空间向量与立体几何第一节

1、第3章 空间向量与立体几何 3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量的加减运算及数乘运算【基础知识在线】知识点一 空间向量考点：空间向量的几何表示和字母表示.知识点二 特殊向量考点：零向量的写法和方向. 对于一确定向量的单位向量的表示. 判断向量的相等和相反.知识点三 空间向量的加减运算考点：利用平行四边形法则和三角形法则进行向量的加减运算.知识点四 空间向量的数乘运算考点：判断数乘向量的方向和大小.知识点五 共线向量与共面向量考点：向量共线的充要条件. 向量共面的充要条件. 直线的方向向量.证明三点共线. 证明四点共面.【解密重点·难点·疑点】 问题一：空间向量的概念

2、 在空间，具有大小和方向的量称为空间向量，向量可用一条有向线段来表示；有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向；向量的大小称为向量的模（或长度），记作.空间向量与平面向量没有本质区别，具有数与形的双重性.例如：与是不同向量，但.一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示. 问题二：对几类特殊向量的理解 模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量 与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作 方向相同且模相等的向量称为相等向量 注意：零向量和单位向量均是从模的角度定义的. 零向量不是没有方向，而是方向任意；非零向量的单位向

3、量是或. 问题三：空间向量的加减运算图3-1-1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则（如图3-1-1）即：在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形，则以起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则图3-1-2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则（如图3-1-2）即：在空间任取一点，作，则首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即： 首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：两种法则是相通，我们只需把表示向量的有向线段依次首尾相连，则从第一个向量的首指向最后一个向量的尾的向量就

4、是这些向量的和向量.问题四：空间向量的数乘运算 实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为的长度是的长度的倍 设，为实数，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律，分配律为：；结合律为： 空间向量的数乘运算实质是向量的加减运算. 空间向量的数乘运算的运算结果仍是向量，方向取决于的正负，模为原向量模的倍. 问题五： 共线向量与共线向量定理 如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使证明三点共线

5、时，只需证明存在实数，使或即可.对于空间任意点，若有成立，则三点共线. 问题六：共面向量与共面向量定理 平行于同一个平面的向量称为共面向量 向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任一定点，有.若四点共面，则【点拨思维·方法技巧】一空间向量概念的理解例1 给出以下命题(1) 两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；(2) 若空间向量满足，则；(3) 在正方体中，必有；(4) 若空间向量满足，则；(5) 空间中任意两个单位向量必相等.其中正确的命题序号为 （把你认为正确的命题序号都填上）.【思维分析】空间向量的概念是解题的关键.【解析】对于（1）

6、中，向量的起点相同，终点也相同时，向量相等，但向量相等时起点和终点不一定相同，故不正确；对于（2）中，由向量的定义，向量的相等需要大小，还需方向，故不正确；对于（5）中，根据单位向量的定义，只是模相等，故不正确.答案：(3)(4).【评析】（1）注意结合平面向量的知识来理解空间中的特殊向量;(2)向量的关键所在,即大小和方向.变式训练下列命题正确的是（ ） A.若与共线，与共线，则与共线； B.向量共面就是它们所在的直线共面； C.零向量没有确定的方向； D.若，则存在唯一的实数使得； 答案C.【解析】A中向量为零向量时要注意，B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D中需保证不为零向量

7、. 图3-1-32 空间向量的加减运算 例2如图3-1-3所示：在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的向量是（ ）.A. B. C. D.【思维分析】相等向量与相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律的应用是解题的关键.【解析】显然.答案A.【评析】类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途.用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.变式训练2.在四面体中，为的中点，为的重心，设试用表示向量，、，和.【解析】 如图3-1-4所示：图3-1-4=+=, =+=, =+=,故=(+)=

8、 ,=+=+=+=.三空间向量的数乘运算例3.如图3-1-5所示，设是所在平面外一点，是的重心，图3-1-5求证：【思维分析】根据重心补出中线，利用重心分中线的比例解题.【解析】证明：连结，延长后交于，由为的重心，知 ；为的中点，.【评析】在向量的证明题目中，关键是利用一切已知的条件去寻找比例关系.这里根据重心和中点得到的比例关系，结合向量的加减运算的法则和数乘向量的性质即可解题.变式训练3.在四面体中， ， ，为的中点，为的中点，则= _（用表示）.【解析】如图3-1-6所示：图3-1-6由三角形法则，得= ，= =，所以 =，=+ =，故 = = ，所以=+= 答案：4. 共线问题例4.如

9、图3-1-7所示，已知四边形是空间四边形，分别是边的中点，分别是边上的点，且=,=.求证：四边形是梯形. 图3-1-7【思维分析】根据梯形的定义，需要寻找四边形的一组对边平行且不相等，即向量的共线且模不相等.【解析】证明：分别是的中点，所以 =,=,=-= =()=（-）=（-）=（）=,四边形是梯形. 【评析】空间向量在运算时，注意运算法则的应用.变式训练4.已知：且不共面.若,求的值.【解析】,且即又不共面,图3-1-85. 共面问题例5.如图3-1-8所示，已知，从平面外一点引向量，求证：四点共面.【思维分析】利用平行四边形法则，结合数乘向量的运算，向共面向量的充要条件推进.【解析】证明

10、：四边形是平行四边形，共面.【评析】在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算 变式训练5.正方体中，分别为和的中点.试证：向量，是共面向量.图3-1-9【证明】（方法一）如图3-1-9所示，=+ += +=（ ）.由向量共面的充要条件知，是共面向量.图3-1-10（方法二）连结，取中点，连结(如图3-1-10所示)，则有， ，.四边形为平行四边形，平面.同理，平面.，都与平面平行，共面.【课后习题答案】3.1.1练习（第86页）1. 答案：举出一例即可，如：三棱锥中，即表示三个不同在一个平面内的向量. 提示：利用

11、空间几何体作为模型举例.2. 答案：选定点，作，则. 提示：据向量加法法则作图.3. 答案：我修改了，不知道是否改错了，请再检查一下解析：；3.1.2 练习下面的解析请补（第89页）1. 答案：（1）（2）（3） 解析：2. 答案：（1）（2）(3) 解析：3. 作法： 提示：据向量加法、减法的平行四边形法则与三角形法则作图.【自主探究提升】夯实基础1判断下列各命题的真假：向量的长度与向量的长度相等；向量与平行，则与的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上；有向线段就是向量，向量就是有向线段其

12、中假命题的个数为( )A2 B3 C4 D5答案：C.解析： 真命题；假命题，若与中有一个为零向量时，其方向是不确定的；真命题；假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段图3-1-112如图3-1-11所示，在平行六面体中，为与的交点，若=，=，=.则下列向量中与相等的向量是（ ）ABCD答案：A.解析：=+（）=+3在下列条件中，使与一定共面的是（ ）A B C D答案：A.解析：空间的四点P、A、B、C共面只需满足且既可只有选项A4已知空间四边形中，点在上，且,，为中点，则=（ ）A

13、BC D 答案：B.解析：显然5空间四边形OABC中，OB=OC，ÐAOB=ÐAOC=600，则cos=（）ABC-D0答案：D.解析补：6.如图3-1-12所示，已知平行六面体，为与的交点，化简下列向量表达式：（1） +；（2）+ ；（3）+；（4）+.图3-1-12【解析】（1）这里我修改了 =. （2）. （3）. （4）补过程.拓展延伸7空间的任意三个向量它们一定是()A共线向量 B共面向量C不共面向量 D既不共线也不共面向量答案：B.解析：如果是不共线的两个向量，由共面向量定理知，共面；若共线，则共线，当然也共面，故选B.8若是平面内的两个向量，则()A内任意一向

14、量B若存在使，则C若不共线，则空间任一向量D若不共线，则内任一向量答案：D解析：当是共线向量时，A不正确，当是相反向量，时，故B不正确，若不共线，则平面内的向量都可用表示，对空间向量不行，故C不正确，D正确，选D.9有4个命题：若，则与共面；若与共面，则；若 = + ，则共面；若共面，则 = + .其中真命题的个数是()A1B2C3D4答案：B解析：命题正确，命题不正确.因命题中若/，则不能用表示，命题中，若三点共线，则也不能用、表示.10如图3-1-13所示，已知平面，°，则等于()图3-1-13A.6 B6 C12 D144答案：C.解析：因为=+，所以=+· =所以.11. 已知四点共面且对于空间任一点O都有 =+ +，则=_.答案：.解析：因为四点共面，所以=+，且，所以 ，得.12命题若共线，共线，则共线；向量共面，则它们所在直线也共面；若共线，则存在惟一的实数，使；若三点不共线，是平面外一点，则点一定在平面