第六章信道编码1

1、展爱云Z通信工程教研室Coding and Information Theroy 课程基础（概率论） 上课要求 学习要求 实验要求（CC+) 信息的基本概念 信息量的计算 典型的几种信源编码方法 典型的几种信道编码方法无失真信源编码定理-香农第一定理信道编码定理-香农第二定理限失真信源编码定理-香农第三定理差差错错控控制制编编码码（信信道道编编码码）在在 通通信信系系统统中中的的地地位位：x信源编码调制信道解调解码信宿调调制制信信道道编编码码信信道道可纠正错误的码发收FEC能够发现错误的码发收ARQ应答信号能够发现和纠正错误的码发收HEC应答信号一、引言思考：信道编码的目的是什么？ 信道编码：

2、从消息到信道波形或矢量的映射信源编码信道编码信道信道译码信源译码消息集中一个元素信道波形空间中的一个点失真后的波形恢复的消息引入失真消息到波形的映射判断是消息集中的哪个元素 检错和纠错：对付信道引入的差错 直观的译码准则：最小距离译码 Shannon第二定理 当信息速率R小于信道容量C时，总存在一种编码方式使差错率低于任一给定值e 接近信道容量 信道编码的作用：在资源、可靠性和传信量之间选择一个好的工作点（有时还要考虑延时）。 资源指的提供信息传输所付出的代价 包括频率、时间、空间、功率等等。但不包括实现复杂度 一个好的编码就是要充分利用资源，传递尽可能多的信息 给定资源和可靠性要求，通过信道

3、编码尽量提高传输速率 给定对信息传输的速率和可靠性要求，通过信道编码尽量减少资源开销 给定资源和传输速率，通过编码提高可靠性 将所有可能的输入信息（消息）映射到信道符号（波形）空间的点，而这个点的集合要小于（包含于）全信道空间中。 分组码 将一个有限(k)维输入矢量映射到一个（n维）矢量的编码，记为(n, k)分组码 卷积码 输入为一个无限长序列，每个节拍有k个符号送入编码器，同时有n个符号向输出至信道，但每节拍的输出不仅与本节拍的输入有关，还与之前L-1个节拍的输入有关，记为(n, k, L)卷积码 级联码 两个以上的编码器按一定方式组合而成的编码器汉明码循环码线性分组码非线性分组码分组码线

4、性卷积码非线性卷积码卷积码信道编码 对 二进制(n, k)码，信息数量（或合法码字数）为2k，可用编码空间的点数为2n个。 任一种2k信息集合到二进制序列集合(2n)的映射都是一种(n, k)码。因此总共可能的编码方案有 种。如，共有1029种(100,50)码。 译码运算量：如果直接用最大似然序列译码，对一般性的编码而言，正比于n* 2k ，对(100,50)码，则为1017。几乎是不可能译码的。22kn 发现或构造好码是信道编码研究的主要问题 编码方案太多，以至全局搜索是不可能的 现实的做法是对编码方案加以一定的约束，在一个子集中寻找局部最优 这种约束即要能包含尽可能好的码，又要便于分析，

5、便于译码 目前对线性系统的研究远比非线性系统充分 码字集中的元之间的任意线性组合仍是合法码字，即对线性组合运算封闭的码字集，称为线性码 因此，为了构成线性空间，必须首先定义运算 群 运算封闭 有恒等元 有逆元 满足结合律 交换群 满足交换律的群 按第一种运算（不妨称为加法）构成交换群 第二种运算（不妨称为乘法）满足以下条件 封闭性 结合律 与加法间满足分配律 乘法有恒等元（称为1元），且除了加法的恒等元（称为0元）以外有逆的环 除0元外，对乘法构成交换群 无限域和有限域 有理数、实数和复数都是无限域 信道编码中用到的是有限域，GF(q) 两者在空间意义上有很强的可类比性 通信的数学理论，Sha

6、nnon(1948) 汉明码，Hamming (1950) 级连码，Forney(1966) 卷积码及有效译码, (60年代) RS码及BCH码的有效译码(60年代) TCM，Ungerboeck(1982),Forney(1984) Turbo码，Berrou(1993) LDPC 码，Gallager(1963),Macky(1996) 空时编码,Tarokh(2000) 0000 1111 若将每个比特重复n次，则构成一个码长为n，信息位长度为1的(n,1)重复码,且编码效率(码率)R=1/n许用码字0.901010.90.10.1BSC信道n=2时许用码组：00，11禁用码组：01，1

7、0能够发现一个错误，但不能纠正错误n=3时许用码组：000，111禁用码组：001, 010, 100, 011, 101, 110能够纠正一个错误，发现两个错误n=4时许用码组：0000，1111禁用码组：0001, 0010, 0100, 1000, 0011, 0101, 0110, 1100, 1001, 1010, 0111, 1101, 1110, 1011能够纠正一个错误同时发现两个错误译码正确译码失败译码错误发现三个错误 在信息序列之后按照一定的规则添加一定长度的保护比特(校验比特或监督比特)二、基本概念(p193) 1、汉明码重(hamming weight) 码字中码元“1

8、”的个数。 例如： 100110 的码重是 3 w( 1100110)= ？2、汉明码距(hamming distance) 两个码字相对应位不同的个数。 例如：d(1011,0110)=3 d(0011,1011)=? 思考：码距和码重的关系？结论：码距是两个码字异或的结果的码重 例如：d(10101,01011) 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 03、最小汉明码距dmin 在码组中所有码字相互之间距离的最小值。 例如：码组 10010，11010，01100 d(10010,11010)=1 d(10010,01100)=4 d(11010,01100)=3 dmi

9、n(10010,11010,01100)=1 三、检纠错能力(p194)结论：检纠能力与最小码距有关。任一(n, k)分组码，若要在码字内： 1、检错能力(e位) d=e+1例如：码组1001，0110，0101 e=? 2、纠错能力（t) d=2*t+1例如：码组100101，000101，100001的纠错能力？3、纠正t个随机错误，同时同时检测e (e=t)个错误，则要求d=e+t+1 译码器的任务是从受损的信息序列中尽可能正确的恢复出原信息。 作为译码器的输入，译码算法的已知条件是： 1）实际接收到的码字序列 2）发端所采用的编码算法和该算法产生的码集3）信道模型和信道参数如何译码呢？

10、如何译码呢？ 问题： MC R 如何根据接收信号R估计发送序列C,进而估计信息序列M？ 设计译码算法的原则：使译码错误概率最小 RERPREPPRCCPREP 在已知接受的码字序列R条件下，找出可能性最大的发码Ci作为译码估值C , C=max p(Ci/R) RCCMinPREMinPMinPE)1 (RCCPMinRCCMinPRCCMaxP收码推测发码. 但在实际中,后验概率的定量确定是很困难的.在已知r的条件下,使先验概率最大的译码算法.c=max p(r / ci) )()()(),(RPCRPCPRPRCPRCPiiiiiiCRMaxPRCMaxP译码失败：译码器根据接收到的信号无

11、法作出明确判断译码失败：译码器根据接收到的信号无法作出明确判断译码错误：译码器根据接收到的信号作出错误判断译码错误：译码器根据接收到的信号作出错误判断不完备译码不完备译码(p199)完备译码：根据接收信号，译码器一定能作出是哪完备译码：根据接收信号，译码器一定能作出是哪 一组信息的判断一组信息的判断(p200)四、简单的信道编码方法 1、奇偶校验（在消息序列后加上一位的冗余位，使整个序列的“1”的个数为奇数个或偶数个。） 奇校验：数“1”的个数，在消息序列后加上一位的冗余位，使整个序列的“1”的个数为奇数个 偶校验：数“1”的个数，在消息序列后加上一位的冗余位，使整个序列的“1”的个数为偶数个

12、例如：消息序列1000111010101奇校验：1000111010101 0偶校验：1000111010101 1思考：这种方法是否能够纠错？2、定比码 在码字中，“1”和“0”的比例为确定值。 应用于数据通信和工业控制中。 在我国原来的电传机上使用的就是五单位定比码。 国际ARQ电报通信系统中使用的是七单位定比码。3、群计数码 数码字中“1”的个数，在码字后加上用二进制表示的“1”的个数。 例如：1100101 100 思考：能不能加 0100？4、模p法 在实际生活中，有时侯“1”和“I”很相似。 p=37(符号的个数） 数字“0”-“9”和字母“A”-“Z”和空格共37种符号。 “0”

13、 0 “1” 1 “A” 10 “B” 11 设有某消息的符号序列为X=X1X2X3X4, 用下表的方式来求它们的和及累加和，然后加上适当的监督元，使累加和是模37的倍数。消息符号和累加和X1X1X1X2X1+X22*X1+X2X3X1+X2+X33*X1+2*X2+X3X4X1+X2+X3+X44*X1+3*X2+2*X3+X4X1+X2+X3+X4+5*X1+4*X2+3*X3+2*X4+例如：AS9R符号值和累加和A101010S283848994795R2774169监督元+74+243（+243）/37=整数 =16 监督元 G AS9R G5、正反码 在某些电气化铁道运动系统和电报

14、系统中采用。 监督元与信息元相同或者相反。 例：10110 监督元 10110 10100 监督元 01011 信道编码的实质就是在信息元后加上合适的监督元,这样起到检错和纠错的作用 简单的信道编码方法 最小码距和检纠错能力之间的关系 介绍了线性码的基本代数知识 那么到底在线行码的约束条件之下,如何能够起到检错和纠错的能力呢?五、监督矩阵与生成矩阵从线性方程组的角度描述分组码 为了进行差错控制，我们按线性代数的关系来添加监督元序列。这种就叫做线性码。n-k（r)个校验位可用k个已知的信息位表示出来个校验位个信息位knknknkknnncccccc02121knknnnnnknknknnnknn

15、nknknknknknnnknnnknknchchchcchchchcchchchc, 022, 011, 00, 222, 211, 22, 122, 111, 111、监督矩阵45604561456245631101001111111011ccccccccccccccccExamples1000110010000100101110001101H0*1.*0*00*0.*1*00*0.*0*1021, 122, 111, 1021, 122, 111, 1021, 122, 111, 1cccchchchcccchchchcccchchchknknknknknnnknnnknknknknkn

16、knnnknnnknknknknknknnnknnnkn000100010001021)(,011, 0, 21, 2, 11, 1ccchhhhhhnnnknknnknknnknknknnkn列行，校验矩阵校验矩阵校验矩阵H与任意一个码字之积为零，因此有与任意一个码字之积为零，因此有(P197/p176)0HTC例：一个（7，3）码的信息元x1x2x3和监督元x4x5x6x7间的监督方程组为： 07320621053210431xxxxxxxxxxxxx07320621053210431xxxxxxxxxxxxx07320621053210431xxxxxxxxxxxxx0000011000

17、11100010111010010110007654321xxxxxxxHXT信息元监督元编成码字0000000000000000111010011101010011101001110111010011101010011101001110101001110100111101001110100111101001110100结论结论(P196-198/p176-177)(P196-198/p176-177) 1) 1)上表中的八个码字是许用码字上表中的八个码字是许用码字. . 2) 2)任意两个码字逐位模二相加，可以得到任意两个码字逐位模二相加，可以得到另外一个码字。这种性质叫做封闭性。另外一个码

18、字。这种性质叫做封闭性。 3 3）由于封闭性，可知两个码字的码距就）由于封闭性，可知两个码字的码距就是另外一个码字的重量。一组码字中码的最是另外一个码字的重量。一组码字中码的最小重量（除全小重量（除全0 0）就是该码组的最小码距。）就是该码组的最小码距。 4）监督矩阵由两部分组成监督矩阵由两部分组成其中其中A A为为r rk k矩阵，矩阵，I In-kn-k为为r=n-kr=n-k阶单位方阵。阶单位方阵。 |rknIAIAH011110111101A0001001001001000knI5 5）每个码字必须满足监督方程。）每个码字必须满足监督方程。例如：检验例如：检验0011101001110

19、1是否是码字？是否是码字？TTC0H000010111000110001110001011101001011000THC所以所以0011101是码字是码字0000001010011000110001110001011101001011000THC所以所以0011001不是码字不是码字6）在线性码组中，如果有一个码字的码重为在线性码组中，如果有一个码字的码重为WW，则，在则，在HH中必有与之相应的中必有与之相应的WW列相加为列相加为0 0，故，故称称WW列线性相关。列线性相关。 如果要求码组的最小码距为如果要求码组的最小码距为d d，则表示，则表示HH中至少有中至少有d d列相加之和为列相加之和

20、为0 0。 这就要求在码的监督矩阵中，任意少于这就要求在码的监督矩阵中，任意少于或等于或等于d-1d-1列相加之和均不应等于列相加之和均不应等于0 0，即任意，即任意d-1d-1列线性无关。（列线性无关。（P198/p177)P198/p177)2、生成矩阵生成矩阵 0HnkkkrTcccccccIAC.|21321TnkkrkcccIcccA0.21.21或者设有一个待编码的消息序设有一个待编码的消息序列为列为 M=m1m2.mkM=m1m2.mk将它表示为信息元序列将它表示为信息元序列 x1x2xkx1x2xk用矩阵关系可以表示两者用矩阵关系可以表示两者的关系：的关系： kkkmmmIcc

21、c.2121kknkkmmmAcccAccc.212121kAknmmmIccc.2121MGC G为生成矩阵为生成矩阵|TkAIG07320621053210431xxxxxxxxxxxxx例：一个（例：一个（7 7，3 3）码的信息元）码的信息元x1x2x3x1x2x3和和监督元监督元x4x5x6x7x4x5x6x7间的监督方程组为：间的监督方程组为：011110111101A110101111110TA001110101001111001110G设一信息元组为设一信息元组为m1m2m3=101,则则1010011001110101001111001110101 MGC通过这种方法，能够计

22、算出所有的码字通过这种方法，能够计算出所有的码字结论：生成矩阵的三行实际上均是码字。结论：生成矩阵的三行实际上均是码字。 这三个码字组成的生成矩阵，能够使得这三个码字组成的生成矩阵，能够使得得出的码字中，信息元在前，监督元在后，得出的码字中，信息元在前，监督元在后，即构成系统码。即构成系统码。 如选其他的码字来构成生成矩阵，得出如选其他的码字来构成生成矩阵，得出的码字中信息元与监督元将是交错排列，称的码字中信息元与监督元将是交错排列，称为非系统码。为非系统码。六：线性分组码的译码（六：线性分组码的译码（P199/p177)P199/p177)1 1、伴随式、伴随式 发送的码字是发送的码字是C,

23、C,接受的码字是接受的码字是R R E=R-C E=R-C 成为错误图样或者差错序列。成为错误图样或者差错序列。 当用监督矩阵来校验接收到的码字，有当用监督矩阵来校验接收到的码字，有 TTTTHEHCECHHR)(由于由于C C是一个码字，是一个码字，所以所以S S被称为伴随式或者校验子，用它来检查接收码字中的被称为伴随式或者校验子，用它来检查接收码字中的错误。错误。S是校验矩阵是校验矩阵H中某几列数据的线性组合中某几列数据的线性组合 TTHC0TTTHEHRS线性分组码的基本译码步骤 Step1: 由接收到的序列由接收到的序列R，计算伴，计算伴随式随式S=RHT； Step2: 若若S=0，

24、正确接收；若，正确接收；若S不为不为零，寻找错误图样；零，寻找错误图样； Step3: 由错误图样解出码字由错误图样解出码字C=R-E。2 2、标准矩阵（、标准矩阵（Standard Array)Standard Array) 设有一个（设有一个（n,k)n,k)线性码，它共有线性码，它共有2 2k k个码字个码字 c c0 0,c,c1 1,c,c2 2.c.c2 2k k-1-1 将他们排列。将他们排列。根据许用码字将禁用码字进行分类，根据许用码字将禁用码字进行分类， 分类的依据是错误图样。分类的依据是错误图样。C0C1C2C3C2k-1伴随式SE2C1+E2C2+E2C3+E2 C2k-

25、1+E2S2E3C1+E3C2+E3C3+E3 C2k-1E3 S3. E2n-kC1+E2n-kC2+E2n-kC3+E2n-k C2k-1E2n-kS2r码字错误图样陪集首 标准阵列的构造方法： 1）选择所用的码字构成第0行。 2）选择差错图样作为第0 列。 3）阵列中的I行J列元素为Cj+Ei 例：0110001110001011101001011000H00000000011101010011101110101001110101001111010011110100S(0000) 00000010011100 0001 00000100011111 0010 0000011 0011 0

26、000100 0100 0011000 0101 0000110 0110 0100000 0111 0001000 1000 0001001 1001 0001010 1010 0001011 1011 0001100 1100 0010000 1101 1000000 1110 1000001 1111 应当指出，当（n,k)码的码长n较大时，即使只存储陪集首及伴随式，译码器所需内存仍然很大。两个概念（p201) 完备译码 限定距离译码译码失败：译码器根据接收到的信号无法作出明确判断译码错误：译码器根据接收到的信号作出错误判断不完备译码完备译码：根据接收信号，译码器一定能作出是哪 一组信息

27、的判断 在纠错编码实现上总希望在尽可能小的n和r条件下获得尽可能大的k，d或t对于一个(n,k,d)二元线性码存在如下码限。（p204) GPlotkinPlotkinHammingHammingV-GV-Gd/2nR=k/n10.250.5Singleton七、汉明码(p205) 定义：能够纠正一位错误的一组线性码。 二元（n,k,d)汉明码是一种d=3的完备码，满足：123, 12mkmnmm校验矩阵有 m行，2m-1列，取互不相同的m重构成GF(2)上的7,4,3汉明码，001,010,011,100,101,110,111,000。校验矩阵为：Examples:101010111001

28、101111000H八、由已知码构造新码的方法（p210)扩展码删余码增广码(增信删余码)增余删信码延长码00111*HHn+1,k,d 或n+1,k,d+1增加一个全校验位在原码基础上删去一个校验元。n-1, k 在原码基础上，增加一个信息元，删去一个校验元 n,k+1,dGG111*d*=mind, n-max w( c )iC1CC*ki2, 2 , 1删去一个信息元，增加一个校验元 若n,k,d码的最小汉明距离d为奇数，则挑选所有偶数重量的码字，即可构成n,k-1,d+1增余删信码对增广码再填加一个全校验位。n+1,k+111nkR九 循环码、 特点: 1)码的结构参数可以用有限域的代

29、数方法来表示、分析和构造。）利用循环特性，可以用循环反馈移位寄存器来构造较为简单方便的编码器和译码器。、定义（p215)定义定义1 1：设CH是一个n.k线性分组码，C1是其中的一个码字，若C1的左(右)循环移位得到的n维向量也是CH中的一个码字，则称CH是循环码。nknVV,定义定义2：设：设是n维空间的一个k维子空间，若对任一knnnVaaa,021,v恒有knnnnVaaaa,10321,v则称Vn,k为循环子空间或循环码3、几个概念）多项式多项式 f(x)=fnxn+ fn-1xn-1+ f1x+f0其中piFf i=0,1,n，该多项式称为域Fp上的多项式2)2)多项式次数多项式次数

30、 degdegf( (x) ) 系数不为零的x的最高次数称为多项式f(x)的次数3)3)首一多项式首一多项式 最高次数的系数为1的多项式4) 4) 既约多项式既约多项式 设f(x)是次数大于零的多项式，若除常数和常数与本身的乘积以外，再不能被域Fp上的其他多项式整除，则称f(x)为域Fp上的既约多项式 多项式的因式分解问题、根的问题f(x)=fnxn+ fn-1xn-1+ f1x+f0piFf g(x)=gnxn+ gn-1xn-1+ g1x+g0piFg 若对所有i, fi=gi, 则f(x)=g(x)5)多项式加法（多项式加法（p213)f(x)+g(x)=(fn + gn)xn+ (fn

31、-1 + gn-1)xn-1+ (f1 + g1)x+(f0 + g0)6)多项式乘法多项式乘法(p213)结论：按上述定义的加法和乘法运算，Fpx构成一个具有单位元、无零因子的可换环7)多项式同余（长除法）1111735673567xxxxxxxxx两个多项式同余）剩余类）剩余类(Residue)(Residue)：给定正整数m，可将全体整数按余数相同进行分类，可获得m个剩余类，分别用1, 1 , 0m Examples 1、GF(2)上的多项式 f(x)=x2+1的剩余类全体为： 1, 1 , 0 xx问题一如何寻找k维循环子空间？如何设计n,k循环码？ 利用多项式和有限域的概念 问题一转

32、化为如何从模多项式xn-1的剩余类结合代数中寻找循环子空间？ 如何寻找生成多项式g(x)？循环码模多项式xn-1剩余类线性结合代数中的理想生成多项式）生成多项式定理定理1 (p215) :GF(q)(q为素数或素数的幂)上的n,k循环码中，存在唯一的n-k次首一多项式g(x)，每一个码多项式C(x)必是g(x)的倍式，每一个小于等于(n-1)次的g(x)的倍式一定是码多项式定理定理2(p216):2(p216):GF(q)(q为素数或素数的幂)上n,k循环码的生成多项式g(x)一定是xn-1的n-k次因式： xn-1= g(x) h(x)。 反之，若g(x)为n-k次多项式，且xn-1能被g(

33、x)整除，则g(x)一定能生成一个n,k循环码 两个结论 结论1:找一个n,k循环码，即是找一个n-k次首一多项式g(x)，且g(x)必是xn-1的因式。结论2:若C(x)是一个码多项式，则 反之，若则C(x)必是一个码多项式 0 )(xgxC 0 )(xgxC Examples GF(2)上，x7+1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1) 试求一个7,4循环码。g(x)、 xg(x)、x2 g(x)、 x3g(x)、 011gxgxgxgknknknkn 011hxhxhxhkkkk xhxgxn1g(x)决定生成矩阵，h(x)决定校验矩阵、循环码的生成矩阵和校验矩阵nkknknkn

34、knknkngggggggggggggG01210110110000000 xgxgxxgxkk,21nknkkkkkkkhhhhhhhhhhhhh12101101100000000H xhxhxxhxknkn*2*1,kkkhxhxhxh110*)(基本步骤(n,k)1、分解多项式xn-1=g(x)h(x)2、选择其中的n-k次多项式g(x)为生成多项式3、由g(x)可得到k个多项式g(x), xg(x),xk-1g(x)4、取上述k个多项式的系数即可构成相应的生成矩阵5、取h(x)的互反多项式h*(x),取h*( x), xh*( x), xn-k-1h*( x) 的系数即可构成相应的校验

35、矩阵5 系统循环码 模g(x)的除法问题 xgxrxxmxCknmod0 xgxxmxxmxCxrknknmodm(x)是消息多项式 循环码的系统码构造的步骤为： 1）消息多项式乘x n-k 2) x n-km(x)/g(x)=q(x) +r(x)/g(x) 其中：q(x)是商，r(x)是余数 3）C(x)= x n-km(x)+r(x)例：信息元m=1011 g(x)=1+x+x3 x n-km(x)=x3(x3+x2+1)1111233324234235453463563xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxr(x)=1C(x)= x n-km(x)+r(x) =x6+x5+

36、x3+1所以，码字是1001011b0b1b2br-2b1br-1b1br输出C(x)输入A(x)a0,a1,ak 乘B(x)运算电路(利用校验多项式h(x)编码时会用到)6、多项式的乘法电路（p222)b0b1b2br-2b1br-1b1br输出C(x)输入A(x)a0,a1,ak乘B(x)运算电路akb0akb1akbr-2akbr-16、多项式的乘法电路（p222)h0h1h2hr-2b1hr-1b1hr输入A(x)a0,a1,ak-g1gr-1输出商q(x)-g2-g0-gr-1-gr-1乘H(x),除g(x)运算电路7、多项式的除法电路（p225)缩减信源循环码（n-I,k-I),

37、循环码编码电路g0g1g2gn-k-2b1gn-k-1b1gn-k输出C(x)输入m(x)m0,m1,mk乘g(x)运算电路mk-1 gn-k-1mk-1 gn-k输入m(x)是信息序列，g(x)为生成多项式mk-1 g0mk-1 g1循环码编码电路（p225)十、BCH码(p230) 能纠正多位错误的循环码。 码长：n=2m-1监督元位数：n-k=2t+1十一：卷积码（Convolutional Code）Encoding：1955，EliasDecoding：Threshold Decoding Massey(1963) List Decoding Wozencraft(1961) Vit

38、erbi Decoding Viterbi (1967) 编码约束度 N=m+1 （m编码的存储级数） 编码约束比特长度 NA=n*N 编码速率 k/n k输入的数据比特，n输出比特数。1、几个基本概念(p234)2、编码电路mipi2pi1输入D1D2(3,1,2) 卷积编码器3、监督矩阵监督方程组：2211iiiiiimmpmmp输入信息元：输出码字：Ci，Ci+1等称为子码。.21iiimmmCi.1 , 21 , 222, 11 , 1121iiiiiiiiippmppmppmCi+1Ci+2各子码之间的关系：(m+1)*nC2C0C1 C3C2C1 C4C3C2 C5C4C3 C6C

39、5C4 2211iiiiiimmpmmp转化为：0*0,*1*1*0*0*1*0*0*02 ,12 , 11 , 112 , 21 , 22iiiiiiiiiPPmPPmPPm0*1,*0*1*0*0*0*0*0*12 ,12 , 11 , 112 , 21 , 22iiiiiiiiiPPmPPmPPm写成矩阵的形式： TTC0H01000001010001001102,1 ,2, 11 , 112,21 ,22iiiiiiiiiPPmPPmPPm其中100000101000100110hh为基本监督矩阵4、第一截分组码 在卷积码的编码电路中可以看出来，并不是所有的码字均满足这样的监督关系。（刚开始的码字） 但是，每一个信息元影响的码字是有限的。 所以只要在一个约束度中约束度中考虑监督关系。例中：N=m+1 所以可以在三个子码中来讨论它的监督关系。0*0*1*1*0*0*1*0*0*02 , 21 , 222 , 11 , 112 , 01 , 00PPmPPmPPm0*1*0*12 , 01 , 00PPm0*0*1*1*0*0*12 , 11 , 112 , 01 , 00PPmPPm0*0*1*12 ,