第二章_波函数和Schrodinger_方程各vv

1、l1 1 波函数的统计解释波函数的统计解释 l2 2 力学量的平均值和算符的引进力学量的平均值和算符的引进 l3 Schrodinger 3 Schrodinger 方程方程 l4 4 态叠加原理态叠加原理 l5 5 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律 l6 6 定态定态SchrodingerSchrodinger方程方程 第二章第二章 波函数与薛定谔方程波函数与薛定谔方程1 1 波函数的统计解释波函数的统计解释（一）波函数的概念（一）波函数的概念 （二）波函数的解释（二）波函数的解释 （三）波函数的性质（三）波函数的性质 （四）自由粒子的波函数（四）自由粒子的波函数 )(e

2、xpEtrpiA 3 3个问题？个问题？ 描写自由粒子的描写自由粒子的平平 面面 波波),(tr 称为称为 dedeBroglie Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。波。此式称为自由粒子的波函数。对于受到外场作用的情况下，波函数的形式肯定会对于受到外场作用的情况下，波函数的形式肯定会比平面波复杂，我们一般地记为：比平面波复杂，我们一般地记为：(1) (1) 是怎样描述粒子的状态呢？是怎样描述粒子的状态呢？(2) (2) 如何体现波粒二象性的？如何体现波粒二象性的？(3) (3) 描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？（一）波函数的概念（一）波函数的概念（二）波函数的解释（二）

3、波函数的解释对波函数的两种错误理解：对波函数的两种错误理解： 1. 1. 波由粒子组成波由粒子组成 这种看法是与实验矛盾的，它这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个不能解释长时间单个电子衍射实验电子衍射实验。单个电子也有波动性。单个电子也有波动性波由粒子组成，波是大量粒子运动的表现2. 2. 粒子由波组成粒子由波组成 粒子就是一个波包，波包的尺寸就是粒子的大小。粒子就是一个波包，波包的尺寸就是粒子的大小。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组

4、成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相与实验事实相矛盾。实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。矛盾。实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小1 1 。若若假设粒子就是波包，则组成粒子的群速度不仅不等于相假设粒子就是波包，则组成粒子的群速度不仅不等于相速度，而且彼此之间的相速度也各不相同，造成波包在速度，而且彼此之间的相速度也各不相同，造成波包在传播过程中扩散，这意味着粒子会在运动中自动解体，传播过程中扩散，这意味着粒子会在运动中自动解体，这显然是不合理

5、的。这显然是不合理的。 经典概念中经典概念中 1. 1. 有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性; ; 粒子意味着粒子意味着 2 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。 经典概念中经典概念中 1.1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化实在的物理量的空间分布作周期性的变化; ; 波意味着波意味着 2 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。干涉、衍射现象，即相干叠加性。 电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ “ 电子既不是粒子也不是波电子既不是粒子也不是波 ” ”，既不是经典的粒子

6、，既不是经典的粒子也不是经典的波。也不是经典的波。但是我们也可以说，但是我们也可以说，“ “ 电子既是粒子也是波，它是粒电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一子和波动二重性矛盾的统一。”这个波不再是经典概念的波，这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。粒子也不是经典概念中的粒子。波函数的统计解释波函数的统计解释 几率波几率波电子源电子源感感光光屏屏QQOPP一切要从实验出发，我们看一下电子的衍射实验一切要从实验出发，我们看一下电子的衍射实验 ：l结论：结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：衍射实验所揭示的电子的波动性是：l许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电

7、子在许多次相同许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。实验中的统计结果。 l波函数波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born Born 提出了波函数意义的统计解释。提出了波函数意义的统计解释。 r r 点附近衍射花样的强度：点附近衍射花样的强度：在电子衍射实验中，在电子衍射实验中，照相底片上照相底片上 正比于正比于该点附近感光点的数目；该点附近感光点的数目；正比于正比于该点附近出现的电子数目；该点附近出现的电子数目；正比于正比于电子出现在电子出现在 r r 点附近的几率点附近的几率据此，据

8、此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数一种统计规律性，波函数(r)(r)有时也称为几率幅。有时也称为几率幅。 这就是首先由这就是首先由 BornBorn 提出的提出的波函数的几率解释波函数的几率解释，它是，它是量量子力学的基本原理子力学的基本原理。假设衍射波波幅用假设衍射波波幅用 (r) (r) 描述，与经典波相似，描述，与经典波相似， 衍射花纹的强度则用衍射花纹的强度则用 | (r)| (r)|2 2 描述，但意义与经典波不同。描述，但意义与经典波不同。| (r)| (r)|2 2 的意义是代表电子出现在的意

9、义是代表电子出现在 r r 点附近几率的大小，确切的说点附近几率的大小，确切的说: : | (r)| (r)|2 2 x y z x y z 表示在表示在 r r 点处，体积元点处，体积元x yx y zz中找到中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对绝对值的平方）和在值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，这点找到粒子的几率成比例，在在 t t 时刻，时刻， r r 点，点，d = dx dy dz d = dx dy dz 体积内，找到体积内，找到由波函数由波函数 (r,t) (r,t)描写的粒子的几率是：描写的粒子的几率是： d W( r

10、, t) = C| (r,t)|d W( r, t) = C| (r,t)|2 2 d d， 其中，其中，C C是比例系数。是比例系数。根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质： （1 1）几率和几率密度）几率和几率密度 在在 t t 时刻时刻 r r 点，单位体积内找到粒子的几率是：点，单位体积内找到粒子的几率是： ( r, t ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)|( r, t ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)|2 2 称为几率密度。称为几率密度。在体积在体积 V V 内，内，t t 时刻找到粒子的几

11、率为：时刻找到粒子的几率为： W(t) = W(t) = V V dW = dW = V V( r, t ) d= C( r, t ) d= CV V | (r,t)| | (r,t)|2 2 d d （三）波函数的几点性质（三）波函数的几点性质（2 2）常系数不定性与归一化常系数不定性与归一化由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： CC | (r , t)| | (r , t)|2 2 d= 1 d= 1, , 从而得常数从而得常数 C C 之值为：之

12、值为： C = 1/ C = 1/ | (r , t)| | (r , t)|2 2 d d 这即是要求描写粒子量子这即是要求描写粒子量子状态的波函数状态的波函数 必须是绝必须是绝对值平方可积的函数。对值平方可积的函数。若若 | (r , t)| (r , t)|2 2 d d , , 则则 C C 0 0, , 这是没有意义的。这是没有意义的。称为归一化因子称为归一化因子。这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 2 倍），则相倍），则相应的波动能量将为原来的应的波动能量将为原来的 4 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。倍，因而代表完全不同的

13、波动状态。经典波无归一化问题。经典波无归一化问题。 (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 所描写状态的相对几率是相同的，这里的所描写状态的相对几率是相同的，这里的 C C 是常数。是常数。 因为在因为在 t t 时刻，空间任意两点时刻，空间任意两点 r r1 1 和和 r r2 2 处找到粒子处找到粒子的相对几率之比是：的相对几率之比是： 由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比

14、例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即子状态不变，即 (r, t) (r, t) 和和 C (r, t) C (r, t) 描述同一状态描述同一状态221221),(),(),(),(trtrtrCtrC 可见，可见， (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 描述的是同一几描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。率波，所以波函数有一常数因子不定性。 （3 3）相因子不定性相因子不定性对归一化波函数仍有一个对归一化波函数仍有一个模为模为1的

15、相因子不定性的相因子不定性。若若 是归一化波函数，是归一化波函数，),(tr1)exp(2i)exp(i称为相因子称为相因子 微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于和衍射的本质在于波的叠加性波的叠加性，即可相加性，两，即可相加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射。个相加波的干涉的结果产生衍射。 因此，同光学中波的叠加原理一样，因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力学中量子力学中也存在波叠加原理也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，函数决定体系的状态，称波函数为状态

16、波函数，所以量子力学的波叠加原理称为所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理态叠加原理。2 2 态叠加原理态叠加原理考虑电子双缝衍射考虑电子双缝衍射 l= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是电子的可能状态。也是电子的可能状态。 l空间找到电子的几率则是：空间找到电子的几率则是： l|2 2 = |C = |C1 11 1+ C+ C2 22 2| |2 2 l = (C = (C1 1* *1 1* *+ C+ C2 2* *2 2* *) (C) (C1 11 1+ C+ C2 22 2) ) l = |C = |C1 1 1 1| |2 2+ |C+ |C2 22 2|

17、|2 2 + + CC1 1* *C C2 21 1* *2 2 + C + C1 1C C2 2* *1 12 2* * P P1 12 2S S1 1S S2 2电子源电子源感感光光屏屏电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点出现在点的几率密度的几率密度电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点出现在点的几率密度的几率密度相干项相干项 正是由于相干项的正是由于相干项的出现，才产生了衍出现，才产生了衍射花纹。射花纹。一个电子有一个电子有 1 1 和和 2 2 两种可能的状两种可能的状态，态， 是这两种状是这两种状态的叠加。态的叠加。其中其中C C1 1 和和 C C2 2 是复常数，这就是量子力学的态叠加原理

18、。是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。态叠加原理一般表述：态叠加原理一般表述： 若若1 1 ，2 2 ,., ,., n n ,.,.是体系的一系列可能的状态，则这些是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加态的线性叠加 = C= C1 11 1 + C + C2 22 2 + .+ C + .+ Cn nn n + + . . ( (其中其中 C C1 1 , C , C2 2 ,.,C,.,Cn n ,.,.为复常数为复常数) )。 也是体系的一个可能状态。也是体系的一个可能状态。 处于处于态的体系，部分的处于态的体系，部分的处于 1 1态，部分的处于态，部分的处于2 2态态.，部分的

19、处于，部分的处于n n，.一般情况下，如果1和2 是体系的可能状态，那末它们的线性叠加= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是该体系的一个可能状态也是该体系的一个可能状态. .*叠加态叠加态既不是既不是1 1态也不是态也不是2 2态，它是一个态，它是一个新的状态新的状态。例：例：)(expEtrpiAp( , )( )( , )( , )( )( , )xyzpppr tc pr tr tc pr tdpdp dpddppp 其中由于 是连续变化的，所以后式应用积分代替，了求和。电子在晶体表面反射后，电子可能以电子在晶体表面反射后，电子可能以各种不同的动量各种不同的动量 p

20、p 运动。具有确定动运动。具有确定动量的运动状态用量的运动状态用dedeBroglie Broglie 平面波平面波表示表示根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态可表示可表示成成 p p 取各种可能值的平面波的线性叠加，即取各种可能值的平面波的线性叠加，即而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。 d dp p动量空间（表象）的波函数动量空间（表象）的波函数l (r,t) (r,t)是以坐标是以坐标 r r 为自变量的波函数，为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标空间波函数，坐标表象坐标表象波函数；波函数；

21、lC(p, t)C(p, t) 是以动量是以动量 p p 为自变量的波函数，为自变量的波函数， 动量空间波函数，动量空间波函数，动量表象动量表象波函数；波函数； l二者描写同一量子状态。二者描写同一量子状态。exp21)(2/3rpirp ）（ 波函数波函数 (r,t) (r,t) 可用各种不同动量的平面波表示，可用各种不同动量的平面波表示， 证明。证明。rdtrrtpcp),()(),( (r,t)c(p,Fou)riert显然，二式互为变换式，故而总是成立的。所以与是同一量子态的两种不同描一一对应，述方式。展开展开系数系数pdrtpctrp)(),(),( 令令则则 可按可按p p 展开展

22、开dxdydzrpitrexp),(212/3 ）（ zyxdpdpdprpitpcexp),()2(12/3 2( , )|( , ) |dWr tr tdrtrdr 时 刻 粒 子 出 现 在 点 附 近体 积 元 内 的 几 率 ； ( , )( , )c p tr t具有类似的物理含义与2(, )|(, ) |dWp tc p tdptpdp时 刻 粒 子 出 现 在 动 量点 附 近体 积 元 内 的 几 率 。若若 (r,t) (r,t)已归一化，则已归一化，则 C(p, t)C(p, t)也是归一化的也是归一化的pdtpctpcpdtpc),(),(| ),(|2 证证明明：pd

23、rdrtrrdrtrpp ) (), ()(),( pdrrrdrdtrtrpp) ()(), (),( ) (), (),(rrrdrdtrtr 1),(),(rdtrtr函函数数的的目目的的。平平面面波波归归一一化化为为由由此此我我们们也也可可以以看看出出把把关关系系式式其其中中使使用用了了 ) () ()(rrpdrrpprdtrrtpcp),()(),( 3 Schrodinger 3 Schrodinger 方程方程（一）（一）引言引言 （二）（二）引进方程的基本考虑引进方程的基本考虑 （三）（三）自由粒子满足的方程自由粒子满足的方程 （四）（四）势场势场 V (r) V (r) 中

24、运动的粒子中运动的粒子 （五）（五）多粒子体系的多粒子体系的SchrodingerSchrodinger方程方程 这些问题在这些问题在19261926年年Schrodinger Schrodinger 提出了波动方程之后得提出了波动方程之后得到了圆满解决。到了圆满解决。 微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题就

25、是要解决以下两子的状态。因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：个问题：(1)(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数；在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数； (2)(2)波函数如何随时间演化波函数如何随时间演化? ?（一）（一）引言引言（二）（二）引进方程的基本考虑引进方程的基本考虑 从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t t 粒子的状态粒子的状态 r r 和和 p p 。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。所以方程是时间的二阶常微分方程。让我

26、们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。（1 1）经典情况）经典情况000,prtt时刻，已知初态是：22dtrdmF方程：粒子满足的方程是牛顿（2 2）量子情况）量子情况3 3第三方面，方程第三方面，方程不能包含状态参量不能包含状态参量，如，如 p p, , E E等，否则方等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。态所满足。1 1因为，因为，t = tt = t0 0 时刻，已知的初态是时刻，已知的初态是( r, t( r, t0 0) ) 且只

27、知且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程的方程只能含只能含对时间对时间 的一阶导数的一阶导数。2 2另一方面，另一方面，要满足态叠加原理要满足态叠加原理，即，若，即，若1 1( r, t )( r, t ) 和和2 2( r, t )( r, t )是方程的解，那末。是方程的解，那末。 ( r, t)= C( r, t)= C1 11 1( r, t ) + C( r, t ) + C2 22 2( r, t ) ( r, t ) 也应是该方程的解。也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含这就要求

28、方程应是线性的，也就是说方程中只能包含, , 对时间的一阶导数对时间的一阶导数和和对坐标各阶导数的一次项对坐标各阶导数的一次项，不能含它们，不能含它们的平方或开方项。的平方或开方项。（三）（三）自由粒子满足的方程自由粒子满足的方程这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E E 。将。将对坐标二次微商，得：对坐标二次微商，得：）（1 EtiEit )(expEtrpiA描写自由粒子波函数描写自由粒子波函数: :应是所要建立的方程的解。应是所要建立的方程的解。将上式对将上式对 t t 微商，得：微商，得：， 2222)(xxEtzpypxpipxpiAex

29、xzyx(1)(2)(1)(2)式式 12222222222zyxpppzyx 22222222zypzpy同同理理有有)2(221222222 pp或或满足上述构造方程满足上述构造方程的三个条件的三个条件讨论：讨论：通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能量关系式如果能量关系式 E = pE = p2 2/2/2 写成如下方写成如下方程形式：程形式： 22224ppipptiE）（做做算符替换（算符替换（4 4）即得自由即得自由粒子满足的方程（粒子满足的方程（3 3）。）。）（所所以以3222 ti对自由粒子0)2(2 pE(1)(2)(1)(2

30、)式式E = pE = p2 2/2/2（四）势场（四）势场 V(r) V(r) 中运动的粒子中运动的粒子 该方程称为该方程称为 Schrodinger Schrodinger 方程，也常称为波动方程。方程，也常称为波动方程。量量。算算符符，亦亦常常称称为为是是体体系系的的式式中中HamiltonHamiltonHtrHtrrVtrti),(),()(2),(22 若粒子处于势场若粒子处于势场 V(r)V(r) 中运动，则能动量关系变为：中运动，则能动量关系变为：HrVpE )(22 )(22rVpE 将其作用于波函数得：将其作用于波函数得：做（做（4 4）式的算符替换得：）式的算符替换得：（

31、五）多粒子体系的五）多粒子体系的 Schrodinger Schrodinger 方程方程设体系由设体系由 N N 个粒子组成，个粒子组成， l质量分别为质量分别为 i i (i = 1, 2,., N) (i = 1, 2,., N) l体系波函数记为体系波函数记为 ( r( r1 1, r, r2 2, ., r, ., rN N ; t) ; t) l第第i i个粒子所受到的外场个粒子所受到的外场 U Ui i(r(ri i) ) l粒子间的相互作用粒子间的相互作用 V(rV(r1 1, r, r2 2, ., r, ., rN N) ) l则多粒子体系的则多粒子体系的 Schrodin

32、ger Schrodinger 方程可表示为：方程可表示为：);,(),()(2);,(211212221trrrrrrVrUtrrrtiNNiNiiiiN 多粒子体系多粒子体系 Hamilton Hamilton 量量 ZjijiZrrerrrV|),(221iiirZerU2)( 对有对有 Z Z 个电子的原子，电子间相互作用为个电子的原子，电子间相互作用为 Coulomb Coulomb 排斥排斥作用：作用：而原子核对第而原子核对第 i i 个电子的个电子的 Coulomb Coulomb 吸引能为：吸引能为：假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能

33、零点。 NiNiiiirrrVrUH12122),()(2 例如：例如：4 4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律（一）定域几率守恒（一）定域几率守恒 （二）再论波函数的性质（二）再论波函数的性质（一）（一） 定域几率守恒定域几率守恒 考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即到它的几率总和应不随时间改变，即2|),(|),(),(),(trtrtrtr 0),( dtrdtd在讨论了状态

34、或波函数随时间变化的规律后，我们进一在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在变化。粒子在 t t 时刻时刻 r r 点周围单位体积内粒子出现的点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：几率即几率密度是：证证：考虑考虑 Schrodinger Schrodinger 方程及其共轭式：方程及其共轭式：)5(222 Vti )6(222 Vti 式式得得：将将)6()5( 2222 titi22 ）（ti取共轭取共轭 dddtdi22 ）（在空间闭区域在空间闭区域中将上式积分，则有：

35、中将上式积分，则有：闭区域闭区域上找到粒上找到粒子的总几子的总几率在单位率在单位时间内的时间内的增量增量J J是几率流密度，是几率流密度，是一矢量。是一矢量。所以所以(7)(7)式是几率（粒子数）守恒的积分表示式。式是几率（粒子数）守恒的积分表示式。令令 Eq.Eq.（7 7）趋于趋于 ，即让积分对全空间进行，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是 Eq.Eq.（7 7）变为：）变为： 0),( dtrdtd0 Jt 其微分形式与其微分形式

36、与流体力学中连流体力学中连续性方程的形续性方程的形式相同式相同 diddtd2 ）（ dJdtrdtd ),(的的表表面面。是是体体积积）（ StrSdJdtrdtdS ),(7),(使用使用 Gauss Gauss 定理定理单位时间内通过单位时间内通过的封闭表的封闭表面面 S S 流入（面积分前面的负流入（面积分前面的负号）号）内的几率内的几率2 iJSdS 0),( dtrdtd讨论：讨论：表明，波函数归一化不随时表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。既未产生也未消灭。（1 1）这里的几率守恒具有）这里的几率守恒具有定域定域性质：当空间某

37、处几率减少了，必然另性质：当空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。（2 2） 以以乘连续性方乘连续性方程等号两边，得到：程等号两边，得到：0 Jt量子力学的质量守量子力学的质量守恒定律恒定律同理可得量子力学同理可得量子力学的电荷守恒定律：的电荷守恒定律：0 eeJt 表明电荷总量表明电荷总量不随时间改变不随时间改变 )(2| ),(|2iJJtr 质量密度质量密度 和和 质量流密度矢质量流密度矢量量 )(2| ),(|2 ieJeJtreeee电荷密度电荷密度 和和 电流密度矢量

38、电流密度矢量（二）再论波函数的性质（二）再论波函数的性质1. 1. 由由 Born Born 的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒子在空间的几率分布，即子在空间的几率分布，即 d (r, t) = |(r, t)|d (r, t) = |(r, t)|2 2 d d 2. 2. 已知已知 (r, t)(r, t)， 则任意力学量的平均值、可能值及相应的几率就则任意力学量的平均值、可能值及相应的几率就都知道了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以都知道了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称为状

39、态波函数或态函数。波函数又称为状态波函数或态函数。 3.3.知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由SchrodingerSchrodinger方程即可确定以后时刻的状态。方程即可确定以后时刻的状态。（1 1）波函数完全描述粒子的状态）波函数完全描述粒子的状态（2 2）波函数标准条件）波函数标准条件1. 1. 根据根据BornBorn统计解释统计解释 (r, t) = (r, t) = * *(r, t) (r, t)(r, t) (r, t)是粒子在是粒子在t t时刻出时刻出现在现在 r r点的几率，这是一个确定的数，所以要求点

40、的几率，这是一个确定的数，所以要求(r, t)(r, t)应是应是 r, tr, t的单的单值函数且有限。值函数且有限。l式右含有式右含有及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域是任意选取的，所以是任意选取的，所以S S是任意闭合面。要是积分有意义，是任意闭合面。要是积分有意义，必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续。连续且其一阶导数亦连续。 l概括之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、概括之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准

41、条件。连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。SdiSdJdtrdtdSS 2),( 2.2.根据粒子数守恒定律根据粒子数守恒定律 : :（3 3）量子力学基本假定）量子力学基本假定 I I、 IIII量子力学基本假定量子力学基本假定 I I 波函数完全描述粒子的状态波函数完全描述粒子的状态量子力学基本假定量子力学基本假定 II II 波函数随时间的演化遵从波函数随时间的演化遵从 Schrodinger Schrodinger 方程方程5 5 定态定态SchrodingerSchrodinger方程方程（一）定态（一）定态SchrodingerSchrodinger方程方程 （二）（二）Ha

42、miltonHamilton算符和能量本征值方程算符和能量本征值方程 （三）求解定态问题的步骤（三）求解定态问题的步骤 （四）定态的性质（四）定态的性质 （一）定态（一）定态SchrodingerSchrodinger方程方程),()(2),(22trrVtrti )()(),(tfrtr )(2)()()(22rVtftfdtdri 现在让我们讨论现在让我们讨论 有外场情况下的定有外场情况下的定态态 Schrodinger Schrodinger 方程：方程：E )()(2)()(22rErVtEftfdtdi 令：令：/)(iEtetf Etiertr )(),( 于是：于是：V(r)V(

43、r)与与t t无关时，可以无关时，可以分离变量分离变量代代入入)(2)(1)()(122rVrtfdtdtfi )()(tfr 两两边边同同除除等式两边是相互等式两边是相互无关的物理量，无关的物理量，故故应等于与应等于与 t, t, r r 无关的常数无关的常数定态薛定谔方程定态薛定谔方程该方程称为该方程称为定态定态 Schrodinger Schrodinger 方程方程，(r)(r)也可称也可称为定态波函数，或可看作是为定态波函数，或可看作是t=0t=0时刻时刻(r,0)(r,0)的定态波函数。的定态波函数。此波函数与时间此波函数与时间t t的关系是正弦型的，其角频率的关系是正弦型的，其角

44、频率=2E/h=2E/h。 由由de Brogliede Broglie关系可知：关系可知： E E 就是体系处于波函数就是体系处于波函数(r,t)(r,t)所描写的状态时的能量。也就是说，此时所描写的状态时的能量。也就是说，此时体系能量体系能量有确定的值有确定的值，所以这种状态称为定态，波函数所以这种状态称为定态，波函数(r,t)(r,t)称为称为定态波函数。定态波函数。Etiertr )(),( )()(222rErV 空间波函数空间波函数(r)(r)可由方程可由方程和具体问题和具体问题(r)(r)应满足的边界条件得出。应满足的边界条件得出。（二）（二）HamiltonHamilton算符

45、和能量本征值方程算符和能量本征值方程（1 1）Hamilton Hamilton 算符算符),()(2),(22trrVtrti 算算符符。亦亦称称量量，称称为为与与经经典典力力学学相相同同，HamiltonHamiltonH )()(2)()(22rErVtEftfdtdi EVEti22 二方程的特点：二方程的特点：都是以一个算符作用于都是以一个算符作用于(r, t)(r, t)等于等于E(r, t)E(r, t)。所以这两个算符是完全相当的（作用于波函数上的效果一样）。所以这两个算符是完全相当的（作用于波函数上的效果一样）。 HVti222 是相当的。这是相当的。这两个算符都称两个算符都

46、称为能量算符。为能量算符。也可看出，作用于任一波函数也可看出，作用于任一波函数上的二算符上的二算符)(r ，得得：注注意意到到/expiEt /expiEt 再由再由 Schrodinger Schrodinger 方程：方程：（2 2）能量本征值方程）能量本征值方程（1 1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与数）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与数学物学物理方法中的本征值方程相似。理方法中的本征值方程相似。 数学物理方法中：数学物理方法中：微分方程微分方程 + + 边界条件构成本征值问题边界条件构成本征值问题； EH EV 22 将将改写成改写成（2 2）量子

47、力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方法中的法中的边界条件，称为边界条件，称为波函数的自然边界条件波函数的自然边界条件。 因此在量子力学中称与上类似因此在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。常量的方程为束缚的本征值方程。常量 E E 称为称为算符算符 H H 的的本征值本征值；称为称为算算符符 H H 的的本征函数本征函数。 （3 3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状态（简态（简称称能量本征态能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数）时，粒子能

48、量有确定的数值，这个数值就是与这个值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。本征函数相应的能量算符的本征值。（三）求解定态问题的步骤（三）求解定态问题的步骤讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数( r, t)( r, t) 和在这些态中的能量和在这些态中的能量 E E。其具体步骤如下：。其具体步骤如下：/exp)(),(tiErtrnnn 1| )(|2 drCnn)()(222rErV （1 1）列出定态）列出定态 SchrodingerSchrodinger方程方程,2121nnEEE ，本本征征函函数数本本征征值值：（2 2）根据波函数

49、三个标准）根据波函数三个标准条件求解能量条件求解能量 E E 的的本征值问题，得：本征值问题，得：（3 3）写出定态波函数即得）写出定态波函数即得到对应第到对应第 n n 个本征值个本征值 E En n 的定态波函数的定态波函数（4 4）通过归一化确定归一化系数）通过归一化确定归一化系数 C Cn n（四）定态的性质（四）定态的性质（2）几率流密度与时间无关）几率流密度与时间无关nnntr ),( 2),(nnnnnitrJ （1 1）粒子在空间几率密度与时间无关）粒子在空间几率密度与时间无关)/exp()/exp(tiEtiEnnnn )/exp()/exp(tiEtiEnnnn )()(r

50、rnn )/exp()/exp()/exp()/exp(2tiEtiEtiEtiEinnnnnnnn )()()()(2rrrrinnnn )( rJn 综上所述：综上所述：当当满足下列三个等价条件中的任何一个时，满足下列三个等价条件中的任何一个时，就是定态波函数：就是定态波函数： 1. 1. 描述的状态其能量有确定的值；描述的状态其能量有确定的值； 2. 2. 满足定态满足定态SchrodingerSchrodinger方程；方程； 3. |3. |2 2 与与 t t无关。无关。 dtrFtrFnn),(),( （3 3）任何不显含）任何不显含t t得力学量平均值与得力学量平均值与t t

51、无关无关 dtiErFtiErnnnn)/exp()()/exp()( drFrnn)()( 作作 业业周世勋周世勋 量子力学教程量子力学教程 2.2 2.2 题题l求解求解 S S 方程方程 分四步：分四步： l（1 1）列出各势域的一维）列出各势域的一维SS方程方程 l（2 2）解方程）解方程 l（3 3）使用波函数标准条件定解）使用波函数标准条件定解 l（4 4）定归一化系数）定归一化系数 axaxxV|, 0)(-a 0 aV(x)IIIIII6 6 一维无限深势阱一维无限深势阱（1 1）列出各势域的）列出各势域的 S S 方程方程方程可方程可 简化为：简化为： 00022222222

52、2IIIIIIIIIIIIdxddxddxd 0)()(2)()()()()(2222222 xExVxdxdxExxVxdxd -a 0 aV(x)IIIIIIaxxEVxdxdaxaxExdxdaxxEVxdxdIIIIIIIIIIII 0)()(2)(0)(2)(0)()(2)(222222222 势势V(x)V(x)分为三个区域，分为三个区域， 用用 I I 、II II 和和 III III 表示，表示， 其上的波函数分别为其上的波函数分别为 I I(x),(x),IIII(x) (x) 和和 IIIIII (x) (x)。则方程为：则方程为： 2 2 xxIIIIIxxIeBeBx

53、AeCeC 2121)sin( 000222222222IIIIIIIIIIIIdxddxddxd （3 3）使用波函数标准条件）使用波函数标准条件xIeC 1 从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是外波函数为零，特别是 (-a) = (a) = 0(-a) = (a) = 0。 .0),sin(,0IIIIIIxA 则则解解为为：)(222EV 00lim)(1 IaIeCa 所所以以0 III 同同理理：-a 0 aV(x)IIIIII 1 1。单值

54、，成立；。单值，成立； 2 2。有限：当。有限：当x x - - ， 有限条件要求有限条件要求 C C2 2=0=0。使用标准条件使用标准条件 3 3。连续：。连续： 2 2）波函数导数连续：）波函数导数连续： l在边界在边界 x = -ax = -a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为：因为： l若若I I(-a) = (-a) = IIII(-a)(-a)， 则有，则有，0 = A 0 = A cos(-acos(-a + + ) ) l与上面波函数连续条件导出的结果与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-a + )= 0 A sin(-a

55、+ )= 0 矛盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连矛盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。续。, 0)sin()()( aAaaIII1 1）波函数连续：）波函数连续：.0),sin(,0IIIIIIxA. 0)sin()()( aAaaIIIII-a 0 aV(x)IIIIII0)sin(0)sin(aAaA )2(0sin)cos(cos)sin()1(0sin)cos(cos)sin( aAaAaAaA(1)+(2)3(0sin)cos( a)4(0cos)sin( a(2)-(1) 0cos0sina 两种情况：两种情况：1cos00sin. 则

56、则I由（由（4 4）式）式0sin a ),2,1,0( nanna E222 因因nEananE 22222222222 所所以以xanAxAIIn sinsin 或22222 anEn xanAIIn sin ),2,1,0( n讨论讨论 00sin00000 xAEnII ，时时：当当xakAxakAknIIk sinsin 时时：当当状态不存在状态不存在描写同一状态描写同一状态所以所以 n n 只取正整数，即只取正整数，即),2,1( n于是：于是： ,2,1sin0nxanAIInIIIIn xanA22sin 或或22228)2(anEn 于是波于是波函数：函数： xanAxanA

57、xAxAIInIIIIn 212coscoscos)2sin(02120cosII由（由（4 4）式）式0cosa),2,1,0()21()21( nanna 222222228)12()21(22ananEn 所所以以类似类似 I I 中关于中关于 n = n = m m 的讨论可知：的讨论可知：),2,1 ,0( n)4(0cossina 奇奇数数。的的偶偶数数mxamAmxamAamEIIIIIIIIIIIImm2cos002sin082222 综合综合 I I 、II II 结果，最后得：结果，最后得：对应对应 m = 2 nm = 2 n对应对应 m = 2n+1m = 2n+1能量

58、最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。推。由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，围，在无限远处， = 0 = 0 。这样的状态，称为束缚态。一维有限运。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。动能量本征值是分立能级，组成分立谱。（4 4）由归一化条件定系数）由归一化条件定系数 A AdxdxdxdxIIIaIImaaIam2222| dxIImaa2| oddmxdxamAevenmxdxamAaaaa12co

59、s|12sin|2222 （取取实实数数）得得：aAaA11|2 小结小结 由无穷深方势阱问题的求解可以看由无穷深方势阱问题的求解可以看 出，解出，解SS方程的一般步骤如下：方程的一般步骤如下：l一、列出各势域上的一、列出各势域上的SS方程；方程； l二、求解二、求解SS方程；方程； l三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值；三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值； l四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。（三）宇称（三）宇称),(),(trtrrr （1 1）空间反射：空间矢

60、量反向的操作。）空间反射：空间矢量反向的操作。（2 2）此时如果有：）此时如果有： ),(),(trtr 称波函数具有正宇称称波函数具有正宇称（或偶宇称或偶宇称）；),(),(trtr 称波函数具有负宇称称波函数具有负宇称（或奇宇称或奇宇称）；),(),(trtr （3 3）如果在空间反射下，）如果在空间反射下，),(),(trtr 则波函数没有确定的宇称。则波函数没有确定的宇称。（四）讨论（四）讨论一维无限深一维无限深 势阱中粒子势阱中粒子 的状态的状态,3,2,18.|,2cos1;|,2sin1;|0222 nanEaxoddnxanaaxevennxanaaxnn 其其能能量量本本征征