第三章线性系统的能控性

1、第三章第三章 线性系统的能控性和能观线性系统的能控性和能观测性测性 1.1.能控性定义能控性定义 2. 连续时间系统的连续时间系统的能控性判定能控性判定3.3.连续时间系统的能观测性定义及判据连续时间系统的能观测性定义及判据 4. 对偶性原理对偶性原理5. 线性离散时间系统的能控性和能观测性线性离散时间系统的能控性和能观测性6.用用MATLAB对能控性和能观测性进行对能控性和能观测性进行检测检测7.线性系统的状态空间结构线性系统的状态空间结构 8.单输入单输出系统的能控规范型和能观单输入单输出系统的能控规范型和能观测规范型测规范型 9.结构分解结构分解 10.传递函数阵的零极对消与可控可观性传

2、递函数阵的零极对消与可控可观性 第一节第一节 能控性定义能控性定义 能控性研究系统的内部变量状态是否可以由输入影响；能观测性体现了系统状态的运动是否可以由输出来完全反应，换而言之能控性反应的是系统输入对状态的控制能力，而能观测性是输出对状态的反应能力。直观的讨论严格定义一直观的讨论经典控制论:， 就可以控制 0sWyu现代控制理论：(u,y)多对多控制，虽然 ，但是 ，如果 某一行为零，该输出不可控；若两行相等，则两输出具有一样的控制效果，不能任意控制。 (x,u)多对多控制， 状态能控性：u对x的支配能力；状态能观测性：y反映x的能力 susWsy 0sW sW支配能力的三种表达方法： 在有

3、限时间内，找到u(t)，使 另一态联合某态某态能达能控某态00例1给定系统如下： 状态变量x1和x2可以通过选择输入u而使得他从初始点转移到原点。因而系统是完全能控的，但输出只反应出状态x2，状态x1与输出既无直接关系也无间接关系，所以是不完全能观测的。22211654xyuxxuxx例2 u和x2的联系被切断，有联系是可控性的必要条件，是否充分？而且采用状态反馈进行控制时，模态e-t可以改变，模态e-2t不可改变。uxx012001例3 实际电路，两个电容的端电压x1和x2是状态变量，输入u可以使状态转移到任意目标值，但是不能将状态分别转移到不同的目标值，也就是说无论输入取为何种形式，对所有

4、的t0都有x1=x2，这就表明该电路系统是不完全能控的。 31RC2112A11BttttttttAteeeeeeeee333321问题：两个状态与u均有联系，是否都可控？回答：有联系不是充分条件，两通道作用可以抵消。 坐标变换后更容易理解： 是x转过45x21212111112245cos45sin45sin45cosxxxxxx111122T1111221T即可得：30011ATTA021BTB221132xxuxx2xu 在新坐标下，系统状态描述为：显然， 的通道被截断，系统是不完全能控的。二二 严格定义严格定义定义定义1：对于线性时变系统 如果对于非零初始状态X0, ，都存在某一时刻

5、和一个无约束的容许控制 ，使得状态由初始点转移到t1时刻的原点，则称此初始状态x0在t0时刻是能控的。 JtutBxtAx ,)()(Jt 0011,ttJt,),(10ttttu定义定义2：如果状态空间中所有的非零状态在t0时刻都是能控的，那么就称系统在t0时刻是完全能控的。 定义定义3：取定初始时刻t0，如果存在一个或一些非零状态在t0时刻是不能控，那么就称系统在t0时刻是不完全能控的。 注释： 1. 上述定义中，只要求能够找到这样的控制输入u，使得t0时刻的非零状态经过一段时间之后转移到状态空间中的坐标系原点，而对状态转移的轨迹不作任何要求和限制，这就是说能控性是表征系统状态运动的一个定

6、性的特性 2. 无约束容许控制中无约束表示的是输入分量的幅值无限制，可以任意大到所要求的值。容许控制就是说控制作用要满足状态方程解存在且唯一的条件，具体的说就是要保证输入u的每个分量在J上是平方可积的。 3.上述定义中都是相对于J中的一个取定的初始时刻t0而言的，这对于时变系统是非常重要的，因为时变系统的能控性与初始时刻的选择有很大的关系。而对于定常系统来讲，其能控性与初始时刻t0的选择无关。4.上述定义中规定从非零初始状态转移到零状态，如果改成由零状态转移到非零状态，就称之为系统状态是能达的。对于线性连续定常系统，其能控性和能达性是等价的，而对于离散系统和时变系统，二者严格来讲是不等价的。

7、5.系统为不完全能控的情况只是一种奇异的情况。系统中组成元件的参数值发生微小变动，都可能使系统变成能控的，就拿上述实际电路来讲，如果其中一个电阻值发生微小变化，而使电路对称性破坏的话，此电路就由不完全能控变成了完全能控的。所以说对一个实际的系统，系统是完全能控的概率几乎为1，也就是说，如果随机地选取系数矩阵A和B，那么系统几乎就是完全能控的。 第二节第二节 能控性判定能控性判定预备知识时间函数的线性无关定义及其判别定理时间函数的线性无关定义及其判别定理 线性时变系统的能控性判定：格拉姆矩阵判据，秩判据格拉姆矩阵判据，秩判据线性定常系统的能控性判定格拉姆矩阵判据，频域判据，秩判据，格拉姆矩阵判据

8、，频域判据，秩判据，PBH秩秩判据，判据，PBH特征向量判据，约当标准型判据特征向量判据，约当标准型判据输出能控性一 预备知识时间函数的线性无关性 假定 是一组复值时间函数，如果在复数域C中可以找到这一组不全为零的复数 ，使得 那么就称这组复值函数在区间t0,t1内是线性相关的，否则就称他们在t0,t1内是线性无关。 )(),.,(),(21tftftfnn,.,21, , 0)(101ttttfiini注意：应明确时间区域，因为在不同的时间段内，这组时间函数的线性相关或线性无关性将会发生改变。例如 -1,0 线性相关0,1 线性相关 -1,1 线性无关 1 , 0 0 , 1 )( 1 ,

9、1 ,)(21tttttftttf时间向量的线性无关性： 假设 是一组p维的复值函数行向量，i=1,2,n，如果在复数域中存在一组不全为零的复数 ，使得： 那么就称这组复值函数行向量在区间t0,t1内是线性相关的，否则就称他们在t0,t1内是线性无关。注意：上式中的零应是P维的行向量。)(tfin,.,21, , 0)(101ttttfiini定理：假设 是一组定义在区间t0,t1上的 p维复值函数行向量，i=1,2,n，F是以他们为行构成的n*P阶矩阵，定义F（t）的格拉姆矩阵为则 是线性无关的充分必要条件是常值格拉姆矩阵W（t0，t1）是非奇异的。复值函数向量线性无关性判定： )(tfid

10、ttFtFttWttT10)()(),(10)(tfi二二 线性时变系统的能控性判据线性时变系统的能控性判据 1格拉姆矩阵判据：格拉姆矩阵判据： 定理1：线性时变系统在t0时刻完全能控的充分必要条件是存在这样一个时刻 ，使得格拉姆矩阵 是非奇异的。 dttttBtBttttWttTTc10),()()(),(),(0010Jt 1注：上述两个定理是等价的定理定理2 2：线性时变系统在t0时刻完全能控的充分必要条件是n*m阶矩阵 的n行在时间域t0,t1内是线性无关的)(),(0tBtt由格拉姆矩阵求将状态转移到原点所需的控制输入：根据运动分析，系统的状态响应为 对于能控系统总可以找到t1时刻及

11、其作用在t0,t1上的容许控制 ，使得系统在t1时刻转移到零点，即ttduBtxtttx0)()(),(),()(00,t tu10XxduBtxduBtttxduBtxtttxtttttt0001011010011 ,)()(),( )()(),(),( )()(),(),()(0101010根据格拉姆矩阵判据，格拉姆矩阵的逆必定存在，于是就可以这样选取控制输入：01010,),()(),(10 xttWtBttucTtt解释：无论系统的初始状态x0位于状态空间中的何处，都可以按照上述公式中控制作用的选取方法，使得在t1时刻能够将系统状态从初始点转移到状态空间零点。这种控制的选择又称为按能控

12、性格拉姆矩阵方式选取。一般来说，如果系统是能控的，能够把系统由初始状态x0转移到原点的输入控制有很多种，这是因为能控性对状态转移的轨迹没有任何要求。但相比较而言，在所有可以完成同一状态转移目的的控制输入中，按格拉姆矩阵方式选取的控制输入最好，它的耗能是最小的。 2 2秩判据秩判据 定理：定理：A(t)和B(t)是(n1)阶连续可微的，则在t0时刻完全能控的充分条件是存在这样一个时刻t1，使得：其中： ntMtMtMrankn)()()(111110)()()()()()()()()()()()()()(2211120010tMdtdtMtAtMtMdtdtMtAtMtMdtdtMtAtMtBt

13、Mnnn举例：解：5 . 0 ,20 ),(11000000102tJtuxtttx tttttttttttMdtdtMtAtMttttttMdtdtMtAtMtBtM2122101000001)()()()(1000110000001)()()()(110)()(4222112220010所以上述时变系统在t0时刻是完全能控的 JtttttttranktMtMtMrank , 32111210 )()()( 422210则三三 线性定常系统的能控性判定线性定常系统的能控性判定 1格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是存在这样一个时刻t10，使得格拉姆矩阵 是非奇异

14、的 dteBBetWttATAtcT101), 0(注意：和时变系统一样，定常系统的格拉姆矩阵判据主要应用于理论分析，这是因为在实际应用中，首先要计算出矩阵指数函数eAt，而当A的维数较大时并非易事，利用格拉姆矩阵判据可以推出一个较为实用的能控性判据，即秩判据。 2. 频域判据线性定常系统完全能控 行无关 行无关 行无关BeAtBeAtBAsI1L行相关的例子：行相关的例子： 1 相关， ，不可控2 相关，u对x1与x2作用相 等， ，只有子空间x1=x2可控 3 无关，则u可对x1及x2 分别作用 *01BAsI01x*1BAsIuuxx21*1BAsI3秩判据线性定常系统完全能控的充分必要

15、条件是 称矩阵 为系统的能控性判别阵，该结论完全是由线性定常系统的格拉姆矩阵的非奇异性推导而来，与格拉姆矩阵判据是完全等价的。 nBABAABBrankn12BABAABBQnc124PBH秩判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是对矩阵A的所有特征值 ，均有下式成立：即 是左互质的。 nii,.,2 , 1 ,复数域或CsnBAsIrankninBAIranki , ,.,2 , 1 , BAsI和5 5PBHPBH特征向量判据特征向量判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是A不能有与B的所有列相正交的非零左特征向量，即对A的任一特征值 使同时满足的特征向量 i0 ,BATTiT0此判据

16、与其他能控性判据是完全等价的 由PBH判据可知，如果系统是不完全能控的， ，也就是说该矩阵的行是线性相关的，那么必定存在一个非零的列向量 ，使得 即： 这正是PBH特征向量判据的结论。 nBAIranki0BAIiT00)(BAAITiTTiTPBH秩判据与PBH特征向量判据的关系秩判据与PBH特征向量判据的关系如果系统是不完全能控的，则存在一个非零的列向量 满足：0002ABABBABBABBTiiTTTiiTTT0 1BAABBnT因为 是个非零的列向量，那么必定有即能控性判别矩阵是奇异的，根据秩判据可知系统不完全能控，由此可以看出PBH特征向量判据与秩判据是等价的。 01BAABBn通常

17、，PBH特征向量判据主要用于理论分析，特别是线性系统的复频域分析。 6 6约当规范型判据约当规范型判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是Case1:Case1:当A矩阵的特征根两两相异时，在导出的对角线规范型中，矩阵 不包含元素全为零的行。 uBxxn1100BCase2:A的特征值为时，导出的约当规范型那么由矩阵 中对应每个约当块的最后一行行向量是线性无关的。换句话说，矩阵中对应每个约当块的最后一行行向量中无零行，且对应同一特征根的这些行分别是线性无关的。nikiii12211),(,),(),(且重重重uBBxJJxii1100B举例:给出了约当标准型 标准型中一共有三个约当块，系统是

18、完全能控的，必须保证B矩阵中对应每个约当块的最后一行非零，即是b3,b5,b6是非零的行向量，对应同一特征根 的这些行b3,b5分别是线性无关的。 ubbbbbbxx654321211111011011例1：若 ，则系统是能控的若 ，则x1,x2,x4不能控，x3能控30134014A40000210B00400000B例2：给出线性定常系统 uxx011050100001秩判据:因此系统是完全能控的。30505011112rankBAABBrankrankQcPBHPBH判据：判据：首先计算出特征值 ，分别计算 是否都等于n， 5, 1BAIranki30550115010015 30550

19、115010015 3015011101000 321rankBAIrankrankBAIrankrankBAIrank四四 输出能控性输出能控性定义定义1 1：对于线性时变系统 如果对于非零初始输出y0, ，都存在某一时刻 和一个无约束的容许控制 ，使得输出由初始点转移到t1时刻的原点，则称此初始输出y0在t0时刻是能控的。 定义定义2 2：如果对任一非零的输出在t0时刻都是能控的，就称系统的输出在t0时刻完全能控。 Jt 0011,ttJt,),(10ttttuJtutBxtAx ,)()(给定线性定常系统(A,B,C,D)，在t1时刻状态和输出的运动轨迹如下： 1011, ,)()(10

20、)(01tttAAtttdBuexetx1011)()()(1)(01tttAAttDudBueCxCety根据输出能控性可知 ，于是有 0)(1ty 10101011)()()()()()( ),()(111011101)(0ttmnmmttmnmmtttAAttDudutaBACtDudBuAtaCtDudBueCxCe10)()()(11ttmmdutatu令 ，则)()()()( )()()()( )()( 1111110111111110111001tutututuDBCACABCBtDutBuCAtCAButCButDutuBACxCennnnmnmmAt令DBCACABCBSnm

21、np1)1(0|称为输出能控性矩阵，只有在该矩阵的秩为p，即行满秩时，才可以求出将输出从初始点转移到零点所需的控制作用，由此可以得出系统输出能控性的判定方法：定理：线性定常系统输出完全能控当且仅当其中p是系统输出维数。 1ncrank CBCABCABDrank CQ Dp 注意：状态能控性与输出能控性是两个不同的概念，二者之间没有什么必然的联系。例：已知系统的状态方程和输出方程为：试判断系统的状态能控性和输出能控性 xyuxx01112110解：系统的状态能控性矩阵为rank Qc12，故状态是不完全能控的。 输出能控性矩阵为rank S0=1=p，故输出是完全能控的。1111ABBQc 0

22、110DCABCBS说明： 输出可控性和状态可控性是两个范畴，不存在包含关系。简单一点，当D0时， ，通常pt0，通过这段有限时间区间内所测得的输出y(t)可以确定出系统的初始状态x(t0)，那么就把x0称作是t0时刻的可观测状态，或者说在t0时刻是可观测的。定义定义5：状态空间中所有的非零状态在t0时刻都是可观测的，那么就称系统在t0时刻是完全能观测的。定义6：系统从t0时刻出发经过t0,t1段时间的运行，如果能够利用这段时间内测得的输出y(t)来确定出t1时刻的状态x(t1)，那么就称状态x(t1)在t1时刻是可检测的。 二 线性时变系统的能观测性判据：1格拉姆矩阵判据：格拉姆矩阵判据：线

23、性连续时变系统（A,C)在t0时刻完全能观测的充分必要条件是存在这样一个时刻t1，使得格拉姆矩阵是非奇异的。dttttCtttCttWttTo10),()(),()(),(0010利用能观测性格拉姆矩阵和t0,t时间段的输出y(t)来确定系统的初始状态x0在无输入系统中，输出与初始状态之间的关系为通常 并不是方阵，即使是方阵，也不一定是非奇异的，所以无法直接利用上式求逆来确定初始状态x0。对其变形，在等式两边同时左乘 以后，并在t0,t时间段上积分得：00),()()(xtttCty),()(0tttCTtttC),()(0利用能观测性格拉姆矩阵的非奇异性，可求出0100000),( ),()

24、(),()( )(),()(1010 xttWxdttttCtttCdttytttCottTttTdttytttCttWxttTo10)(),()(),(011002 2秩判据秩判据 A(t)和C(t)是（n1）阶连续可微的，则在t0时刻完全能观测的充分条件是存在t1时刻，t1t0，使得： 其中ntNtNtNrankn)()()(111110)()()()()()()()()()()()()()(2211120010tNdtdtAtNtNtNdtdtAtNtNtNdtdtAtNtNtCtNnnn举例：试用秩判据判定该时变系统的状态能观测性。0015 . 0 ,20 ,00000102ytJxt

25、ttx 解： 02100100000101)()()()(01000000001001)()()()(001)()(2211220010tttttttNdtdtAtNtNtttttNdtdtAtNtNtCtN 因为上述矩阵的秩并不等于系统的维数n，所以该系统的状态是不完全能观测的。Jttttrank , 2021010012三三 线性定常系统的能观测性判定线性定常系统的能观测性判定1格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 线性定常系统完全能观测的充分必要条件是存在这样一个时刻t10，使得格拉姆矩阵 是非奇异的。 和时变系统一样，定常系统的格拉姆矩阵判据主要应用于理论分析，这是因为在实际应用中，首先要计算

26、出矩阵指数函数eAt，而当A的维数较大时并不容易dtCeCetWtAtTtAoT101), 0(2. 频域判据频域判据线性定常系统是完全能观测的行线性无关行线性无关1)(AsICCeAt3 3秩判据秩判据 线性定常系统完全能观测的充分必要条件是我们称矩阵Qo为系统的能观测性判别阵，这个结论完全是由线性定常系统能观测性的格拉姆矩阵的非奇异性推导而来，与格拉姆矩阵判据是完全等价的。 nCACACACrankrankQno124 4PBHPBH秩判据秩判据 线性定常系统完全能观测的充分必要条件是对矩阵A的所有特征值 ，均有下式成立：即sI-A和C是右互质的。 nii,.,1 ,复数域或CsnAsIC

27、rankninAICranki , ,.,2 , 1 , 5 5PBHPBH特征向量判据特征向量判据 线性定常系统完全能观测的充分必要条件是A不能有与C的所有行相正交的非零右特征向量，即对A的任一特征值 使同时满足 的特征向量 。i0 ,CAi06 6约当规范型判据约当规范型判据线性定常系统完全能观测的充分必要条件是Case1 当A矩阵的特征根两两相异时，在导出的对角线规范型中，矩阵 不包含元素全为零的列。 xccxCyxxnn11100CCase2:A的特征值为时，导出的约当规范型那么由矩阵 中对应每个约当块的第一列列向量是线性无关的。换句话说，矩阵中对应每个约当块的第一列列向量中无零列，且

28、对应同一特征根的这些列分别是线性无关的。nikiii12211),(,),(),(且重重重xCCyxJJxii1100iC举例：给出了约当标准型 标准型中共有三个约当块，要保证系统是完全能观测的，则C矩阵中对应每个约当块的第一列非零，即c1,c4,c6是非零的列向量，对应同一特征根的这些列分别是线性无关的，即对应特征根 的列c1,c4是线性无关的。xccccccyxx654321211111011011例：给出线性定常系统试用上述判据来判定给定系统的状态能观测性。xyuxx011011050100001秩判据：系统是完全能观测的。30511010112rankCACACrankrankQo5,

29、 1PBHPBH判据：判据：首先计算出特征值 ，分别计算 是否都等于n， AICranki35501500015011355015000150113150110000011321rankAICrankrankAICrankrankAICrank第四节 对偶原理 能控性和能观测性无论是从概念上还是从判据的形式上都是对偶的，这种对偶关系反映了系统的能控问题与估计问题之间的对偶性 对偶系统：给定线性时变系统 ：则它的对偶系统 为： mpnRyxtCyRuRxutBxtAx ,)(, ,)()(dpTTTTmTnTTTTTTRtBRRtCtA ,)(, ,)()( 对偶系统又称为伴随系统，可以看出给定

30、系统和对偶系统之间的状态维数一致，而给定系统的输入，输出维数分别等于对偶系统的输出和输入维数。mpnRyCxyRuRxBuAxx , ,给定线性时变系统 ：则它的对偶系统 为： dpTmnTTRWzBWRVRzVCzAz , ,线性系统及其对偶系统之间的关系： 给定系统和对偶系统的方块图是对偶的 给定系统的运动是状态点在状态空间中由t0到t的正时向转移，而对偶系统的运动是协状态点在状态空间中由t到t0的反时向转移。设 和 是给定系统和对偶系统的状态转移矩阵，则必成立 ),(0tt),(0ttd),(),(00ttttTd证明：考虑到状态转移矩阵的特性 将其对时间t求导得 Itttt),(),(

31、010),(),()(),(),(),(),()(),(),(),(),(),(),(00000010010010010tttttAtttttttttAttdtdttttttdtdttttdtd从而，由此可以得出或根据定义可知 是对偶系统的状态转移矩阵，这表明上述关系式成立。 ItttAtttt ),( ),(),(),(0000ItttttAttTTTT ),( ),()(),(0000),(0ttT对偶原理： 给定系统和对偶系统在能控性和能观测性上具有以下对应关系： 给定系统的完全能控性等价于对偶系统的完全能观测性，给定系统的完全能观测性等价于对偶系统的完全能控性。验证：给定系统的能控性判

32、别矩阵对偶系统的能观测性判别矩阵 BAABBQnc1TnnTTTTToBAABBABABBQ11)(二者秩完全相同 给定系统的能观测性判别矩阵对偶系统的能控性判别矩阵 1noCACACQTnTnTTTToCACACCACACQ11)(二者秩完全相同 第五节第五节 线性离散系统的能控性和能观性线性离散系统的能控性和能观性 能控性和能达性能控性和能达性离散时间系统的能控性判据离散时间系统的能控性判据 格拉姆矩阵判据，秩判据格拉姆矩阵判据，秩判据能观测性概念及判据能观测性概念及判据 格拉姆矩阵判据，秩判据格拉姆矩阵判据，秩判据连续系统离散化后保持能控性和能观测连续系统离散化后保持能控性和能观测性的条

33、件性的条件 一 能控性和能达性考虑这样一个时变的离散系统： 如果对于 的非零初始状态x(k0)，都存在某一时刻 和一个无约束的容许控制 ，使得状态由初始点x(k0)转移到k1时刻的原点x(k1)=0，则称此初始状态在k0时刻是能控的。如果对任意非零初始状态在k0时刻都是能控的，那么就称系统在k0时刻是完全能控的。 kJkkukHkxkGkx ),()()()() 1(kJk 0011,kkJkk,),(10kkkku 如果对初始时刻k0和初始状态x(k0)=0，都存在某一时刻k1和一个无约束的容许控制 ，使得状态由原点转移到k1时刻的状态空间中任意非零点，则称此系统在时刻是完全能达的。注意：连

34、续时间的线性系统的能控性和能达性是完全等价的，对于离散系统只有在一定的条件下能控性和能达性才是等价的 ,),(10kkkku能控性和能达性等价条件：能控性和能达性等价条件：结论结论1线性离散系统能控性和能达性等价的充分必要条件是系统矩阵G（k）对所有 都是非奇异的。证明：证明：根据能控性定义，可以找到一个控制u(k)将状态从初始点x(k0)转移到k1时刻的零点，也就是 1,10kkk110011100111010)()() 1,()(),()()() 1,()(),()(0kkkkkkkukHkkkxkkkukHkkkxkkkx再看能达性，即可以找到一个控制u(k)使得系统由零点转移到k1时刻

35、的非零点，如果把这两步中的控制取作同一个，那么 1111100111010)()() 1,()()()() 1,()(),()(kkkkkkkukHkkkxkukHkkkxkkkx)()()(),()(01001110kxkGkxkkkxkkk 所以当且仅当G(k)，kk0,k1-1是非奇异时，任意一个能控的初始状态x(k0)都对应着唯一的能达状态x(k1),而对任意一个能达的状态x(k1)也必定对应着唯一的能控状态x(k0) ，此时系统的能控性和能达性是完全等价的。注：离散时间的线性定常系统的能控性与能达性完全等价的条件就是系统的系数矩阵G应该是非奇异的。对于一个由连续时间系统离散化后得到的

36、离散系统，它的系数矩阵G（k）或G就等于连续时间系统的状态转移矩阵，必定是非奇异的，对于此类系统的能控性和能达性是完全等价的。二二 离散时间系统的能控性判据离散时间系统的能控性判据 1. 1.格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 离散时间系统在k0时刻完全能控的充分必 要条件是存在一个有限时刻k1，使得离散 系统的能控性格拉姆矩阵 是非奇异的。 注:离散系统的格拉姆矩阵的计算可以通过迭代方法获得，较连续系统的计算要简单的多。 ) 1,()()() 1,(,0101010kkkHkHkkkkWTkkkTc2.2.秩判据秩判据 线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是其中矩阵 就称作是线性离散系统的能控性

37、判别矩阵。nHGHGGHHrankn12HGHGGHHn 12根据能控性判别矩阵构造n步之内状态转移到原点所需要的控制对单输入的线性定常离散系统，写出状态运动的迭代表达形式： ) 1()0()0() 1()2() 1 ()0()0()(0) 1 ()0()0() 1 () 1 ()2()0()0() 1 (1212nuuhhGxGnhunGhuhuGhuGxGnxhuGhuxGhuGxxhuGxxnnnnn如果系统是完全能控的，那么能控性判别矩阵是非奇异的，由此可以选取如下控制使得系统从初始状态x(k0)在n步之内转移到原点。)0() 1()2() 1 ()0(121xGhGhhGhGnunu

38、uunnn三能观测性概念及判据能观测性概念及判据 定义：定义：对给定的零输入方程，在初始时刻k0存在非零的初始状态x(k0)(未知)。如果存在这样一个有限时刻k1，通过k0,k1这段有限时间区间内所测得的输出y(k)可以确定系统的初始状态x(k0)，那么就把x(k0)称作是k0时刻的可观测状态，或者说在k0时刻是可观测的。如果状态空间中所有的非零状态在k0时刻都是可观测的，那么就称离散系统在k0时刻是完全能观测的。能观测性的判定1.1.格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据离散时间系统在k0时刻完全能观测的充分必要条件是存在一个有限时刻k1，使得离散系统的能观测性格拉姆矩阵是非奇异的。 1001010)

39、, 1()()()1(,kkkTTokkkCkCkkkkW，2.2.秩判据秩判据 线性定常离散系统完全能观测的充分必要条件是nCGCGCGCrankn12根据能观测性判别矩阵利用n步之内的输出值构造系统的任意非零初始状态。 考虑单输出的线性定常离散系统,并写出输出的迭代表达形式 )0() 1() 1()0()2()2()0() 1 () 1 ()0()0(12xcGncxnyxcGcxycGxcxycxyn)0() 1()2() 1 ()0(12xcGcGcGcnyyyyn) 1()2() 1 ()0()0(112nyyyycGcGcGcxn利用n步之内 的 输 出值 来 构 造任 意 的 非

40、零 初 始 状态x0四四 离散化后保持能控性和能观测性的条件离散化后保持能控性和能观测性的条件 离散化过程：其中)()( )()() 1( : :kCxkykHukGxkxCxyBuAxxTTdtBeHeGTAtAT0 ,结论：结论：假设 （包括重根情况）是矩阵A的全部特征根， ，则离散系统保持能控性和能观测性不变的充分条件是采样周期T对一切实部相等的特征值，即 都应有下式成立： ,1jiallforji ,.,2 , 1, , 0)Re(jiji,.2, 1 ,)Im(2llTji第六节第六节 用用MATLABMATLAB对系统能控性对系统能控性和能观测进行检测和能观测进行检测 1能控性判定

41、：n=length(A); %获得系统维数获得系统维数Qc=B; %构造能控性判别阵构造能控性判别阵Qcfor i=1:n-1 Qc=Qc A(i)*B;endif rank(Qc)=n %如果如果Qc秩等于秩等于n，则完全能控则完全能控 disp(the system is controllable); else disp(the system is uncontrollable);end2能观测性判定n=length(A); %获得系统维数获得系统维数Qo=C; %构造能观测性判别阵构造能观测性判别阵Qofor i=1:n-1 Qo=Qo；C*A(i);endif rank(Qo)=n %

42、如果如果Qo的秩等于的秩等于n，则完全能观则完全能观 disp(the system is observable); else disp(the system is unobservable);end第七节第七节 线性系统的状态空间结构线性系统的状态空间结构如果线性系统是不完全能控的，那么状态空间就可以分解成两个子空间的直和，一个是能控子空间，一个是不能控子空间。能控子空间是由能控判别阵中那些线性无关向量张成的子空间，通过外加控制函数的作用，只能任意转移属于能控子空间的那部分状态，而对不能控子空间的状态是无法控制的。举例：31RCxyuxx11112112 ,不完全能控。特征值为-1和-3，-

43、1位于能控子空间，对应模态 ，特征向量 ，-3位于不能控子空间，对应模态 ，特征向量 。 ， 1111cQ21cRankQte11te311从运动轨迹来看可以看出，无论采用什么样的控制函数，状态能在能控子空间内运动，且只有当初始状态位于能控子空间上时，才能够用控制函数在有限时间内将初始状态x0转移到原点 ttttttttAteeeeeeeee333321dueedbuetxtottttA)()()()()(0)(如果 ，则系统变成能控系统，且状态20bdueduedueeeedbuetxttottotottttttA)(11)(11)()()()(3)()(3)()(3)(0)(此时两个运动模

44、态et和e3t都被激发，整个状态空间都是能控子空间，任意一点都可以在有限时间内被转移到原点。 能观测性与能控性类似，对于不完全能观测系统，其状态空间也被分成两部分，一部分是通过输出可以观测到的状态所组成，称为能观测子空间，另外一部分就是不能观测子空间，由所有的不能观测状态组成。 第八节第八节 单输入单输出系统的能控规单输入单输出系统的能控规范型和能观测规范型范型和能观测规范型 对于完全能控或是完全能观测的线性定常系统，如果单从能控性或是能观测性这两个基本特性出发构造出一个非奇异变换，那么就可以把系统的状态空间描述在这一线性变换下，转化成只有能控系统或能观测系统才具有的标准形式。通常把这种标准形

45、式的状态空间描述称为能控规范型，能观测规范型。 一一 能控性规范型能控性规范型 给定系统 ，且系统是完全能控的，有特征多项式为 cxybuAxx , :nbAAbbrankn10111)()det(asasassAsInnn定义常数及构造变换矩阵cbabcAabcAcbabcAabcAcbacAbcbnnnnnnnnn121102312112111011111nnnaaabAbbAP在变换 下，可以导出系统的能控标准型 其中xPx111011101,100 ,10000010nccnccPcbPbaaaAPPAxcyubxAxccc,举例：举例：给定系统特征多项式为： xyuxx1011103

46、001202116116)()det(213ssssAsI非奇异变换矩阵： 以及构造常数 28182882332101132154038161101600113911103101PP10,n10611220212cbacAbabcAcbacAbcb因此可以得到系统的能控性标准型： 1610100 ,6116100010ccccbA二能观测规范型 对上述给定系统，矩阵A的特征多项式及常数定义不变，利用能观测性与能控性的对偶关系，可以定义非奇异变换矩阵ccAcAaaaQnnn11111011则利用变换关系 ，可以导出系统的能观测规范型： 其中Qxx xcyubxAxooo,100, ,100001

47、00011101101cQcQbbaaaQAQAonono讨论：讨论： 1.能控性规范型和能观测规范型是通过一种简单的，明显的方式把系统的状态空间描述与反应系统结构特性的特征多项式联系起来，这对于讨论系统的综合控制及观测器设计问题给予了很大的方便，如讨论极点配置问题上，利用规范型中系统矩阵与特征多项式之间的关系可以轻易的写出经过配置后的能控规范型，与原始系统加以比较就可以很容易的找到相应的控制输入u，其他一些控制问题，如镇定，跟踪等都可以转化为适当的极点配置问题，另外观测器的设计也是基于能观规范型提出的。2.对于代数等价系统，他们的能控性与能观测性保持不变，也就是说经过非奇异变换之后，两个性质

48、不变，完全能控（观测）仍对应完全能控（观测），不完全能控（观测）仍对应不完全能控（观测），且不完全能控（观测）的程度不变，换句话说就是能控（观测）子空间，不能控（观测）子空间的维数保持不变。另外一点就是对于完全能控（观测）的两个等价系统来讲，虽然自身的状态空间表达不一样，但是他们的能控（观测）规范型完全一样。 3.对于多输入多输出系统的规范型与单输入单输出系统不同，是不唯一的。以能控性规范型为例，因为能控判别矩阵 是 维的，在mn列中有n列是线性无关的，如果n个线性无关列选取的不同，那么就会得到不同的非奇异变换矩阵，得到的能控规范型也是不唯一的，可以有多种形式，书中给出了两种不同的搜索线性无关

49、列的方案，针对这两者不同的线性无关列的选取方法，构造出不同的变换矩阵，得到了不同的规范型，即旺纳姆规范型和龙伯格规范型。 cQmnn MIMO系统的能控规范形和能观测规范形 系统完全能控时，rank Qc=n; 系统完全能观测时，rank Qo=n. 从中必可找出n个线性无关的列或行。 不同的找法，会找出不同的列（行）。由它们构成的变换矩阵将原系统方程变换成不同的规范形。1 搜索线性无关的列（行）的两种方案以从Qc中找寻线性无关的列或行为例。系统完全能控，rank Qc=n。Qc中有且最多仅有n个线性无关的列。如何找出它们？用格栅图表示。方案 I 列搜索1111121111111211111,

50、bA b A bAbA bb A b A bAb从 开始,然后直到能表示成的线性组合 至此已找到 个线性无关列2212112122222111111122212,nbA bA bAbA bb A bAb bA bAb若选直到能表示成的线性组合,至此,已找到个线性无关列31211212333312111111111222,.,rrrrrnnnb A b A bAbb A bAb bA bAbbA bAb若继续选直至至此已找到 个线性无关的列 即该搜索方法的特点是， 是其左边的向量的线性组合。iiA b方案II 行搜索注：这种方法和确定能控性指数集时的搜索方法相同。这样找到的 不能表示成其左边的各

51、列的线性组合。它与找到的所有列都线性相关。 性质：如果说 与它的前面的列线性相关，则 亦必是这样。121212111111222,rpprrrnb bbAb AbAbb AbAb bAbAbbAbAb先找中的线性无关列 再找中的线性无关列,直到找够 个线性无关列 找够后,再排列成如下形式:iibAjkbAjkbA12 旺纳姆(Wohnam)规范形（以能控规范形为例，能观形与之对偶）按方案I搜索Qc中的n个线性无关列，得根据上述这种搜索方法的特点，有根据以上特点构造状态空间中的新的“基” T3 龙伯格规范形第九节第九节 结构分解结构分解 从系统动态方程角度来讨论不完全能控或不完全能观测系统的结构

52、特性，即把状态方程按照能控性或能观测性或同时按照二者进行结构分解。把系统的结构以明显的方式区分成能控的，不能控的，或是能观测，不能观测，或者分解成能控且能观测部分，能控但不能观测部分，不能控但能观测部分以及不能控又不能观测四部分。研究系统的结构分解，一方面是为了了解系统的结构特性，另一方面可以看出状态空间描述与输入输出描述之间的本质差别。 （新加坡）陈本美，（美）林宗利，（美）Shamash，线性系统理论：结构分解法对线性系统加以结构分解是基于结论：两个代数等价系统或是说对系统进行线性非奇异变换，并不会改变系统的能控性与能观测性，也不改变系统的不完全能控及不完全能观测程度。 定理1：两个代数等

53、价的线性定常系统，具有相同的能控性（或能观测性）：定理2：对于线性时变系统做可微非奇异变换 ，其中R(t)的元是对t的绝对连续函数，且对一切 均不降秩，则系统的格拉姆矩阵在变换后的秩保持不变DDCPCPBBPAPA,11;ccoorankQrankQrankQrankQ( )( ) ,( ) , xA t xB t uyC t xtJ1( )xRt x0 ,ftt t0000 , ,; , ,cfcfofofrankW t trankW t trankW t trankW t t一 按能控性分解 不完全能控系统 ， 在n个状态中只有k个是能控的，其余n-k个状态是不能控的，按能控性进行结构分解

54、就是找到这k个能控的状态，并写出能控子系统与不能控子系统分别对应的状态方程，采用的方法就是线性非奇异变换。 ),(CBAnkrankQc非奇异变换矩阵的构造从 中任意选取k个线性无关列，记作 ，此外在从n维实数空间中任意选取n-k个线性无关列向量 ，并保证这n-k个列向量与原来的k个列向量都是线性无关的，这样就组成了非奇异变换矩阵： BAABBQnc1 kpp1nkpp1nkkppppP11通过这样的非奇异变换 ，就可以把原系统按能控性进行结构分解： xPx1cccccccccxxCCxCPyuBxxAAABuPxAPPx001211注意：非奇异变换矩阵P任意的，所以结构分解后得到的系统总体形

55、式上虽然都一样，但矩阵中具体的元素值是不同的，唯一确定不变的是 (能控部分系统矩阵)是k维的，（不能控部分系统矩阵）是n-k维的。 cAcA在这样的分解规范表达式中，系统被明显的分解成能控部分和不能控部分，其中能控部分的k维方程为：ccccccccxCyuBxAxAx12不能控部分的n-k维子系统如下：ccccccxCyxAx举例:重新排序： xyuxx432175340031301340142431243124312431007534314000030001301004xxxxyuxxxxxxxx方块图：cccccccccxxCCxCPyuBxxAAABuPxAPPx001211讨论：讨论：

56、 不能控部分是系统黑箱内部完全不受外加作用控制的部分。 经线性非奇异变换后，系统特征值不变，即)det(*)det(0det)det()det(12ccccAsIAsIAsIAAsIAsIAsI系统特征值被分成两部分，能控振型，不能控振型。经非奇异变换后，系统的传递函数保持不变，即：可见系统的传递函数只能反应出系统能控部分的特征值，而不会出现不能控部分模态，再一次证明了输入输出描述是一种不完全的描述，它只能体现系统能控部分的特性。cccccccccccccBAsICBAsIAsICCBAsIAAsICCBAsICsG1111121)(0)(0)(00)()(二二 按能观测性分解按能观测性分解

57、),(CBAnkrankQo 不完全能观测系统 ， 在n个状态中只有k个是能观测的，其余n-k个状态是不能观测的，按能观测性进行结构分解就是找到这k个能观测的状态，并写出能观测子系统与不能观测子系统分别对应的状态方程，采用的方法就是线性非奇异变换。 非奇异变换矩阵的构造从 中任意选取k个线性无关行，记作 ，此外再从n维实数空间中任意选取n-k个线性无关行向量 并保证这n-k个行向量与原来的k个行向量都是线性无关的，这样就组成了非奇异变换矩阵： nkqq,11noCACACQTTkTqq1TTnTkTkTqqqqQ11通过非奇异变换 ，就可以把原系统按能观测性进行结构分解： Qxx 注意：非奇异

58、变换矩阵Q是任意的，所以结构分解后得到的系统总体形式上虽然都一样，但矩阵中具体的元素值是不同的，唯一确定不变的是 (能观测子系统矩阵)是k维的， （不能观测子系统矩阵）是n-k维的。 oooooooooxxCxCQyuBBxxAAAQBuxQAQx001211oAoA在这样的分解规范表达式中，系统被明显的分解成能观测部分和不能观测部分，其中能观测部分的k维方程为：不能控部分的n-k维子系统如下：oooooooxCyuBxAxuBxAxAxooooo21方块图：oooooooooxxCxCQyuBBxxAAAQBuxQAQx001211讨论：讨论： 系统的输出完全体现了可测状态，而不能观测部分没有输出与之对应。经线性非奇异变换后，系统特征值不变，即系统特征值被分成两部分，能观测振型，不能观测振型。)det(*)det(0det)det()det(21ooooAsIAsIAsIAAsIAsIAsI经非奇异变换后，系统的传递函数保持不变