任意角、弧度制及任意角的三角函数

1、任意角、弧度制及任意角的三角函数1角的概念(1)任意角：定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角(2)所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是S|k·360°，kZ(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限2弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180

2、° rad,1° rad，1 rad°.(3)扇形的弧长公式：l|·r，扇形的面积公式：Slr|·r2.3任意角的三角函数任意角的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin y，cos x，tan (x0)三个三角函数的初步性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin Rcos Rtan |k，kZ4.三角函数线如下图，设角的终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线

3、1角870°的终边所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C解析由870°1 080°210°，知870°角和210°角终边相同，在第三象限2已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A2 Bsin 2C. D2 sin 1答案C解析设圆的半径为r，则sin 1，r，2弧度的圆心角所对弧长为2r.3已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_.答案8解析因为sin ，所以y<0，且y264，所以y8.4函数y的定义域为_答案(kZ)解析

4、2cos x10，cos x.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)x(kZ)题型一角及其表示例1(1)终边在直线yx上的角的集合是_(2)如果是第三象限角，那么角2的终边落在_答案(1)|k，kZ(2)第一、二象限或y轴的非负半轴上解析(1)在(0，)内终边在直线yx上的角是，终边在直线yx上的角的集合为|k，kZ(2)2k<<2k，kZ，4k2<2<4k3，kZ.角2的终边落在第一、二象限或y轴的非负半轴上思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角

5、(2)利用终边相同的角的集合S|2k，kZ判断一个角所在的象限时，只需把这个角写成0,2)范围内的一个角与2的整数倍的和，然后判断角的象限题型二三角函数的概念例2(1)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2等于()A BC. D.(2)若sin tan <0，且<0，则角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角思维点拨(1)由于三角函数值与选择终边上的哪个点没有关系，因此知道了终边所在的直线，可在这个直线上任取一点，然后按照三角函数的定义来计算，最后用倍角公式求值(2)可以根据各象限内三角函数值的符号判断答案(1)B(2)

6、C解析(1)取终边上一点(a,2a)，a0，根据任意角的三角函数定义，可得cos ±，故cos 22cos21.(2)由sin tan <0可知sin ，tan 异号，从而角为第二或第三象限角由<0可知cos ，tan 异号，从而角为第三或第四象限角，故角为第三象限角思维升华(1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.(2)根据三角函数定义中x、y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”题型三弧度制的应用例3已知一扇形的圆心角为 (>0

7、)，所在圆的半径为R.(1)若60°，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C>0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？思维点拨(1)弓形面积可用扇形面积与三角形面积相减得到；(2)建立关于的函数解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则60°，R10，l×10 (cm)，S弓S扇S××10×102×sin 50 (cm2)(2)扇形周长C2Rl2RR，R，S扇·R2·2··.当且仅当24，即2时，扇形面积有最大值.思维升华涉及弧长和扇形面

8、积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示弧长和扇形面积公式：l|R，S|R2.典例：(1)函数y 的定义域为_(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于C(2,1)时，的坐标为_思维点拨(1)求函数定义域可转化为解不等式sin x，利用三角函数线可直观清晰地得出角x的范围(2)点P转动的弧长是本题的关键，可在图中作三角形，寻找P点坐标和三角形边长的关系解析(1)sin x，作直线y交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为x|2kx2k，kZ(2)如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧2，即圆心角PCA2，则PCB2，所以|PB|sin(2)cos 2，|CB|cos(2)sin 2，所以xP2|CB|2sin 2，yP1|PB|1cos 2，所以(2