第四章(第4,5节)两自由度系统的振动

1、振动系统微分方程振动系统微分方程 图图4.4-1a所示的无阻尼的两自由度振动系统，系统可所示的无阻尼的两自由度振动系统，系统可以用以用x1(t)和和x2(t)两个坐标来完全地描述。由图两个坐标来完全地描述。由图4.4-1b，应，应用牛顿定律得系统的振动微分方程为用牛顿定律得系统的振动微分方程为 2312222212211111)()()()(xkxxktFxmxxkxktFxm （4.4-1） 写成矩阵形式写成矩阵形式)()(0021213222212121tFtFxxkkkkkkxxmm （4.4-2） 图4.4-1 从方程从方程(4.4-2)可以看出，矩阵可以看出，矩阵M和和k都是对称都是

2、对称的，矩阵元素为的，矩阵元素为振动系统微分方程振动系统微分方程22221121110mmmmmm，3222221122111kkkkkkkkk，由此方程由此方程(4.4-2)可以改写为可以改写为)()(22221212221211212111212111tFxkxkxmxmtFxkxkxmxm (4.4-3) 这样，原来的对角质量阵已被一个更为一般这样，原来的对角质量阵已被一个更为一般的非对角的但是对称的矩阵所代替。的非对角的但是对称的矩阵所代替。考虑考虑F1(t)和和F2(t)为简谐激励，即为简谐激励，即， tFtFsin)(11tFtFsin)(22(4.4-4)振动系统微分方程的求解振

3、动系统微分方程的求解并设稳态响应为并设稳态响应为， tXtxsin)(11tXtxsin)(22(4.4-5) 一般说来，一般说来，X1和和X2是决定于激励频率是决定于激励频率和系统参数和系统参数的量。的量。 把式把式(4.4-4)和式和式(4.4-5)代入方程代入方程(4.4-3)，得到两个代，得到两个代数方程数方程22222221212121212122111112)()()()(FXkmXkmFXkmXkm(4.4-6)引入记号：引入记号：ijijijkmZ2)(i, j=1, 2)(4.4-7)于是方程于是方程(4.4-6)可以改写为可以改写为22221211212111)()()()

4、(FXZXZFXZXZ(4.4-8)振动系统微分方程的求解振动系统微分方程的求解写成矩阵形式为写成矩阵形式为FX )(Z(4.4-9)式中式中X为位移幅度向量，为位移幅度向量，F为激励幅度向量，矩阵为激励幅度向量，矩阵Z( )显然是对称矩阵。显然是对称矩阵。 方程方程(4.4-9)的解可以用的解可以用Z()的逆矩阵左乘方程两边的逆矩阵左乘方程两边得到，其结果为得到，其结果为FZX1)(4.4-10)式中逆矩阵式中逆矩阵 Z() - -1可以表示为下面的形式可以表示为下面的形式 122122111( )( )1( )( )detZZZZZZ(4.4-11)()()()()()()(1112112

5、222122211ZZZZZZZ振动系统微分方程的求解振动系统微分方程的求解 把方程把方程(4.4-11)代入方程代入方程(4.4-10)，进行乘法运算可，进行乘法运算可得解为得解为将式将式(4.4-12)代入式代入式(4.4-5)可得两自由度系统受简谐激励可得两自由度系统受简谐激励的稳态响应的表达式，即的稳态响应的表达式，即)()()()()()()()()()()()(2122211211121221222112121221ZZZFZFZXZZZFZFZX(4.4-12)tZZZFZFZtXtxsin)()()()()(sin)(212221121212211tZZZFZFZtXtxsin

6、)()()()()(sin)(212221121112122例题：简谐激励强迫振动的稳态响应例题：简谐激励强迫振动的稳态响应（例（例4.4-1） 例例4.4-1 考虑图考虑图4.4-1所示系统，设所示系统，设m1=m，m2=2m, c1=c2=c3=0, k1=k2=k, k3=2k，并设并设F1(t)= F0sint, F2(t)=0。求系统的稳态响应，并绘出频率响应曲线。求系统的稳态响应，并绘出频率响应曲线。 解：解：根据已知条件，由式根据已知条件，由式(4.4-7)可得可得mkmkZ21211112)(kkZZ122112)()(例题：简谐激励强迫振动的稳态响应例题：简谐激励强迫振动的稳

7、态响应（例（例4.4-1）mkmkZ222222223)(于是由式于是由式(4.4-12)得稳态响应的幅值为得稳态响应的幅值为22420221222112121221572)23()()()()()()(kmkmFmkZZZFZFZX2242021222112111212572)()()()()()(kmkmkFZZZFZFZX已知已知X1和和X2的分母为特征行列式，即的分母为特征行列式，即)(2572)(222212222422mkmkm例题：简谐激励强迫振动的稳态响应例题：简谐激励强迫振动的稳态响应（例（例4.4-1）mkmkmk5814. 125,21式中式中为系统固有频率的平方。为系统

8、固有频率的平方。因此稳态响应的幅值可以写成因此稳态响应的幅值可以写成)(1)(1 )(2352)(22212101kFX)(1)(1 15)(222102kFX例题：简谐激励强迫振动的稳态响应例题：简谐激励强迫振动的稳态响应（例（例4.4-1）从图中可以看出，当从图中可以看出，当=1或=2时，时，X1和X2均趋于无均趋于无穷大，可见对于穷大，可见对于两自由度系统存在两个共振频率。两自由度系统存在两个共振频率。X1()对对/1和和X2()对对/1的频率响应曲线绘于图的频率响应曲线绘于图4.4-2。 图 4.4-2动力减振器概述动力减振器概述 机器或结构物，在交变力的作用下，特别机器或结构物，在交

9、变力的作用下，特别是固有频率接近激振频率时将引起强烈的振动，是固有频率接近激振频率时将引起强烈的振动，为了减除振动，一般可以通过改变系统的质量或为了减除振动，一般可以通过改变系统的质量或刚度来实现。刚度来实现。 当无法通过改变系统特性来实现减除振动当无法通过改变系统特性来实现减除振动的目的时，通常采用动力减振器这种有效的减振的目的时，通常采用动力减振器这种有效的减振措施。措施。 系统加上动力减振器以后，会使原来的单系统加上动力减振器以后，会使原来的单自由度系统变为两自由度系统，因而有两个固有自由度系统变为两自由度系统，因而有两个固有频率，每当激振频率与其中任一固有频率相接近频率，每当激振频率与

10、其中任一固有频率相接近时，系统都会发生共振。时，系统都会发生共振。动力减振器概述动力减振器概述 这种动力减振器只是用于激振频率基本固定的情这种动力减振器只是用于激振频率基本固定的情形。例如同步电机等恒速运转的机器，这样虽然产生了形。例如同步电机等恒速运转的机器，这样虽然产生了两个固有频率，但是这两个频率一般来说不等于激振运两个固有频率，但是这两个频率一般来说不等于激振运转频率，因而避免了共振。转频率，因而避免了共振。 如果激振频率可以在相当大的范围内改变时，例如果激振频率可以在相当大的范围内改变时，例如变转速运行的发动机，其激励频率随转速在很大范围如变转速运行的发动机，其激励频率随转速在很大范

11、围内变动，则这种动力减振器只是使原来的一个共振频率内变动，则这种动力减振器只是使原来的一个共振频率的振动系统改变为两个共振频率的振动系统，不能起到的振动系统改变为两个共振频率的振动系统，不能起到减振的作用。减振的作用。 在生产实践中，要消除频率范围变化较大的机器在生产实践中，要消除频率范围变化较大的机器设备的过大的振动，必须设计减振器的固有频率能跟随设备的过大的振动，必须设计减振器的固有频率能跟随转速自动调节等功能，才能有效地达到减振的目的。转速自动调节等功能，才能有效地达到减振的目的。动力减振器减振原理推导动力减振器减振原理推导 考虑图考虑图4.5-1所示的系统，所示的系统，由质量由质量m1

12、和弹簧和弹簧k1组成的系统组成的系统称为主系统，而由质量称为主系统，而由质量m2和弹和弹簧簧k2组成的附加系统称为减振组成的附加系统称为减振器。这个组合系统的振动微分器。这个组合系统的振动微分方程为方程为0sin)(22122212212111xkxkxmtFxkxkkxm (4.5-1)设其解为设其解为tXxtXxsin,sin2211(4.5-2)图 4.5-1动力减振器减振原理推导动力减振器减振原理推导代入方程代入方程(4.5-1)，有有211212222220XFkkmkXkkm(4.5-3)从而可以得出从而可以得出22222122112222222122112221)()()(kmk

13、mkkFkXkmkmkkFmkX(4.5-4)习惯上，引入下列符号：习惯上，引入下列符号：11mkn主系统的固有频率；主系统的固有频率；22mk减振器的固有频率；减振器的固有频率；动力减振器减振原理推导动力减振器减振原理推导主系统的静变形；主系统的静变形；11kFxst减振器质量对主质量的比值。减振器质量对主质量的比值。12mm于是，方程于是，方程(4.5-4)可以写为可以写为2222222222111 11 )(1 nnnstnnnstxXxX(4.5-5)根据方程根据方程(4.5-5)可以看出，可以看出，当当=时时（激励频率等于激励频率等于减减振器的固有频率）振器的固有频率），主质量的振幅

14、，主质量的振幅X1减小到零，就可以减小到零，就可以消除主质量的振动，使主系统保持不动。消除主质量的振动，使主系统保持不动。 减振器的振动减振器的振动 从方程从方程(4.5-5)第二式看出，当第二式看出，当=时，减振时，减振器则以频率器则以频率振动，其振幅振动，其振幅X2为为(4.5-6)2122kFxXstn将其代入方程将其代入方程(4.5-2)第二式，有第二式，有tkFxsin212(4.5-7)从此得出，在任何瞬时，减振器弹簧中的力为从此得出，在任何瞬时，减振器弹簧中的力为tFxksin122(4.5-8)其其正好平衡了主质量上的作用力正好平衡了主质量上的作用力。主系统的频响曲线主系统的频响曲线 图图4.5-2画出了主系统的频率响应曲线