量节点只有输出支路，相当于自变量, ,图中的图中的X1X1。1、信号流图的组成 :2.6.2 信号流图的组成及性质信号流图的组成及

30、性质x1dx4x3x2abce1fgx5X61（3 3） 阱点：阱点：也叫输出节点或汇节点，即信号流图的输出也叫输出节点或汇节点，即信号流图的输出点，这种节点只有输入支路，相当于因变量。输出的节点点，这种节点只有输入支路，相当于因变量。输出的节点也叫汇节点，图中也叫汇节点，图中X6X6。 如果没有输出点，一般在最后输出处加一个系数为如果没有输出点，一般在最后输出处加一个系数为1 1的的传递关系，引出一个输出点。传递关系，引出一个输出点。 （4 4） 混合节点：混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点，就既有输入支路又有输出支路的节点，就称混合节点。称混合节点。 （5 5） 支路：支路：连接两个

31、节点的定向线段称为支路。连接两个节点的定向线段称为支路。 每条支路也都有两层意思：每条支路也都有两层意思： 表示信号的流向；表示信号的流向； 表示信号的变化，即支路增益。表示信号的变化，即支路增益。x1dx4x3x2abce1fgx5X61（6 6） 通路：通路：沿支路的箭头方向穿过各相连支路的途径，沿支路的箭头方向穿过各相连支路的途径，称为通路。称为通路。（7 7） 前向通路：前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路，叫做前向通路。个节点只通过一次的通路，叫做前向通路。（8 8） 前向通路增益：在前向通道中，各支路增益的乘积。前向通

32、路增益：在前向通道中，各支路增益的乘积。（9 9） 回路：回路：起点和终点在同一节点，而且通过每一个节起点和终点在同一节点，而且通过每一个节点不多于一次的闭合通路称为回路。点不多于一次的闭合通路称为回路。（1010） 回路增益：回路增益：回路中各支路增益的乘积。回路中各支路增益的乘积。（1111） 不接触回路：不接触回路：就是回路之间没有任何公共的节点，就是回路之间没有任何公共的节点，则成为不接触回路。则成为不接触回路。x1dx4x3x2abce1fgx5X61（1 1）节点代表系统的变量，源点代表输入量，）节点代表系统的变量，源点代表输入量，阱点代表输出量，用混合节点代表变量或信号的汇合阱点

33、代表输出量，用混合节点代表变量或信号的汇合。在混合节点处，出支路的信号等于各支路信号的叠。在混合节点处，出支路的信号等于各支路信号的叠加。加。（2 2）支路表示变量或信号的传输和变换过程，）支路表示变量或信号的传输和变换过程，信号只能沿着支路的箭头方向传输。在信号流图中每信号只能沿着支路的箭头方向传输。在信号流图中每经过一条支路，相当于在方框图中经过一个用方框表经过一条支路，相当于在方框图中经过一个用方框表示的环节。示的环节。（3 3）增加一个具有单位传输的支路，可以把混）增加一个具有单位传输的支路，可以把混合节点化为阱点。合节点化为阱点。（4 4）对于同一系统，信号流图的形式不是唯一）对于同

34、一系统，信号流图的形式不是唯一的。信号流图和方框图是一一对应的，且可以互相转的。信号流图和方框图是一一对应的，且可以互相转化。化。2、信号流图的基本性质:信号流图的简化信号流图的简化X1X2X3X4a1a2a3X1X2X4a1a3a2a3abX1X2X1X2aba11.1.串联支路的总传输等于各支路传输之积串联支路的总传输等于各支路传输之积; ;2.2.并联支路的总传输等于各支路传输之和并联支路的总传输等于各支路传输之和; ;3.3.混合节点可以通过移动支路的方法消去混合节点可以通过移动支路的方法消去; ;4.4.回路可以根据反馈连接的规则化为等效支路。回路可以根据反馈连接的规则化为等效支路。

35、下表列出了信号流图的等效变换规则:信号流图的绘制信号流图的绘制1 1）由系统微分方程绘制信号流图；）由系统微分方程绘制信号流图；( (现控现控) )2 2）由系统结构图绘制信号流图。）由系统结构图绘制信号流图。试将下图所示的系统方框图化为信号流图试将下图所示的系统方框图化为信号流图并进行简化，求出系统的闭环传递函数。并进行简化，求出系统的闭环传递函数。 解解: : ( (a a) )所示的框图可化为图所示的框图可化为图( (b b) )所示的信号流图所示的信号流图，注意：框图中比较环节的正负号在信号流图中，注意：框图中比较环节的正负号在信号流图中表现在支路传输的符号上。图表现在支路传输的符号上

36、。图2-302-30表示了信号流表示了信号流图的简化过程。图的简化过程。2022-3-1第二章 控制系统的数学模型772022-3-179设一系统的线性方程组为设一系统的线性方程组为输出量输入量式中514453355444334422335524423321122, - - xxxaxaxxaxaxxaxxaxaxaxax绘制的步骤如图2-43所示。图2-43方程组的信号流程Pk从从R(s)到到C(s)的第的第k条前向通路传递函数条前向通路传递函数梅逊公式介绍梅逊公式介绍 R-CC(s)R(s)=Pkk:称为系统特征式称为系统特征式=1- La+ LbLc-LdLeLf+其中其中:所有单独所有

37、单独之和之和LaLbLc所有两两互不接触回路增益乘积之和所有两两互不接触回路增益乘积之和LdLeLf所有三个互不接触回路增益乘积之和所有三个互不接触回路增益乘积之和k称为第称为第k条前向通路的余子式条前向通路的余子式求法求法: 去掉第去掉第k条前向通路后所求的条前向通路后所求的四个单独回路，两个回路互不接触四个单独回路，两个回路互不接触C(s)R(s)=1afbgch ehgf+afchabcded (1bg)前向通路两条前向通路两条梅森公式：梅森公式：e1abcdfghC(s)R(s)梅森公式梅森公式 1G1KC(s)R(s)1G3G211-1-1-1-1四个单独回路：四个单独回路：-G1，-G2，-G3，-G1G2两个互不接触的回路有四组：两个互不接触的回路有四组：G1G2， G1G3， G2 G3 ，G1G2 G3三个回路两两互不接触有一组：三个回路两两互不接触有一组：- G1 G2G3于是，信号流图特征式为：于是，信号流图特征式为：3213231213212211GGGGGGGGGGGGLLLLLLfedcba123221,GKGGp233131,GKGGp前向通路有四条前向通路有四条梅森公式梅森公式1G1KC(s)R(s)1G3G211-1-1-1-11,13211KGGGp1,43214KGGGp梅森公式梅森公式3213231213212