PAkPB型的最值问题将军饮马造桥选址胡不归阿氏圆费马点

1、“PA+k·PB”型的最值问题当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。当k取任意不为1的正数时，通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。 其中 点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。一、“将军饮马”模型“将军饮马”：把河岸看作直线L，先取A（或B）关于直线L的对称点A（或B），连接AB（或BA），并与直线交于一点P，则点P就是将军饮马的地点，即PA+PB即为最短路线。例1. 如图，在锐角ABC中，AB=4，BAC=45°，BAC的平

2、分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是          。例2. 如图，在矩形ABCD中，AB10，AD6，动点P满足SPABS矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为 例3. 如图，AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分AOB，且OP=6，PMN的周长最小值为     ；当PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为          。变式：“造桥选址

3、”模型例4. 如图，已知直线ab，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MNa且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB的值为          。 例5. 如图，CD是直线y=x上的一条定长的动线段，且CD=2，点A（4，0），连接AC、AD，设C点横坐标为m，求m为何值时，ACD的周长最小，并求出这个最小值。二、“胡不归”模型有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时

4、，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。（如下图）A是出发地，B是目的地；AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB。但是，他忽略了在驿道上（V1）行走要比在砂土地带（V2）行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但速度可以加快），是可以提前抵达家门的。解题步骤：将所求线段和改写为“BDAD”的形式（01）；在AD的一侧，BD的异侧，构造一个角度，使得sin；过B作所构造的一边垂线，该垂线段即为所求最小值例6. 如图，ABC中，B

5、C=2,ABC=30°，则2AC+AB的最小值为          。 例7. 如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且ABC=60°，M 为对角线BD（不含B点）上任意一点,则 AM+BM的最小值为          。例8. 如图，等腰ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为AO，点D为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当AD= 时，运动时间最短

6、为 秒。中考真题1. （2016徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c的图像经过点A（-1，0），B（0，- ）、C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D。若P为y轴上的一个动点，连接PD，则的最小值为          。 2. （2014.成都）如图，已知抛物线与x轴从左至右依次交于点A、B，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一个交点为 D（-5，）。设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，

7、当点F的坐标为          时，点M在整个运动过程中用时最少？三、“阿氏圆”模型【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 A、B，则所有满足PA=kPB（k1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。如图所示 2-1-1，O 的半径为 r,点 A、B 都在O 外，P 为O 上的动点，已知 r=k·OB.连接 PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？图 2-1-1 图 2-1-2 图 2-1-3本题的关键在于如何确定“k·

8、;PB”的大小，（如图 2-1-2）在线段 OB上截取 OC 使 OC=k·r,则可说明BPO 与PCO 相似，即 k·PB=PC。本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值，即 A、P、C三点共线时最小（如图 2-1-3），本题得解。“阿氏圆”一般解题步骤： 第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OB； 第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OB长度； 第三步：计算这两条线段长度的比； 第四步：在OB上取点C，使得； 第五步：连接AC，与圆O交点即为点P 例9. 如图，点A、B在O上，且OA=OB

9、=6，且OAOB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD=4，动点P在O上，则2PC+PD的最小值为          例10. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD 为切线，AC=1，BD=2，P为弧AB上一动点，求PC+PD的最小值为          例11. （1）【问题提出】：如图1，在RtABC中，ACB90°，CB4，CA6，C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，求的最小值为        

10、0;  （2） .【自主探索】：在“问题提出”的条件不变的情况下，的最小值为          （3） .【拓展延伸】：已知扇形COD中，COD90º，OC6，OA3，OB5，点P是CD上一点，则2PAPB的最小值为          【模型类比】 “胡不归”构造某角正弦值等于小于1系数 起点构造所需角（k=sinCAE）-过终点作所构角边的垂线-利用垂线段最短解决 “阿氏圆”构造共边共角型相似 构造PABCAP 推出PA2= ABAC =即：半径的平方=

11、原有线段×构造线段 拓展：“费马点”问题背景资料：在已知ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”如图，当ABC三个内角均小于120°时，费马点P在ABC内部，此时APB=BPC=CPA=120°，此时，PA+PB+PC的值最小解决问题：（1）如图，等边ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3， 4，5，求APB的度数为了解决本题，我们可以将ABP绕顶点A旋转到ACP处，此时ACPABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出APB=         ；基本运用：（2）请你