第四单元几何初步和三角形(精品课件)

1、第四单元第四单元 三角形三角形 2016年最新人教版中考数学精品复习课件年最新人教版中考数学精品复习课件第第1717课时课时线段、角、平行线与相交线段、角、平行线与相交线线 第第1818课时三角形课时三角形第第1919课时课时 全等三角形全等三角形第第2020课时课时 等腰三角形等腰三角形第第2121课时课时 直角三角形与勾股定理直角三角形与勾股定理第第2222课时课时 相似三角形及其应用相似三角形及其应用第第2323课时课时 锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用第第17讲讲几何初步及平行线、相交线几何初步及平行线、相交线 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 三种

2、基本图形三种基本图形直线、射线、线段直线、射线、线段 一一 线段线段 长度长度 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 角角射线射线 顶点顶点 两边两边 端点端点 直角直角 锐角锐角 考点考点3 3 几何计数几何计数 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点4 4 互为余角、互为补角互为余角、互为补角 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦相等相等 相等相等 考点考点5 5 邻补角、对顶角邻补角、对顶角 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点6 6 “三线八角三线八角“的概念的概念 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点7 7 平行平行 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦不相交不相交 一一平行平行 平

3、行平行第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点8 8 垂直垂直 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦直角直角 垂足垂足 一一 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦垂线段垂线段 垂线段垂线段 垂线段垂线段 第第17讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一线与角的概念和基本性质类型之一线与角的概念和基本性质 命题角度：命题角度：1. 线段、射线和直线的性质及计算；线段、射线和直线的性质及计算；2. 角的有关性质及计算角的有关性质及计算例例1 北京北京 如图如图171，直线，直线AB，CD交于点交于点O，射线，射线OM平分平分AOC，若，若BOD76，则，则BOM等于等于()A38 B104C142 D1

4、44 C 图图171第第17讲讲 归类示例归类示例 类型之二直线的位置关系类型之二直线的位置关系 命题角度：命题角度：1. 1. 直线平行与垂直的判定及简单应用；直线平行与垂直的判定及简单应用；2. 2. 角度的有关计算角度的有关计算. . 第第17讲讲 归类示例归类示例图图172 例例2 义乌义乌 如图如图172，已知，已知ab，小亮把三角板的，小亮把三角板的直角顶点放在直线直角顶点放在直线b上若上若140，则，则2的度数为的度数为_ 50 第第17讲讲 归类示例归类示例解析解析 如图，如图，140，3180190180409050.ab，2350.故答案为：故答案为：50. 计算角度问题时

5、，要注意挖掘图形中的隐含条件计算角度问题时，要注意挖掘图形中的隐含条件( (三角形内角和、互为余角或补角、平行性质、垂直三角形内角和、互为余角或补角、平行性质、垂直) )及角平分线知识的应用及角平分线知识的应用第第17讲讲 归类示例归类示例 类型之三类型之三 度、分、秒的计算度、分、秒的计算 例例3 3 芜湖芜湖 一个角的补角一个角的补角是是3635，这个角是，这个角是_. 第第17讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1度、分、秒的换算；度、分、秒的换算；2度、分、秒的计算度、分、秒的计算14325 解析解析 这个角为这个角为180363514325 第第17讲讲 归类示例归类示例 注意

6、角的度数之间的进率是注意角的度数之间的进率是6060而不是而不是1010，这是容易出，这是容易出错的地方错的地方 类型之四类型之四 平行线的性质和判定的应用平行线的性质和判定的应用 命题角度：命题角度：1. 平行线的性质；平行线的性质；2. 平行线的判定；平行线的判定；3. 平行线的性质和判定的综合应用平行线的性质和判定的综合应用第第17讲讲 归类示例归类示例例例4 如图如图173，ABCD，分别探讨下面四个图形中，分别探讨下面四个图形中APC与与PAB、PCD的关系，请你从所得到的关系中的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以证明任选一个加以证明 图图173第第17讲讲 归类示例归类示例解：

7、解：APC PAB PCD；APC360(PAB PCD)；APCPAB PCD；APCPCDPAB.如证明如证明 APC PAB PCD.证明：过证明：过P点作点作PEAB，所以，所以AAPE.又因为又因为ABCD，所以，所以PECD，所以，所以CCPE，所以所以ACAPECPE，APC PAB PCD.同理可证明其他的结论同理可证明其他的结论 平行线的性质与判定的综合运用，是解平行线的性质与判定的综合运用，是解决与平行线有关的问题的常用方法先由决与平行线有关的问题的常用方法先由“形形”得到得到“数数”，即应用特征得到角相等，即应用特征得到角相等(或互补或互补)，再利用角之间的关系进行计算，

8、再利用角之间的关系进行计算，得到新的关系然后再由得到新的关系然后再由“数数”到到“形形”得得到一组新的平行到一组新的平行第第17讲讲 归类示例归类示例第第18讲讲三角形三角形第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 三角形的分类三角形的分类 1 1按角分：按角分：第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦2 2按边分：按边分：第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 三角形中的重要线段三角形中的重要线段 内内 内内 锐角锐角 直角直角 钝角钝角 考点考点3 3 三角形的中位线三角形的中位线 第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦中点中点 平行平行 一半一半 考点考点4 4 三角形的三边关系

9、三角形的三边关系 第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦大于大于 小于小于 考点考点5 5 三角形的内角和定理及推理三角形的内角和定理及推理 第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦180 不相邻的两个内角不相邻的两个内角 不相邻不相邻 互余互余 360 第第18讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一三角形三边的关系类型之一三角形三边的关系命题角度：命题角度：1. 判断三条线段能否组成三角形；判断三条线段能否组成三角形；2. 求字母的取值范围；求字母的取值范围；3. 三角形的稳定性三角形的稳定性例例1 长沙长沙现有现有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm长的四根木棒长的四根木棒，任取其中三根组成一个

10、三角形，那么可以组成的三角形，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是的个数是() A1 B2 C3 D4 B 第第18讲讲 归类示例归类示例 解析解析 四条木棒的所有组合：四条木棒的所有组合：3，4，7和和3，4，9和和3，7，9和和4，7，9；只有；只有3，7，9和和4，7，9能组成三角形故选能组成三角形故选B. 类型之二三角形的重要线段的应用类型之二三角形的重要线段的应用 命题角度：命题角度：1. 1. 三角形的中线、角平分线、高线；三角形的中线、角平分线、高线；2. 2. 三角形的中位线三角形的中位线第第18讲讲 归类示例归类示例图图181 例例2 盐城盐城如图如图18

11、1，在，在ABC中，中， D，E分别是边分别是边AB、AC的中点，的中点，B50.现将现将ABC沿沿DE折叠，点折叠，点A落在三角形所在平面内的点落在三角形所在平面内的点A1，则，则BDA1的度数为的度数为_ 80 第第18讲讲 归类示例归类示例 解析解析 由折叠的性质可知由折叠的性质可知ADA1D，根据中位线的，根据中位线的性质得性质得DEBC；然后由两直线平行，同位角相等推知；然后由两直线平行，同位角相等推知ADEB50；最后由折叠的性质知；最后由折叠的性质知ADEA1DE，所以，所以BDA11802B80. 类型之三类型之三 三角形内角与外角的应用三角形内角与外角的应用 例例3 3 乐山

12、乐山 如图如图182，ACD是是ABC的外角，的外角，ABC的平分线与的平分线与ACD的平分线交于点的平分线交于点A1，A1BC的平分线与的平分线与A1CD的平分线交于点的平分线交于点A2，An1BC的平分线与的平分线与An1CD的平分线交于点的平分线交于点An. 设设A.则则(1)A1_； (2)An_.第第18讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1. 三角形内角和定理；三角形内角和定理；2. 三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论图图182第第18讲讲 归类示例归类示例 解析解析 (1) (1)根据角平分线的定义可得根据角平分线的定义可得A A1 1BCBCABCABC，A A

13、1 1CDCDACDACD，再根据三角形的一个，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得外角等于与它不相邻的两个内角的和可得ACDACDA AABCABC，A A1 1CDCDA A1 1BCBCA A1 1，整理即可得解；，整理即可得解；(2)(2)与与(1)(1)同理求出同理求出A A2 2，可以发现后一个角等，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律再结合脚码即可于前一个角的，根据此规律再结合脚码即可得解得解 第第18讲讲 归类示例归类示例第第18讲讲 归类示例归类示例 综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平分线的性质，灵

14、活地运用这些基础知识，合理地推理，分线的性质，灵活地运用这些基础知识，合理地推理，可以灵活的解决内外角的关系得到结论可以灵活的解决内外角的关系得到结论第第19讲讲全等三角形全等三角形 第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 全等图形及全等三角形全等图形及全等三角形 全等图形全等图形 大小大小第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 全等三角形的性质全等三角形的性质 相等相等 相等相等 相等相等 相等相等 相等相等 考点考点3 3 全等三角形的判定全等三角形的判定 第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦ASA AAS SAS HL 第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点4 4

15、利用利用“尺规尺规”作三角形的类型作三角形的类型 第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点5 5 角平分线的性质与判定角平分线的性质与判定 第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦距离距离 平分线平分线 第第19讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一全等三角形性质与判定的综合应用类型之一全等三角形性质与判定的综合应用命题角度：命题角度：1. 利用利用SSS、ASA、AAS、SAS、HL判定三角形全等；判定三角形全等；2. 利用全等三角形的性质解决线段或角之间的关系与计算问题利用全等三角形的性质解决线段或角之间的关系与计算问题例例1 重庆重庆 已知：如图已知：如图191，ABAE，12，B E，求

16、证：，求证：BCED.图图191第第19讲讲 归类示例归类示例第第19讲讲 归类示例归类示例 1 1解决全等三角形问题的一般思路：先用全等三解决全等三角形问题的一般思路：先用全等三角形的性质及其他知识，寻求判定一对三角形全等的条角形的性质及其他知识，寻求判定一对三角形全等的条件；再用已判定的全等三角形的性质去解决其他问件；再用已判定的全等三角形的性质去解决其他问题即由已知条件题即由已知条件( (包含全等三角形包含全等三角形) )判定新三角形全等、判定新三角形全等、相应的线段或角的关系；相应的线段或角的关系； 2 2轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等；轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等； 3

17、 3利用全等三角形性质求角的度数时注意挖掘条件，利用全等三角形性质求角的度数时注意挖掘条件，例如对顶角相等、互余、互补等例如对顶角相等、互余、互补等 类型之二全等三角形开放性问题类型之二全等三角形开放性问题 命题角度：命题角度：1. 1. 三角形全等的条件开放性问题；三角形全等的条件开放性问题；2. 2. 三角形全等的结论开放性问题三角形全等的结论开放性问题第第19讲讲 归类示例归类示例图图192 例例2 义乌义乌 如图如图192，在，在ABC中，点中，点D是是BC的中点的中点，作射线，作射线AD，在线段，在线段AD及其延长线上分别取点及其延长线上分别取点E、F，连，连接接CE、BF.添加一个

18、条件，使得添加一个条件，使得BDF CDE，并加以，并加以证明你添加的条件是证明你添加的条件是_(不添加辅助线不添加辅助线)DEDF 第第19讲讲 归类示例归类示例第第19讲讲 归类示例归类示例由于判定全等三角形的方法很多，所以题目中常给出由于判定全等三角形的方法很多，所以题目中常给出( (有有些是推出些是推出) )两个条件，让同学们再添加一个条件，得出全两个条件，让同学们再添加一个条件，得出全等，再去解决其他问题这种题型可充分考查学生对全等，再去解决其他问题这种题型可充分考查学生对全等三角形的掌握的牢固与灵活程度等三角形的掌握的牢固与灵活程度 类型之三类型之三 利用全等三角形设计测量方案利用

19、全等三角形设计测量方案 例例3 3 柳州柳州 如图如图193，小强利用全等三角形的知识测量，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端池塘两端M、N的距离，如果的距离，如果PQO NMO，则只需测，则只需测出其长度的线段是出其长度的线段是()APO BPQ CMO DMQ第第19讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：全等三角形的判定全等三角形的判定 图图193B 第第19讲讲 归类示例归类示例 解析解析 要想利用要想利用PQOPQONMONMO求得求得MNMN的长的长，只需求得线段，只需求得线段PQPQ的长，故选的长，故选B.B. 类型之四角平分线类型之四角平分线 例例4 4 (1)班同学上数学

20、活动课，利用角尺平分一个角班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角(如图如图194所示所示)设计了如下方案：设计了如下方案：()AOB是一个任意角，将角尺的是一个任意角，将角尺的直角顶点直角顶点P介于射线介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与刻度与M、N重合，即重合，即PMPN，过角尺顶点，过角尺顶点P的射线的射线OP就是就是AOB的平分线的平分线()AOB是一个任意角，在边是一个任意角，在边OA、OB上分上分别取别取OMON，将角尺的直角顶点，将角尺的直角顶点P介于射线介于射线OA、OB之间，移之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与动角尺使角尺两边相

21、同的刻度与M、N重合，即重合，即PMPN，过角，过角尺顶点尺顶点P的射线的射线OP就是就是AOB的平分线的平分线 第第19讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：(1)角平分线的性质；角平分线的性质；(2)角平分线的判定角平分线的判定第第19讲讲 归类示例归类示例(1)方案方案()、方案、方案()是否可行？若可行，请证是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；明；若不可行，请说明理由；(2)在方案在方案()PMPN的情况下，继续移动角尺的情况下，继续移动角尺，同时使，同时使PMOA，PNOB.此方案是否可行？请此方案是否可行？请说明理由说明理由图图194第第19讲讲 归类示例归类示例第

22、第19讲讲 归类示例归类示例(2)当当AOB是直角时，方案是直角时，方案()可行可行四边形内角和为四边形内角和为360，又若，又若PMOA，PNOB，则，则OMPONP90，MPN90，AOB90.若若PMOA，PNOB，且且PMPN，OP为为AOB的平分线的平分线当当AOB不为直角时，此方案不可行不为直角时，此方案不可行因四边形内角和为因四边形内角和为360，若，若AOB不为直角，不为直角，则则PM、PN不可能垂直不可能垂直OA、OB.第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 等腰三角形的概念与性质等腰三角形的概念与性质 两边两边 一一

23、等边对等角等边对等角 中线中线第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 等角对等边等角对等边考点考点3 3 等边三角形等边三角形 第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦相等相等 60 3 考点考点4 4 线段的垂直平分线线段的垂直平分线 第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦相等相等 垂直平分线垂直平分线 距离相等距离相等 第第20讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一等腰三角形的性质的运用类型之一等腰三角形的性质的运用 命题角度：命题角度：1. 等腰三角形的性质；等腰三角形的性质；2. 等腰三角形等腰三角形“三线合一三线合一”的性

24、质；的性质；3. 等腰三角形两腰上的高等腰三角形两腰上的高(中线中线)、两底角的平分线的性质、两底角的平分线的性质. 例例1 如图如图201，在等腰三角形，在等腰三角形ABC中，中，ABAC，AD是是BC边上的中线，边上的中线，ABC的平分线的平分线BG，交，交AD于点于点E，EFAB，垂足为，垂足为F.求证：求证：EFED.图图201第第20讲讲 归类示例归类示例解析解析 根据等腰三角形三线合一，确定根据等腰三角形三线合一，确定ADBC，又因为，又因为EFAB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证出结论等证出结论证明：证明：ABAC，AD是是

25、BC边上的中线，边上的中线，ADBC.BG平分平分ABC，EFAB，EFED.第第20讲讲 归类示例归类示例 (1)(1)利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进行角度转换行角度转换 (2) (2)在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进行互相转换行互相转换 类型之二等腰三角形判定类型之二等腰三角形判定 命题角度：命题角度：等腰三角形的判定等腰三角形的判定第第20讲讲 归类示例归类示例图图202 例例2 扬州扬州 已知：如图已知：如图202，锐角，锐角ABC的两条高的两条高BD、CE相交于点相交于点O，且，

26、且OBOC.(1)求证：求证：ABC是等腰三角形；是等腰三角形；(2)判断点判断点O是否在是否在BAC的平分线上，并说明理由的平分线上，并说明理由 第第20讲讲 归类示例归类示例解析解析 (1)利用利用BDC CEB 证明证明DCBEBC；(2)连接连接AO，通过，通过HL证证明明ADO AEO，从而得到，从而得到DAOEAO，利用角平分线上的点到两边的距，利用角平分线上的点到两边的距离相等，证明结论离相等，证明结论解：解：(1)证明：证明：OBOC，OBCOCB.BD、CE是两条高，是两条高，BDCCEB90.又又BCCB，BDC CEB (AAS)DBCECB, ABAC.ABC是等腰三角

27、形是等腰三角形第第20讲讲 归类示例归类示例(2)点点O是在是在BAC的平分线上的平分线上连接连接AO.BDC CEB，DCEB.OBOC， ODOE.又又BDCCEB90，AOAO，ADO AEO(HL)DAOEAO. 点点O是在是在BAC的平分线上的平分线上第第20讲讲 归类示例归类示例要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有而得到两边相等的方法主要有(1)(1)通过等角对等边得两边通过等角对等边得两边相等；相等；(2)(2)通过三角形全等得两边相等；通过三角形全等得两边相等；(3)(3)利用垂直平利用垂直平

28、分线的性质得两边相等分线的性质得两边相等 类型之三类型之三 等腰三角形的多解问题等腰三角形的多解问题 例例3 3 广安广安 已知等腰已知等腰ABC中，中，ADBC于点于点D，且，且AD0.5 BC，则，则ABC底角的度数为底角的度数为()A45 B75C45或或75 D60第第20讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1. 遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角有底角和顶角之分；有底角和顶角之分；2. 遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况C 第第20讲讲 归类示例归类示例第第20讲讲 归类

29、示例归类示例 因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解情况故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解题，才能避免漏解情况题，才能避免漏解情况 类型之四等边三角形的判定与性质类型之四等边三角形的判定与性质 例例4 4 绍兴绍兴 数学课上，李老师出示了如下框中的题数学课上，李老师出示了如下框中的题目目在等边三角形在等边三角形ABC中，点中，点E在在AB上，点上，点D在在CB的延长的延长线上，且线上，且EDEC，

30、如图，如图203.试确定线段试确定线段AE与与DB的大小关系，并说明理由的大小关系，并说明理由第第20讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：等边三角形的判定与性质的综合等边三角形的判定与性质的综合图图203第第20讲讲 归类示例归类示例小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论特殊情况，探索结论当点当点E为为AB的中点时，如图的中点时，如图204，确定线段，确定线段AE与与DB的大小关系，请你直接写出结论：的大小关系，请你直接写出结论：AE_DB(填填“”“”“”或或“”)理由如下理由如下：如图：如图204，过点，过点E作作EFBC

31、，交，交AC于点于点F.(请你完成以下解答过程请你完成以下解答过程)(3)拓展结论，设计新题拓展结论，设计新题在等边三角形在等边三角形ABC中，点中，点E在直线在直线AB上，点上，点D在直线在直线BC上，且上，且EDEC.若若ABC的边长为的边长为1，AE2，求，求CD的长的长(请你直接写出结果请你直接写出结果) (3)1或或3.第第20讲讲 归类示例归类示例方法一：等边三角形方法一：等边三角形ABCABC中，中，ABCABCACBACBBACBAC6060，ABABBCBCACAC. .EFEFBCBC，AEFAEFAFEAFE6060BACBAC，AEFAEF是等边三角形，是等边三角形，A

32、EAEAFAFEFEF，ABABAEAEACACAFAF，即，即BEBECFCF. .又又ABCABCEDBEDBBEDBED6060，ACBACBECBECBFCEFCE6060，且且EDEDECEC，EDBEDBECBECB，BEDBEDFCEFCE. .又又DBEDBEEFCEFC120120，DBEDBEEFCEFC，DBDBEFEF，AEAEBDBD. .第第20讲讲 归类示例归类示例方法二：在等边三角形方法二：在等边三角形ABCABC中，中，ABCABCACBACB6060，ABDABD120120. .ABCABCEDBEDBBEDBED，ACBACBECBECBACEACE，E

33、DEDECEC，EDBEDBECBECB，BEDBEDACEACE. .FEFEBCBC，AEFAEFAFEAFE6060BACBAC，AEFAEF是正三角形，是正三角形，EFCEFC180180ACBACB120120ABDABD. .EFCEFCDBEDBE，DBDBEFEF，而由而由AEFAEF是正三角形可得是正三角形可得EFEFAEAE. .AEAEDBDB. . 第第20讲讲 归类示例归类示例 等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于6060的结论，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者的结论，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全等

34、构造全等 第第21讲讲直角三角形与勾股定理直角三角形与勾股定理 第第21讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 直角三角形的概念、性质与判定直角三角形的概念、性质与判定 斜边的一半斜边的一半 直角直角 斜边的一半斜边的一半 第第21讲讲 考点聚焦考点聚焦第第21讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 勾股定理及逆定理勾股定理及逆定理a2b2c2 a2b2c2 考点考点3 3 互逆命题互逆命题 第第21讲讲 考点聚焦考点聚焦原命题原命题 逆命题逆命题 逆定理逆定理 考点考点4 4 命题、定义、定理、公理命题、定义、定理、公理 第第21讲讲 考点聚焦考点聚焦真命题真命题 假命题假命题

35、条件条件 结论结论 公理公理 证明证明 定理定理 第第21讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一利用勾股定理求线段的长度类型之一利用勾股定理求线段的长度命题角度：命题角度：1. 利用勾股定理求线段的长度；利用勾股定理求线段的长度；2. 利用勾股定理解决折叠问题利用勾股定理解决折叠问题例例1 黄石黄石 将一个有将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一度角的三角板的直角顶点放在一张宽为张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角度角，如图，如图

36、211，则三角板的最大边的长为，则三角板的最大边的长为()图图211D 第第21讲讲 归类示例归类示例第第21讲讲 归类示例归类示例 勾股定理的作用：勾股定理的作用：(1)(1)已知直角三角形的两边求第已知直角三角形的两边求第三边；三边；(2)(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)(3)用于证明平方关系的问题用于证明平方关系的问题 类型之二实际问题中勾股定理的应用类型之二实际问题中勾股定理的应用命题角度：命题角度：1. 1. 求最短路线问题；求最短路线问题；2. 2. 求有关长度问题求有关长度问题第第21讲讲 归类示例归类示例 例例2 如图如图21

37、2，一个长方体形的木柜放在墙角处，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙与墙面和地面均没有缝隙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表处沿着木柜表面爬到柜角面爬到柜角C1处处(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当当AB4，BC4，CC15时，求蚂蚁爬过的最短路径时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；的长； (3)求点求点B1到最短路径的距离到最短路径的距离 第第21讲讲 归类示例归类示例图图212第第21讲讲 归类示例归类示例第第21讲讲 归类示例归类示例 利用勾股定理求最短线路问题的方法：将起点和终利用勾股定理求最

38、短线路问题的方法：将起点和终点所在的面展开成为一个平面，进而利用勾股定理求最点所在的面展开成为一个平面，进而利用勾股定理求最短长度短长度 类型之三类型之三 勾股定理逆定理的应用勾股定理逆定理的应用 例例3 3 广西广西 已知三组数据：已知三组数据：2，3，4；3，4，5；1，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有构成直角三角形的有()A BC D第第21讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：勾股定理逆定理勾股定理逆定理D 第第21讲讲 归类示例归类示例解析解析 根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第根据勾股定理的逆定

39、理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形只要判断两个较小的数三边的平方即可构成直角三角形只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断的平方和是否等于最大数的平方即可判断22321342，以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；合题意；324252 ，以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；意；12(3)222，以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意意故构成直角三角形的有故构成直角三角形的

40、有.故选故选D.第第21讲讲 归类示例归类示例 判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断判断第第21讲讲 回归教材回归教材巧用勾股定理探求面积关系巧用勾股定理探求面积关系 回归教材回归教材教材母题教材母题人教版八下人教版八下P71T11如图如图21213 3，C C9090，图中有阴影的三个半圆的，图中有阴影的三个半圆的面积有什么关系？面积有什么关系？图图21213 3第第21讲讲 回归教材回归教材 点析点析 若将半圆换成正三角形、正方形或任意

41、的若将半圆换成正三角形、正方形或任意的相似形，相似形，S S1 1S S2 2S S3 3都成立都成立第第21讲讲 回归教材回归教材中考变式1贵阳贵阳 如图如图214，已知等腰，已知等腰RtABC的直角边的直角边长为长为1，以，以RtABC的斜边的斜边AC为直角边，画第二个等为直角边，画第二个等腰腰RtACD，再以，再以RtACD的斜边的斜边AD为直角边，画为直角边，画第三个等腰第三个等腰RtADE，依此类推直到第五个等，依此类推直到第五个等腰腰RtAFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为图形的面积为_图图214第第21讲讲 回归教材回归教材第第2

42、1讲讲 回归教材回归教材2 2乐山乐山 勾股定理揭示了直角三角形三边之勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值图图21215 5是一棵由正方形和含是一棵由正方形和含3030角的直角三角形角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为正方形和第一个直角三角形的面积之和为S S1 1，第二，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S S2 2，第，第n n个正方形和第个正方形和第n n个直角

43、三角形的面积之和为个直角三角形的面积之和为S Sn n. .设第一个正方形的边长为设第一个正方形的边长为1.1.请解答下列问题：请解答下列问题：(1)(1)S S1 1_；(2)(2)通过探究，用含通过探究，用含n n的代数式表示的代数式表示S Sn n，则，则S Sn n_._.图图21215 5第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用 第第22讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 相似图形的有关概念相似图形的有关概念 第第22讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 比例线段比例线段 a bc d 0.618 两两 考点考点3 3 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比

44、例定理 第第22讲讲 考点聚焦考点聚焦相等相等 相等相等 考点考点4 4 相似三角形的判定相似三角形的判定 第第22讲讲 考点聚焦考点聚焦相似相似 比比 相应的夹角相应的夹角 两个角对应相等两个角对应相等考点考点5 5 相似三角形及相似多边形的性质相似三角形及相似多边形的性质 第第22讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点6 6 位似位似 第第22讲讲 考点聚焦考点聚焦相似比相似比 一一 平行平行 第第22讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点7 7 相似三角形的应用相似三角形的应用 第第22讲讲 考点聚焦考点聚焦第第22讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一比例线段类型之一比例线段 命题角度：命题

45、角度：1. 比例线段；比例线段；2. 黄金分割在实际生活中的应用；黄金分割在实际生活中的应用；3. 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理例例1 肇庆肇庆 如图如图221，已知直线，已知直线abc，直线，直线m、n与与a、b、c分别交于点分别交于点A、C、E、B、D、F，AC4，CE6，BD3，则，则BF() A7B7.5C8D8.5 B 图图221第第22讲讲 归类示例归类示例 类型之二类型之二相似三角形的性质及其应用相似三角形的性质及其应用 命题角度：命题角度：1. 1. 利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；2. 2. 利用相似三角形性

46、质探求比值关系利用相似三角形性质探求比值关系第第22讲讲 归类示例归类示例 例例2 怀化怀化 如图如图222，ABC是一张锐角三角形的硬是一张锐角三角形的硬纸片，纸片，AD是边是边BC上的高，上的高，BC40 cm，AD30 cm，从这，从这张硬纸片上剪下一个长张硬纸片上剪下一个长HG是宽是宽HE的的2倍的矩形倍的矩形EFGH，使，使它的一边它的一边EF在在BC上，顶点上，顶点G、H分别在分别在AC，AB上，上，AD与与HG的交点为的交点为M.(1)求证：求证： ； (2)求这个矩形求这个矩形EFGH的周长的周长 第第22讲讲 归类示例归类示例图图222第第22讲讲 归类示例归类示例 类型之三

47、类型之三 三角形相似的判定方法及其应用三角形相似的判定方法及其应用 例例3 3 凉山州凉山州 如图如图223，在矩形，在矩形ABCD中，中，AB6，AD12，点，点E在在AD边上，且边上，且AE8，EFBE交交CD于于F.(1)求证：求证：ABEDEF；(2)求求EF的长的长第第22讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1利用两个角判定三角形相似；利用两个角判定三角形相似；2利用两边及夹角判定三角形相似；利用两边及夹角判定三角形相似；3利用三边判定三角形相似利用三边判定三角形相似. 图图223第第22讲讲 归类示例归类示例第第22讲讲 归类示例归类示例第第22讲讲 归类示例归类示例 判定两

48、个三角形相似的常规思路：先找两对对应判定两个三角形相似的常规思路：先找两对对应角相等；若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角相等；若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；若找不到角相等，就判角的两夹边是否对应成比例；若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比断三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的例定理及相似三角形的“传递性传递性” 类型之四类型之四 位似位似 例例4 4 玉林玉林 如图如图225，正方形，正方形ABCD的两边的两边BC，AB分分别在平面直角坐标系的别在平面直角坐标系的x轴、轴、y轴的正半轴上，正方

49、形轴的正半轴上，正方形ABCD与正方形与正方形ABCD是以是以AC的中点的中点O为中心的位似图为中心的位似图形，已知形，已知AC32，若点，若点A的坐标为的坐标为(1，2)，则正方形，则正方形ABCD与正方形与正方形ABCD的相似比是的相似比是()第第22讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1. 位似图形及位似中心定义；位似图形及位似中心定义；2. 位似图形的性质应用；位似图形的性质应用；3. 利用位似变换在网格纸里作图利用位似变换在网格纸里作图图图225B 第第22讲讲 归类示例归类示例 类型之五类型之五 相似三角形与圆相似三角形与圆 例例5 5 滨州滨州 如图如图226，直线，直线P

50、M切切 O于点于点M，直线，直线PO交交 O于于A、B两点，弦两点，弦ACPM，连接，连接OM、BC.求证：求证：(1)ABCPOM；(2)2OA2OPBC.第第22讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1. 圆中的相似计算；圆中的相似计算；2. 圆中的相似证明圆中的相似证明图图226第第22讲讲 归类示例归类示例 解析解析 (1) (1)由切线的性质和由切线的性质和ABAB是圆的直径，得出是圆的直径，得出直角直角PMOPMO9090，ACBACB9090.(2).(2)利用第一问利用第一问的结论和的结论和ABAB2 2OAOA可以得出结论可以得出结论 第第22讲讲 归类示例归类示例第第2

51、2讲讲 归类示例归类示例 证明等积式的常用方法是把等积式转化为比例式，证明等积式的常用方法是把等积式转化为比例式，要证明比例式，就要证明三角形相似证明圆中相似要要证明比例式，就要证明三角形相似证明圆中相似要充分运用切线性质，圆周角定理及推论，垂径定理等充分运用切线性质，圆周角定理及推论，垂径定理等第第22讲讲 回归教材回归教材“直角三角形斜边上的高直角三角形斜边上的高”的模型作用的模型作用 回归教材回归教材教材母题教材母题人教版九下人教版九下P48练习练习T2 如图如图227，RtABC中，中，CD是斜边上的高，是斜边上的高，ACD和和CBD都和都和ABC相似吗？证明你的结论相似吗？证明你的结

52、论图图22227 7第第22讲讲 回归教材回归教材解：解：相似相似证明：证明：ACDBCD90，ACDA90，ABCD.又又ACBBDC90，ABCCBD.AA，ACBADC，ABCACD.第第22讲讲 回归教材回归教材中考变式1达州达州 如图如图228，ABC中，中，CDAB，垂足，垂足为为D.下列条件中，能证明下列条件中，能证明ABC是直角三角形的有是直角三角形的有_ 图图228 第第22讲讲 回归教材回归教材2北京北京 如图如图229，小明同学用自制的直角三角形纸，小明同学用自制的直角三角形纸板板DEF测量树的高度测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜，他调整自己的位置，设法使斜边

53、边DF保持水平，并且边保持水平，并且边DE与点与点B在同一直线上，已知纸在同一直线上，已知纸板的两条直角边板的两条直角边DE40 cm，EF20 cm，测得边，测得边DF离离地面的高度地面的高度AC1.5 m，CD8 m，则树高，则树高AB_m.图图2295.5 第第22讲讲 回归教材回归教材第第23讲讲锐角三角函数锐角三角函数 第第23讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义 第第23讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 特殊角三角函数值特殊角三角函数值 考点考点3 3 解直角三角形解直角三角形 第第23讲讲 考点聚焦考点聚焦第第23讲讲 考

54、点聚焦考点聚焦c2 90 第第23讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一求三角函数值类型之一求三角函数值 命题角度：命题角度：1. 正弦值的计算；正弦值的计算；2. 余弦值的计算；余弦值的计算；3. 正切值的计算正切值的计算 例例1 内江内江 如图如图231所示，所示，ABC的顶点是正方形网的顶点是正方形网格的格点则格的格点则sinA的值为的值为()B 图图23231 1第第23讲讲 归类示例归类示例第第23讲讲 归类示例归类示例 解决与网格有关的三角函数求值题的基本思路是从解决与网格有关的三角函数求值题的基本思路是从所给的图形中找出直角三角形，确定直角三角形的边长，所给的图形中找出

55、直角三角形，确定直角三角形的边长，依据三角函数的定义进行求解依据三角函数的定义进行求解 类型之二类型之二特殊锐角的三角函数值的应用特殊锐角的三角函数值的应用 命题角度：命题角度：1. 301. 30、4545、6060的三角函数值；的三角函数值；2. 2. 已知特殊三角函数值，求角度已知特殊三角函数值，求角度第第23讲讲 归类示例归类示例 例例2 济宁济宁75 第第23讲讲 归类示例归类示例 类型之三类型之三 解直角三角形解直角三角形 例例3 3 重庆重庆 已知：如图已知：如图232，在，在RtABC中，中，BAC90，点，点D在在BC边上，且边上，且ABD是等边三角形若是等边三角形若BA2，

56、求求ABC的周长的周长(结果保留根号结果保留根号)第第23讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1. 利用三角函数解直角三角形；利用三角函数解直角三角形；2. 将斜三角形或不规则图形化归为直角三角形将斜三角形或不规则图形化归为直角三角形 图图232第第23讲讲 归类示例归类示例第第23讲讲 归类示例归类示例 作三角形的高，将非直角三角形转化为直角三角形，作三角形的高，将非直角三角形转化为直角三角形，是解直角三角形常用的方法是解直角三角形常用的方法第第24讲讲解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用 第第24讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点 解直角三角形的应用常用知识解直角三角

57、形的应用常用知识 h l 越陡越陡 第第24讲讲 考点聚焦考点聚焦第第24讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一利用直角三角形解决和高度类型之一利用直角三角形解决和高度(或宽度或宽度)有关的问题有关的问题命题角度：命题角度：1. 计算某些建筑物的高度计算某些建筑物的高度(或宽度或宽度)；2. 将实际问题转化为直角三角形问题将实际问题转化为直角三角形问题例例1 凉山州凉山州 某校学生去春游，在风景区看到一棵汉柏树，某校学生去春游，在风景区看到一棵汉柏树，不知这棵汉柏树有多高，下面是两位同学的一段对话：不知这棵汉柏树有多高，下面是两位同学的一段对话：小明：我站在此处看树顶仰角为小明：我站

58、在此处看树顶仰角为45.小华：我站在此处看树顶仰角为小华：我站在此处看树顶仰角为30.小明：我们的身高都是小明：我们的身高都是1.6 m.小华：我们相距小华：我们相距20 m.请你根据这两位同学的对话，计算这棵汉柏树的高度请你根据这两位同学的对话，计算这棵汉柏树的高度(参考数据：参考数据：21.414，31.732，结果保留三个有效数字，结果保留三个有效数字) 第第24讲讲 归类示例归类示例 解析解析 画出如图示意图，延长画出如图示意图，延长BCBC交交DADA于于E.E.设设AEAE的长为的长为x x米，在米，在RtRtACEACE中，求得中，求得CECEAEAE，然后在，然后在RtRtABEABE中求得中求得BEBE，利用，利用BEBECECEBCBC，解得，解得AEAE，则，则ADADAEAEDE.DE.第第24讲讲 归类示例归类示例第第24讲讲 归类示例归类示例 在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来角知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题常见的构造的基本图形有如下几种：解决问题常见的构造的基本图形有如下几种：图图241 不同地点看同一点不同地点看同一点第第24讲讲 归类示例归类示例图图242 同一地点看不同点同一地点看不同点 利用