高三数学综合题的解题策略

1、精选优质文档-倾情为你奉上高三数学综合题的解题策略【解题指津】所谓综合题，是泛指题目本身或在解题过程中，涉及多个知识点和多种数学思想方法、具有较高能力要求的数学题. 在高三复习过程中，夯实解题基本功是十分重要的。这就要求我们在平时的解题训练中，要教会学生认真领悟数学思想，熟练掌握数学方法，正确应用它们分析问题和解决问题，合理运用概念、公式、法则、定理、定律等，提高思维、运算的准确性，灵活运用数学思想方法进行等价转化，化繁为简，提醒学生多进行解题后的反思与探究, 提高解题能力。现在，高考数学试题立足于当前中学数学的实际情况、教学条件和学生素质等特点，寓创新意识于其中，着重在试题由知识型向能力型的

2、转化上进行积极的探索和创新。这些富有时代气息的试题，突出在对“三基”的考查中，增大思考量，减少计算量，较好地考查考生的思维品质、创新能力和学习潜能，使高考与素质教育形成良性互动。下面，我们从一下几个方面对综合题的解题策略作一些探讨.一、从条件入手分析条件，化繁为简，注重隐含条件的挖掘.二、从结论入手-执果索因,搭好联系条件的桥梁.三、回到定义和图形中来.四、以简单的、特殊的情况为突破口.五、构造辅助问题(函数、方程、图形),换一个角度去思考.六、通过横向沟通和转化,将各数学分支中不同的知识点串联起来.七、培养整体意识，把握整体结构。八、连续性问题承上启下,层层递进,充分利用已得出的结论. 希望

3、大家在解题过程中注意体会。【综合题精选】1. 已知函数的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（）和（）.（I）求的解析式；（II）用列表作图的方法画出函数y=f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象. 解：（）由已知，易得A=2，解得把（0，1）代入解析式，得又，解得为所求6分()002002. 已知函数.（I）指出在定义域R上的奇偶性与单调性（只须写出结论，无须证明）；（II）若a.b.cR，且，试证明：.解：（）是定义域上的奇函数且为增函数 （）由 得由增函数，得 由奇函数，得 同理可得 将上三式相加后，得3.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量

4、y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=(0<x120).已知甲、乙两地相距100千米。（）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解: (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时,要耗油(.答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.(2)当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了设耗油量为h(x)升，衣题意得h(x)=()·,h(x)=(0x120令h(x)=0，得x=80.当x(0,80)时，h(x)0,h(x)是减函数

5、;当x(80,120)时，h(x)0,h(x)是增函数.当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.4.已知， 求及 解： 从而有 5.已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大.现有以下两种设计，如图：图的过水断面为等腰ABC，AB=BC，过水湿周图的过水断面为等腰梯形，过水湿周.若与梯形ABCD的面积都为S，（I）分别求的最小值；（II）为使流量最大，给出最佳设计方案.解（）在图中，设，则由于.皆为正值，可解得当且

6、仅当，即时取等号所以 在图中，设，可求得，解得当且仅当，即时取等号 （）由于，则的最小值小于的最小值所以在方案中当取得最小值时的设计为最佳方案 6.已知，求及解： 设 则是公差为1的等差数列 又： 当时 7.设求证： 证： 8. ABoCDD'D'A'B'C'如图，平行六面体ABCDA'B'C'D'中，AC2，BCAA'A'C2，ABC90°，点O是点A'在底面ABCD上的射影，且点O恰好落在AC上.（1）求侧棱AA'与底面ABCD所成角的大小；（2）求侧面A'ADD

7、9;底面ABCD所成二面角的正切值；（3）求四棱锥CA'ADD'的体积.解：（I）连，则平面于就是侧棱与底面所成的角 在中， 是等腰直角三角形，即侧棱与底面所成角为45°， （II）在等腰中，且O为AC中点，过O作于E，连。平面ABCD于O，由三垂线定理，知，是侧面与底面ABCD所成二面角的平面角。ABC=，底面ABCD是正方形。 在中，。即所求二面角的正切值为。（）由（）知，。，。，平面，它们的交线是。过O作，则。又的中点，点C到平面的距离。另解：9.已知等差数列的前项和为，前项和为，求前项和 解：由题设 而 从而： 10.已知：如图，长方体ABCD中，AB=BC=

8、4，E为的中点，为下底面正方形的中心.求：（I）二面角CAB的正切值；（II）异面直线AB与所成角的正切值；（III）三棱锥ABE的体积.解：（）取上底面的中心，作于，连和由长方体的性质，得平面，由三垂线定理，得，则为二面角的平面角在中，（）取的中点G，连和易证明，则为所求在中，（）连，由易证明平面 11.已知等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且，（），若，求a的取值.解：由得，由已知，得， 由对数定义得 当，时，得，当，时，得这与已知相矛盾当，时，得综上：当时， 当，时，的取值集合为空集当，时，12. 已知 求的关系式及通项公式 解： -： 即： 将上式两边同乘以得： 即： 显然：是以

9、1为首项，1为公差的AP 13.已知：如图，射线OA为y=2x(x>0)，射线OB为y= 2x(x>0)，动点P（x, y）在的内部，于N，四边形ONPM的面积为2.（I）动点P的纵坐标y是其横坐标x的函数，求这个函数y=f(x)的解析式；（II）确定y=f(x)的定义域.解：（）设， 则，由动点在的内部，得， 又，分别解得，代入式消去.，并化简得， （）由在内部，得又垂足必须在射线上，否则.四点不能构成四边形，所以还必须满足条件所以的定义域为 14.解关于x的不等式：loga(x2x2)loga(x)1(a0，a1)解：原不等式等价于1°当时，式可化为从而即2°

10、;当时，式可化为从而 即 综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，不等式的解集为15.在三角形ABC中，三内角满足AC2B，求cos的值解：A+C=2B，A+C=120°，B=60°又，即令，则上式为，16. 已知三点P（5，2）、（6，0）、（6，0）. （）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（）设点P、关于直线yx的对称点分别为、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为(a>b>0),其半焦距c=6,b2=a2-c2=9.所以所求椭圆的标准方程为（2）点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的

11、对称点分别为点P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6).设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为17.O1请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）于是底面正六边形的面积为（单位：m2）帐篷的体积为（单位：m3）求导数，得令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.当1<x<2时，,V(x)为增函数；当2<

12、x<4时，,V(x)为减函数。所以当x=2时,V(x)最大。答当OO1为2m时，帐篷的体积最大。18.在工厂生产中，若机器更新过早，则生产潜力未能充分发挥而造成浪费；若更新过迟，老机器生产效率低，维修与损耗费用大，也会造成浪费.因此，需要确定机器使用的最佳年限（即机器使用多少年平均费用最小） 某工厂用7万元购买了一台新机器，运输安装费2千元，每年投保.动力消耗固定的费用为2千元；每年的保养.维修.更换易损件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，即每年增加1千元，问这台机器的最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用的最小值.解：设使用年为最佳年限，则每年的平均费用（

13、万元）。当且仅当，即，即时取等号。答：这台机器最佳使用年限为12年，且年平均费用的最小值为1.55万元。19.已知数列an满足a12，对于任意的nN，都有an0，且(n1)aanan1na0，又知数列bn:b12n11(1)求数列an的通项an以及它的前n项和Sn；(2)求数列bn的前n项和Tn；(3)猜想Sn和Tn的大小关系，并说明理由.解：（）。，。即。，又，。 。（），。（）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，。猜想：当时，。即。亦即。下面用数学归纳法证明：当时，前面已验证成立；假设时，成立，那么当时，。当时，也成立。由以上.可知，当时，有；当时，；当时，。20.将两副三角板放

14、成如图所示的形状，使二面角DACB成直二面角。已知：BC=CD，ACD=ABC=900.求：二面角CABD的大小。证：如图平面ACD平面ABC，CDAC，CD平面ABC.斜线BD在平面ABD上的射影为BC，ABBC，ABBD.即DBC为二面角CABD的平面角。BC=CD，CDBC，DBC=450翰林汇21.正方形ABCD和正方形ABEF折成一个二面角,M.N分别是对角线AC和BF上的点,且AM=FN(如图),求证：MN/平面BEC.PQ证明：如图，分别过M.N作MPDC交BC于P，NQ EF交EB于Q，连接PQ EFABCD，MPNQ 又AMFN，在正方形ABEF和正方形ABCD中，MP=NQ

15、 四边形 MPQN为平行四边形MNPQ，MN平面EBC ABCD22.矩形ABCD(ABBC)中,AC=2,沿对角线AC把它折成直二面角BACD后,BD=,求AB.BC的长.ADCB翰林汇翰林汇解：如图，分别过B.D作BEAC于E，DFAC于F，设BAC，则ABACcos2cos，BEDEABsinsin2,AEABcos2cos2EFAC2AE22cos2折叠后，在平面ACD内过E作EGFD,且EG=FD,连接DG.BG.BD，则BEG为二面角BACD的平面角，BEG90°于是BGBEsin22sin2BG2DG2BD2，即：（2sin2）2（2cos2）254（cos2）21,c

16、os2±，ABBC，cos2cos，故AB，BCABCDEFGH23.在三棱锥ABCD中,E.F分别是线段AD.BC上的点,满足,AB=CD=3,且AB与CD所成的角为60o,求EF的长.解：如图，过E 分别作EGAB交BD于G，EHDC交AC于H，连接GH.FH，由条件，易知EGFH为平行四边形。GEH为异面直线AB与CD所成的角或其补角。GEH60°或120°又EGAB2，EHAB1,由余弦定理得：EF或翰林汇24.如图,ABC和DBC所在平面互相垂直 ,AB=BC=BD,CBA=DBC=120o,求(1) AD与平面BCD的成角;(2) AD与BC的成角;(

17、3) 二面角A-BD-C的正切值.解：（1）如图，过A作AECB与CB的延长线交与E，连接DE，平面ABC平面DBCAE平面DBC，FCDABEGHMADE即为AD与平面CBD所成的角。ABBD，CBA=DBC，EBEBABEDBE，DBEABEDECB且DEAEADB45°AD与平面CBD所成的角为45°（2）由（1）知CB平面ADEADBC即AD与BC所成的角为90°. （3）过E作EMBD于M由（2）及三垂线定理知，AMBD，AME为二面角ABDC的平面角的补角. AEBE2ME，tgAME2，故二面角A-BD-C的正切值为2.25.如图：已知平面四边形AB

18、CD,AC.BD相交于O,AB=AD,CB=CD,ABC=120°,且PA平面ABCD.(1)若AB=PA=,求P到直线BC的距离;(2)求证平面PBD平面PAC.证明(1)延长CB,过A在平面内作AECB,垂足为E.ABC=120°,ABE=60°,在RtABE中：AE=AB·sin60°=·=PA平面,AEEB,AE是PE在平面内的射影,PEEB,PE为点P到BC的距离.在RtPAE中：PE=. (2)在四边形ABCD中,取BD中点O,连AO.CO,AB=AD,CD=CB,BO=OD,AOBD,COBD, A.O.C共线,ACBD

19、. 又PA,PABD,BD平面PAC,BD平面PBD, 平面PBD平面PAC. 26在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EBCF:FACP:PB1:2（如图1）。将AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（）求证：A1E平面BEP；（）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（）求二面角BA1PF的大小（用反三角函数表示）图1图2解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3（1） 在图1中，取BE中点D，连结DF. AE：EB=CF：FA=1：2AF=AD=2而A=600 , ADF是正三角形，又AE=DE=1, EFA

20、D在图2中，A1EEF, BEEF, A1EB为二面角A1EFB的平面角。由题设条件知此二面角为直二面角，A1EBE,又A1E平面BEF,即 A1E平面BEP（2） 在图2中，A1E不垂直A1B, A1E是平面A1BP的斜线，又A1E平面BEP，A1EBE.从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于点Q,则E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角,且BPA1Q.在EBP中, BE=EP=2而EBP=600 , EBP是等边三角形.又 A1E平面BEP , A1B=A1P, Q为BP的中点,且,又 A1E=1,在RtA

21、1EQ中，,EA1Q=60o, 直线A1E与平面A1BP所成的角为600在图3中，过F作FM A1P与M，连结QM,QF,CP=CF=1, C=600,FCP是正三角形，PF=1.有PF=PQ,A1E平面BEP, A1E=A1Q, A1FPA1QP从而A1PF=A1PQ, 由及MP为公共边知FMPQMP, QMP=FMP=90o,且MF=MQ,从而FMQ为二面角BA1PF的平面角. 在RtA1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,又. MQA1P在FCQ中,FC=1,QC=2, C=600,由余弦定理得在FMQ中，二面角BA1PF的大小为27设a为实数，设函数的最大值为g(a)。（）设t，求t

22、的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)（）求g(a)（）试求满足的所有实数a解:要使有t意义，必须1+x0且1-x0，即-1x1,t0 t的取值范围是由得m(t)=a()+t=（2）由题意知g(a)即为函数的最大值。注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论。当a>0时，函数y=m(t), 的图象是开口向上的抛物线的一段，由<0知m(t)在上单调递增，g(a)=m(2)=a+2(2)当a=0时，m(t)=t, ,g(a)=2.(3)当a<0时,函数y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段，若，即则若，即则若，即则综上有 (3)解法一：情形1：当时，此时，由，

23、与a<-2矛盾。情形2：当时，此时，解得， 与矛盾。情形3：当时，此时所以情形4：当时，此时，矛盾。情形5：当时，此时g(a)=a+2, 由解得矛盾。情形6：当a>0时，此时g(a)=a+2, 由，由a>0得a=1.综上知，满足的所有实数a为或a=128.进货原价为80元的商品400个，按90元一个售出时，可全部卖出。已知这种商品每个涨价一元，其销售数就减少20个，问售价应为多少时所获得利润最大？解：设售价为元时利润为，此时售量为当时，（元）。答：售价为95元时获利最大，其最大值为4500元。35.20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜.棉花.水稻。这些作物每亩地所需劳力和预

24、计产值如下表。应怎样计划才能使每亩地都能种上作物（水稻必种），所有劳力都有工作且作物预计总产值达最高？作物劳力/亩产值/亩蔬菜1/20.6万元棉花1/30.5万元水稻1/40.3万元解：设种亩水稻（0<x50），亩棉花（0<x50）时，总产值为且每个劳力都有工作。且.满足即欲使为最大，则应为最小，故当（亩）时，万元，此时（亩）。故安排1人种4亩水稻，8人种24亩棉花，11人种22亩蔬菜时农作物总产值最高且每个劳力都有工作。36.某企业在今年年初向银行贷款万元，年利率为；从今年年末开始，每年末向银行偿还一定的金额，预计五年内还清，问每年末平均偿还的金额应是多少？解：设平均每年末应向银

25、行偿还万元，则每年尚欠银行款依次为：第五年欠款应等于零，即： 故平均每年末向银行偿还金额万元。29.某市1994年底人口为20万，人均住房面积为8，计划1998年底人均住房面积达10。如果该市每年人口平均增长率控制在1%，要实现上述计划，这个城市每年平均至少要新增住房面积多少万（结果以万为单位，保留两位小数）。解：设平均每年至少要新增住房面积万。四年共新增住房面积4万。此时住房总面积应为万。另一方面，到1998年底总人口为20（1+1%）4万。按人均10计，1998年底应有住房面积为20×10×（1+1%）4万。据题意有：因故即故该城市每年至少要新增住房面积12.03万，才

26、可达人均住房面积10的目标。38.铁道机车运行1小时所需的成本由两部分组成，固定部分为元，变动部分与运行速度V（千米/小时）的平方成正比。比例系数为k（k0）。如果机车匀速从甲站开往乙站，为使成本最省应以怎样的速度运行？解：设以速度V匀速运行成本最省，甲.乙两站相距S千米，则机车匀速从甲站到乙站所需时间为总成本为元。仅当时，有最小值，故机车以速度千米/小时匀速运行时，成本最省。30.某渔场养鱼，鱼的重量增长率第一年为400%，以后每年重量增长率都是前一年的三分之一。同时鱼每年要损失预计重量的10%。预计养鱼的费用第一年是鱼苗成本的20%，以后每年的费用M（t）与年数t满足关系式（其中为鱼苗成本

27、，）。问该渔场的鱼养几年后全部捕捞，鱼的产值高且费用较少（设鱼苗价30元/斤，成鱼市场价7元/斤）。解：设第年鱼的产值为最高。p为鱼苗总重量，则，当即第4年鱼的产值最高；另一方面，当或4时，下面比较第4年比第3年增加的产值G与该年投入的费用的大小。若G0则取；若则取取，即该渔场三年后捕捞，鱼的总产值高且费用较少。31.按复利计算利息的一种储蓄，本金为元，每期利率为，设本利和为，存期为，写出本利和随存期变化的函数式，如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？ 解：已知本金为元 1期后的本利和为；2期后的本利和为；3期后的本利和为；期后的本利和为将（元），=2.25%

28、, 代入上式得由计算器算得（元） 答：复利函数式为，5期后的本利和为1117.68元评述：此题解答的过程体现了解题的思路，再现了探究问题的过程，容易被学生接受。31.某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么年后若人均一年占有千克粮食，求出函数关于的解析式。分析：此题解决的关键在于恰当引入变量，抓准数量关系，并转化成数学表达式，具体解答可以依照例子。解：设该乡镇现在人口量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M。经过1年后该乡镇粮食总产量为360M（1+4%）， 人口量为M（1+1.2%）则人均占有粮食为；经过2年后：人均占有

29、粮食为经过年后：人均占有粮食即所求函数式为：评述：这是一个有关平均增长率的问题，如果原来的产值的基础数为N，平均增长率为P，则对于时间的总产值可以用下面的公式，即解决平均增长率的问题，常用这个函数式。32.购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款方法.每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过1个月再付一次，如此下去，到第12次付款后全部付清.如果月利率为0.8%，每月利息按复利算（上月利息要计入下月本金），那么每期应付款多少（精确到1元）？解：设每期付款x元，根据题意，得到所以.由等比数列前n项和的公式得，由计算器算得x439（元）.答：每期应付款约439元.解法二：设每期付款x元，第n期

30、后欠款数记作an那么，第1期后的欠款数为第2期后的欠款数为第3期后的欠款数为.第12期后的欠款数为 因为第12期全部付清，所以a12=0即，解得 x439（元）.答：每期应付款约439元.33设数列、满足：，（n=1,2,3,），证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,）证明：必要性，设an是公差为d1的等差数列，则bn+1bn=(an+1an+3) (anan+2)= (an+1an) (an+3an+2)= d1 d1=0所以bnbn+1 ( n=1,2,3,)成立。又cn+1cn=(an+1an)+2 (an+2an+1)+3 (an+3an+2)= d1+2 d1

31、+3d1 =6d1(常数) ( n=1,2,3,)所以数列cn为等差数列。充分性： 设数列cn是公差为d2的等差数列，且bnbn+1 ( n=1,2,3,)cn=an+2an+1+3an+2 cn+2=an+2+2an+3+3an+4 -得cncn+2=（anan+2）+2 (an+1an+3)+3 (an+2an+4)=bn+2bn+1+3bn+2cncn+2=( cncn+1)+( cn+1cn+2)= 2 d2 bn+2bn+1+3bn+2=2 d2 从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=2 d2 -得（bn+1bn）+2 (bn+2bn+1)+3 (bn+3bn+2)=0 bn+1b

32、n0, bn+2bn+10 , bn+3bn+20,由得bn+1bn=0 ( n=1,2,3,)，由此不妨设bn=d3 ( n=1,2,3,)则anan+2= d3(常数).由此cn=an+2an+1+3an+2= cn=4an+2an+13d3从而cn+1=4an+1+2an+25d3 ，两式相减得cn+1cn=2( an+1an) 2d3因此(常数) ( n=1,2,3,)所以数列an公差等差数列。34已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为(I) 证明线段是圆的直径;(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求p的值。【解析】(I)证明1: 整理得: 设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则即整理得:故线段是圆的直径证明2: 整理得: .(1)设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则