第二章z变换与离散时间傅里叶变换

1、第二章第1讲1版权所有 违者必究第二章第1讲1讲2抽样信号nnTnTtnTxnTttxttxtxnTxnx)()()()()()()( )()(nSTdenTt)(nnsTenTxsX)()(nnznxnxzX)()()(ZSTeZ 0nnznxnxzX)()()(Z)()(sXzXSTez版权所有 违者必究第二章第1讲1讲3 z变换的收敛域变换的收敛域 一般，序列的Z变换 并不一定对任何z值都收敛，z平面上使上述级数收敛的区域称为“收敛域”。 我们知道，级数一致收敛的条件是绝对值可和，因此z平面的收敛域应满足nnznx)( )nnx n zM Z变换的收敛域变换的收敛域版权所有 违者必究第二

2、章第1讲1讲4 z变换的收敛域jImzRx+Rx-Rez0 Rx-|z|Rx+ 这就是收敛域，一个以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域，Rx-和Rx+称为收敛半径，Rx-和Rx+的大小，即收敛域的位置与具体序列有关，特殊情况为Rx-等于0，Rx+为无穷大，这时圆环变成圆或空心圆。因为对于实数序列， 因此，|z| 值在一定范围内才能满足绝对可和条件，这个范围一般表示为nnnnznxznx)()(版权所有 违者必究第二章第1讲1讲5这里主要讨论以下四种序列：a 有限长序列有限长序列序列 (序列x(n)只在有限长度n1n2 内有值，其余为零)其Z变换X（z）是有限项的级数和，只要级数每一项

3、有界，有限项和也有界，所以有限长序列z变换的收敛域取决于|z|-n，n1nn2。 显然 |z| 在整个开域（0，）都能满足以上条件，因此有限长序列的收敛域是除 0 及两个点（对应n0 和n0不收敛）以外的整个 z 平面：nnnnnxnx其它0)()(2121)()(nnnnznxzX 0|z|版权所有 违者必究第二章第1讲1讲6b 右边序列右边序列 指 x（n）只在nn1，有值，而nn1时，x（n）=0 收敛域： ，为收敛半径Rx-以外的z平面， 1)()(nnnznxzX如果对n1，n2加以一定的限制，如n10或n20，则根据条件 （n1nn2），收敛域可进一步扩大为包括0点或点的半开域：

4、0|00021nznznz xRz 版权所有 违者必究第二章第1讲1讲7右边序列中最重要的一种序列是 “因果序列” ，即n1 0的右边序列，因果序列只在n0有值，n0时，x（n）=0，其z变换为： 收敛域： Z 变换的收敛域包括 点是因果序列的特征。0)()(nnznxzX|Rx-z版权所有 违者必究第二章第1讲1讲8c 左边序列左边序列 序列 x（n）只在nn2有值，n n2时，x（n）=0 收敛域： |Z|Rx+ ， 在收敛半径为Rx+的圆内。d 双边序列双边序列 可看作一个左边序列和一个右边序列之和，因此双边序列 z 变换的收敛域是这两个序列 z 变换收敛域的公共部分。2)()(nnnz

5、nxzXnnznxzX)()(111)()(nnnnnnznxznx版权所有 违者必究第二章第1讲1讲9 如果Rx+Rx-，则存在公共的收敛区间，X（z）有收敛域: Rx-|z|Rx-如Rx+Rx-，无公共收敛区间，X（z）无收敛域，不收敛.Z 变换收敛域的特点：变换收敛域的特点： 1） 收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有时可向外收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有时可向外扩展到扩展到，只有，只有x（n）=（n）的收敛域是整个）的收敛域是整个 z 平面。平面。 2） 在收敛域内没有极点，在收敛域内没有极点，X（z）在收敛域内每一点上都是）在收敛域内每一点上都是 解析函数。解析函数

6、。 ImzjRez0ImzjRez0Rez0Imzj版权所有 违者必究第二章第1讲1讲10 例1 序列x（n）=（n） 由于n1=n2=0，其收敛域为整个闭域 z 平面，0|Z|， 例2 矩形序列x（n）=RN（n） 等比级数求和 nnzznzX11)()(0nNnNnnNzzzzznRzX10)1(2111)()(|0,11)(1zzzzXN版权所有 违者必究第二章第1讲1讲11解：Reza00)()()(nnnnnzaznuazX1za|az 或|)(11)(azazzzXza1|1)(zzznuImzj版权所有 违者必究第二章第1讲1讲12解：1az|az 或ImzjReza01)()

7、1()(nnnnnzaznuazX01)(1)(nnnnazaz|)(111)(azazzzXaz版权所有 违者必究第二章第1讲1讲13解：03113131)()()()(nnnnnnnnnzzzzX031131)()(nnznnz31zz3zz3|31 z)(3(3)(313831zzzzzzzzXRez310Imzj3版权所有 违者必究第二章第1讲1讲14逆逆Z Z变换变换从给定的Z变换表达式(包括收敛域)求原序列的过程称为逆z变换。其实质是求X(z)的幂级数展开式各项的系数。dzzzXjnxcn1)(21)(式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。 版权所有 违者必究第二章第1讲

8、1讲15逆逆Z Z变换变换是被积函数X(z)zn-1在围线C内的一组极点是被积函数X(z)zn-1在围线C外的一组极点 kakb,)(Re)(1kknazzXsnx,)(Re)(1kknbzzXsnx如果 还满足在 有二阶或二阶以上的零点，则根据留数辅助定理，有: z1)(nzzX)(nx若被积函数 是有理分式，一般采用留数定理来计算围线积分 。根据留数定理， 等于围线C内全部极点留数之和，即: 1)(nzzX版权所有 违者必究第二章第1讲1讲16逆逆Z Z变换变换在具体利用留数定理进行围线积分计算时，应根据被积函数的特点及n值灵活选用公式来计算，可使问题得以简化。例如，在n小于某一值时，被积

9、函数在围线内部z=0处可能具有高阶极点，这时采用围线外部的极点进行计算将方便得多。 如果 为单阶极点，按留数定理: kzznkkkknzzXzzzzzXs11)()(,)(Rekz如果 为 阶极点，则其留数为: kzznmkmmknzzXzzdzdmzzzXs)()()!1(1,)(Re1111kzm版权所有 违者必究第二章第1讲1讲17 求原序列x(n)已知某序列的Z变换为: azazzX11)1 ()(解:dzzazjdzzazjnxcncn121)1 (21)(111并且当 时，z=0处不是极点，被积函数仅有单阶极点a，在收敛域内取围线C包含极点a，可求得:0naz 由于收敛域为 ，可知

10、该序列必定是因果序列。)()(0,1Re)(nuanxnaazazsnxnnn或例例1:1:逆逆Z Z变换变换版权所有 违者必究第二章第1讲1讲18逆逆Z Z变换变换例例2 2：)()(1 ()(11azazazazazzzzXnnn又| ,)1)(1()(111azaazazzX求原序列x(n)已知序列的Z变换为：解：Rez0Imzja1/a收敛域|z|=|a|围线C| | |1aza 所给收敛域 为环域 原序列 必为双边序列)(nx|z|=|1/a|在收敛域内作包围原定的围线C版权所有 违者必究第二章第1讲1讲19逆逆Z Z变换变换当 时，只有一个单阶极点z=a,其围线积分为：0n01,)

11、(1Re)(21naaazazazasnxnn当n则则xR0( )( ),max,11nxmzZx mX zzRz版权所有 违者必究第二章第1讲1讲34求序列 的z变换，并确定其收敛域。)()cos()(0nunrnxn解：解：rrezzrenuerZrrezzrenuerZazaznuaZjjnjnjjnjnn00000011111)(11)(11)(221010110)cos2(1)cos(1111121)()cos(00zrzrzrzrezrenunrZjjnrz 线性性线性性版权所有 违者必究第二章第1讲1讲35xRznxZzXnunxnx),()(),()()(设求 的z变换和收敛域

12、。nmmxny0)()(解：解：) 1()()()()(100nynymxmxnxnmnm)1()()(nynyZnxZ)()()(1zYzzYzX 1 ,max)(11)(1xRzzXzzY即序列的移序列的移位性位性版权所有 违者必究第二章第1讲1讲36).(|)1ln()(1nxZazazzX变换的逆求解：解：121)(azazdzzdX111)()(azazdzzdXznnxZaznunanxnn)1()1()(1) 1()()(111111111nuaaazzaZazazZnX(z)对z进行微分：Z域微分性逆Z变换版权所有 违者必究第二章第1讲1讲37用卷积定理求 )()(nunx设)

13、()(nuanhn1a)()()(nhnxny1|11)()(1zznuZzX|11)()(1azaznuaZzHn1|1111)()()(11zazzzHzXzYdzazzzjzHzXZnync)(1(21)()()(11)(11111,)(1(Re 1 ,)(1(Re1111nuaaaaaaazzzsazzzsnnnn解：解：卷积定理逆Z变换版权所有 违者必究第二章第1讲1讲38),()(nuanxn已知)()(nubnhn)()()(nhnxny1|1|ba、其中用复卷积定理求 )()(nyZzY解：解：|11)()(1bzbznubZzHn|11)()(1azaznuaZzXndvbv

14、zavazjdvbvvvzajnyZzYcc)(/(/211)(1121)()(111复卷积定复卷积定理理版权所有 违者必究第二章第1讲1讲39在v平面中，被积函数有2个极点，即v1=z/a 和v2=b。因x(n)和h(n)都是因果序列，其收敛域为：azvb可见，只有一个极点v2=b在围线C内。由留数定理求得：| |,max|11,)(/(/Re)(1bazabzbbvzavazszY版权所有 违者必究第二章第1讲1讲40Z Z变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系Z变换与拉氏变换的关系: )(| )(sXzXaezsT这一关系实际上是通过 将S平面的函数映射到了Z平面。 sTez 若将Z平

15、面用极坐标表示 ，S平面用直角坐标表示 ，代入 ，得：jrez sTez jsTerT上述关系表明： z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应，z 的幅角 则仅与 s 的虚部 对应。 映射关系：映射关系：)(10)(10)(10平面单位圆外平面单位圆内平面上的单位圆zrzrzr版权所有 违者必究第二章第1讲1讲41Z Z变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系Tzs/102,00(S平面实轴映射到Z平面的正实轴) (S平面原点映射到z =1点)(当由- /T 增加到+ /T 时,对应于 由- 增加到+ ) 由于 是 的周期函数，S平面每增加一个宽为2 /T 的水平条带时，对应于Z平面从- 到+

16、旋转了一周。这样就有： jrez 1)(z即S平面的整个虚轴都映射到了Z平面 =1 的单位圆上,因此由S平面到Z平面的映射是多值映射,这些关系示于下图示： z版权所有 违者必究第二章第1讲1讲42Z Z变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系抽样序列的傅立叶变换即抽样序列的频谱抽样序列的傅立叶变换即抽样序列的频谱。由于傅立叶变换是拉氏变换在虚轴上 的特例，按照前面的SZ平面的映射关系，它映射到Z平面 =1 的单位圆上，故有 jSz)()()(jXeXzXaTjezTj12()()()jTjanX eX eXjjnTT 或定义：定义：Z平面的角变量 ，称为数字频率，单位为弧度。sffT2版权所有

17、 违者必究第二章第1讲1讲43序列的傅立叶变换是从频域对离散时间信号和系统进行分析。它是用 作为基函数对序列进行正交展开，这与连续时间信号中的傅立叶变换用 对模拟信号进行展开相似。njetje版权所有 违者必究第二章第1讲1讲44 1 1序列傅立叶正变换序列傅立叶正变换 nnjjenxnxFeX)()()(x(n)的傅立叶变换定义如下: 是 的连续函数。但由于 其中M为整数，故有 nMjnjee)2()()()()2()2(MjnMjnjeXenxeX可见 还是 的周期函数，周期为2 。 ()jX e版权所有 违者必究第二章第1讲1讲45序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义2 2序列傅立叶

18、变换与序列傅立叶变换与Z Z变换的关系变换的关系 比较后可见：序列的傅立叶变换是序列的傅立叶变换是Z Z变换在变换在 时时的的Z Z变换，即变换，即Z Z变换在的单位圆上变换在的单位圆上 的特殊情况。的特殊情况。jez 1zjezjzXeX)()(序列的傅立叶变换式： nnjjenxnxFeX)()()(nnznxzX)()(序列的Z变换定义式： 版权所有 违者必究第二章第1讲1讲46序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义由于单位圆上的由于单位圆上的Z Z变换就等于抽样序列的傅立叶变变换就等于抽样序列的傅立叶变换，也就是序列的频谱，因此，换，也就是序列的频谱，因此，序列的傅立叶变序列的傅立叶

19、变换也就是序列的频谱。换也就是序列的频谱。由于序列的傅立叶变换直由于序列的傅立叶变换直接给出了序列的频谱，在频谱分析与数字滤波器接给出了序列的频谱，在频谱分析与数字滤波器设计中经常用到，因此它是信号处理的重要工具设计中经常用到，因此它是信号处理的重要工具之一。之一。 版权所有 违者必究第二章第1讲1讲47序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义一般为 的复变函数，可表示为: )(jeX)(arg| )(|)()()(jweXijjIjRjeeXejXeXeX其中， 分别为 的实部和虚部；通常称 为序列的幅频特性或幅度谱，而称 为相位谱，并且有：)(jeX、)(jReX)(jIeX)(jeX)(

20、arg)(jeX2/122)()(| )(|jIjRjeXeXeX)(/ )()(arg)(jRiIjeXeXarctgeX显然 都是 的连续函数和周期为 2 的周期函数。 、)(jeX)(版权所有 违者必究第二章第1讲1讲48序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义3 3序列的傅立叶反变换序列的傅立叶反变换 )()(1jeXFnx通常傅立叶反变换记为deeXdzzzXjnxjnjceznj)(21|)(21)(14 4序列的傅立叶变换的收敛条件序列的傅立叶变换的收敛条件 )()(nxenxnnjn即序列绝对可和该条件是序列傅立叶变换存在的充分但非充分但非必要必要条件有些序列虽然不满足以上条件

21、，但满足平方可和，其傅立叶变换依然存在。见后例。某些既不满足绝对可和的条件也不满足平方可和条件的序列，若引入频域的冲击函数 ，其傅立叶变换也存在。如 、某些周期序列，见后例。 njenu、)()(版权所有 违者必究第二章第1讲1讲49序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义5 5常用序列的傅立叶变换常用序列的傅立叶变换 )(n11)(anuan1)1 (jae)(nRN)2/sin(/)2/sin(2/)1(NeNj1kk)2(2)(nukjke)2()1(1nje0kk)2(20)cos(0nkkk)2()2(00版权所有 违者必究第二章第1讲1讲50已知 ，求它的傅立叶变换。 )()(5n

22、Rnx)2/sin(2/5sin)()(11)()(22/2/2/52/52/2/5540jjjjjjjjjnjnjeeeeeeeeeenxFeX解：解：其幅度谱和相位谱分别为： , |)2/sin(2/5sin|)(jeX)2/sin(2/5sinarg2)(版权所有 违者必究第二章第1讲1讲51|0|01)(ccjeH已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。 解：解：deeHFnhnjccj21)()(1nnnjnejnecnjnjcc,sin)(21cccjncdeHnn22| )(|21|sin|显然序列 不是绝对可和的，而是平方可和的 ，但其依然存在傅立叶变换。)(nhParseva

23、l定理版权所有 违者必究第二章第1讲1讲52njenx0)(证明复指数序列 的傅立叶变换为： kjkeX)2(2)(0证：证： 根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函数 的性质，有：)( knjdeknx)2(221)(0njnjede00)(1000nje，则若kkF)2(21 即mnmjmeanx)(若序列为复指数和的形式： 推推论论 kmmmjkaeX）则2(2)(版权所有 违者必究第二章第1讲1讲53求余弦序列 的傅立叶变换 nnx0cos)()2()2(00kkk21cos)()(000njnjjeeFnFnxFeX解：解：可见：序列序列 的傅立叶变换表现为在的傅立叶变换表现为在 处

24、的处的冲击，强度为冲击，强度为 ，并以，并以2 2 为周期进行周期延拓。为周期进行周期延拓。 n0cos0利用上例结论版权所有 违者必究第二章第1讲1讲54序列傅立叶变换的性质序列傅立叶变换的性质下面所列出的性质都可直接由Z变换令 得到，可自行证明。因序列的傅立叶变换是Z变换在 的单位圆上的特例，故所有Z变换的性质对傅立叶变换都成立。jez 1z版权所有 违者必究第二章第1讲1讲55序列傅立叶变换的性质序列傅立叶变换的性质),()(jeXnxF若)()(jeYnyF)()()()(jjebYeaXnbynaxF则)()(jeXnxF若)()(00jnjeXennxF则)()(jeXnxF若)(

25、)(00jnjeXnxeF则),()(jeXnxF若)()(jeXnxF则版权所有 违者必究第二章第1讲1讲56序列傅立叶变换的性质序列傅立叶变换的性质)()(jeXnxF若)(*)(*jeXnxF则)()(jeXnxF若dedXjnnxFj)()(则对时域信号进行线性加权对应于频域的微分),()(jeXnxF若)()(jeHnhF)()()(jjjeHeXeY则)()()(nhnxny设版权所有 违者必究第二章第1讲1讲57序列傅立叶变换的性质序列傅立叶变换的性质),()(jeXnxF若)()(jeHnhF)()()(nhnxny设)()(21)(jjjeHeXeY则deHeXjj)(21)

26、()()()(jjjxyeYeXeR则),()(jeXnxF若)()(jeHnhFnxymnynxmr)()()(设2)()()()(jjjjxxeXeXeXeR推论序列的序列的自相关自相关函数的函数的傅立叶傅立叶变换就变换就是序列是序列的功率的功率谱谱-维维纳纳-辛欠辛欠定理定理版权所有 违者必究第二章第1讲1讲58序列傅立叶变换的性质序列傅立叶变换的性质)()(jeXnxF若deXnxjn22)(21)(则该定理表明：信号在时域中的能量等于频域中的能量)()(jeXnxF若10)2()(1)(MlMlMjjeXMeY则 2, 1,0)()(nnMxny设10)2()(1)(MlMljMje

27、XMeY或该性质表明：该性质表明：重抽样序列的频谱是将原来序列的频谱展宽了M倍，并将展宽后的频谱以为周期扩展了M个，幅度则下降到原来的1/M。M/2版权所有 违者必究第二章第1讲1讲59序列傅立叶变换的对称性序列傅立叶变换的对称性若序列 满足 )()(nxnxee)(nxe)(nxe则称 为共轭对称序列共轭对称序列)()(nxnxoo)(nxo类似地，若序列 满足 )(nxo则称 为共轭反对称序列共轭反对称序列 任何序列 均可表示成上述两种序列之和，)()()(nxnxnxoe即)(nx)()(21)()()(21)(nxnxnxnxnxnxoe其中版权所有 违者必究第二章第1讲1讲60序列傅

28、立叶变换的对称性序列傅立叶变换的对称性)(nxe若将共轭对称序列 用它的实部和虚部来表示：)()()(njxnxnxeiere)()()(njxnxnxeiere则)()()()(nxnxnxnxeieierer此式表明： 的实部是n的偶函数，而虚部是n的奇函数； 的实部是n的奇函数，而虚部是n的偶函数。 )(nxe)(nxo)()()(1nxnxnxoe、若将序列分成)()()(nxFnxFeXoej对其实施傅立叶变换)(jeX将 分成实部与虚部 )()()(jIjRjejXeXeX共轭对称部分共轭反对称部分版权所有 违者必究第二章第1讲1讲61序列傅立叶变换的对称性序列傅立叶变换的对称性)

29、()(Im)()(21)(*jIjjjoejXeXjeXeXnxF)()(Re)()(21)(jRjjjeeXeXeXeXnxF则上式表明：上式表明： 的傅立叶变换对应于 的实部； 的傅立叶变换对应于 的虚部(加上j 在内)。)(nxe)(nxo)(jeX)(jeX)()()(2njxnxnxir、若将序列分成)()()(nxjFnxFeXirj对其实施傅立叶变换nnjrrjeenxnxFeX)()()(定义nnjiijoenxjnxjFeX)()()()()()(jojejeXeXeX则版权所有 违者必究第二章第1讲1讲62序列傅立叶变换的对称性序列傅立叶变换的对称性)()(, )()(jo

30、jojejeeXeXeXeX结论：结论： 具有共轭对称性质， 具有共轭反对称性质。)(jeeX)(joeX若序列为纯实数序列，即若 )()(nxnxr)()(jjeXeX则所以实序列x (n)的傅立叶变换的实部是的偶函数，而虚部是的奇函数；幅度是的偶函数，而相位是的奇函数)(Im)(ImjjeXeX)(Re)(RejjeXeX推论推论若序列为纯虚数序列，即若)()(njxnxi)()(jjeXeX则所以纯虚数序列的傅立叶变换是的奇函数。 第二章第1讲63版权所有 违者必究第二章第1讲1讲64本节将以系统函数系统函数和传输函数传输函数为核心来研究系统的变换域分析方法，它们分别是h(n)的Z Z变

31、换变换和傅立傅立叶变换叶变换。 )()()(nhnxny1 1、系统函数：、系统函数：若系统单位脉冲响应为h(n)，则线性时不变离散系统零状态响应的输入输出关系为：两边取Z变换得 )()()(zHzXzY)()()(zXzYzH称称H H( (z z) )为线性时不变离散系统的系统函数为线性时不变离散系统的系统函数，它是单位脉冲响应的Z变换 ，即：nnznhnhZzH)()()(版权所有 违者必究第二章第1讲1讲65系统函数在单位圆上的Z变换，即单位脉冲响应的傅立叶变换nnjjenhnhFeH)()()(称为系统的频率响应系统的频率响应，又称为系统的传输函数系统的传输函数。)()(0000jn

32、jmmjnjeHeemhemmnjemhnhnxny)(0)()()()(njenx0)(若给系统输入单频率的复信号 ，则系统的输出为：物理物理意义意义结论：结论：当输入为一个单频率的信号时，输出亦为同当输入为一个单频率的信号时，输出亦为同一频率的信号，但其幅度与相位都因为一频率的信号，但其幅度与相位都因为 的加的加权而发生了变化，且权而发生了变化，且 的值是随频率的变化而的值是随频率的变化而变化的。变化的。)(0jeH)(0jeH版权所有 违者必究第二章第1讲1讲66xRz 1）因果：2）稳定：( )nh n 序列h(n)绝对可和，即( )nnh n z 而h(n)的z变换的Roc：一、因果

33、稳定系统一、因果稳定系统版权所有 违者必究第二章第1讲1讲67若系统函数如下式，判断系统的因果性和稳定性。 |2)21)(21 (1)(1zzzzHH(z)有2个极点， 和 ，给定的收敛域为 ，包括无穷远点，故系统为因果系统因果系统。但收敛域不包括单位圆，因此系统是不稳定的不稳定的。 21z2/12z z2解：解：3）因果稳定：Roc：10,zrrH(z)须从半径小于1的圆到 的整个z域内收敛 即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内.版权所有 违者必究第二章第1讲1讲68若将收敛域改为 ，这时，收敛域包括单位圆，但不包括无穷远点，此时系统稳系统稳定但非因果定但非因果。实际上这时系统的单位脉

34、冲响应为 ，显然不是因果的。 22/1 znnh)2/1 ()(该例表明该例表明:同一个系统函数，如果收敛域不同，系统的特性是完全不同的。由于任何物理可实现系统都必定是因果的，对于这种非因果但稳定的系统，有时可采用将单位脉冲响应截取一段后保存在存储器中，通过延时使之变成因果系统来近似实现。版权所有 违者必究第二章第1讲1讲69如该例中，若将 截取从 的一段，然后令：120,) 2/ 1 ()()( |NnNnhnhNn1NnNnnh) 2/ 1 ()(来近似实现，如图所示。显然N越大，近似程度越好，但系统也就越复杂成本也越大。版权所有 违者必究第二章第1讲1讲70/4/4/6/60.2,0.2

35、,0.4,2,2,1.5jjjjeeee例：一系统的极点有： 问什么情况下，系统为因果系统， 什么情况下，系统为稳定系统Re zIm jz0140.2je40.2je0.41.562je62je2z 解：因果系统： 0.41.5z稳定系统：版权所有 违者必究第二章第1讲1讲7100()()NMkmkma y nkb x nm00( )( )NMkmkmkma z Y zb zX z101101(1)( )( )/( )(1)MMmmmmmNNkkkkkb zc zH zY zX zKa zd z取z变换则系统函数版权所有 违者必究第二章第1讲1讲72LSI311( )(1)(2)( )(1)4

36、83( )( )123y ny ny nx nx nx ny n例：已知离散系统的差分方程：其中：为输入，为输出。）求系统函数，指出系统的零极点；）若该系统是因果稳定的，指出系统的收敛域；）求该因果稳定系统的单位抽样响应。版权所有 违者必究第二章第1讲1讲73z解：1）对差分方程两边取 变换：121311( )( )( )( )( )483Y zz Y zz Y zX zz X z1112111111( )33( )3111( )1114824zzY zH zX zzzzz111, 0 , 324zz 零点：极点：系统函数：212z ）由于系统为因果稳定系统， 故收敛域： Re zIm jz0

37、0.50.2511/3版权所有 违者必究第二章第1讲1讲74 111131131111241124zzH zzzzzz 121311112424zH zAAzzzzz 1121211103112324zzzH zAReszzzz3)H(z)h(n) 对求z反变换即得单位抽样响应， 用部分分式法版权所有 违者必究第二章第1讲1讲75 214141173114324zzzH zAReszzzz 10733( )1124zzH zzz1: 2-12Rocz 根据，查表得 10 17 1( )323 4nnh nu n版权所有 违者必究第二章第1讲1讲76j ne( )j nx nen ()( )( )( )jn mj nj mmmy nh m eeh m e()j njeH e在稳态下，输入为复指数 时，输出也含有复指数 ，只是它被一个复值函数 加权。j nej ne()jH e版权所有 违者必究第二章第1讲1讲770( )cos()x nAn000( )() cosarg()jjy nA H enH e2）LSI系统对正弦序列的稳态响应输出同频 正弦序列幅度受频率响应幅度 加权相位为输入相位与系统相位响应之和()jH e0版权所有 违者必究第二章第1讲1讲78( )( )* ( )y nx nh