高数 高斯公式 通量与散度（课堂PPT）

1、.19.4 2.通量与散度通量与散度1.高斯公式高斯公式 Green 公式公式推广推广Gauss 公式公式高斯公式高斯公式 通量与散度通量与散度.2一、高斯公式一、高斯公式 定理定理1 1 设空间闭区域设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面是由分片光滑的闭曲面所所围成，函数围成，函数P P( (x x，y y，z z) )、Q Q( (x x，y y，z z) )、R R( (x x，y y，z z) )在在上具有一阶连续偏导数，则有上具有一阶连续偏导数，则有 )1(,)(RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP或或 dvzRyQxP)( （11） ,)coscoscos(dSRQP 这里这里

2、是是的整个边界曲面的外侧，的整个边界曲面的外侧，coscos、coscos、coscos是是上点上点( (x x，y y，z z) )处的法向量的方向余弦。处的法向量的方向余弦。公式（公式（1 1）或（）或（11）叫做）叫做高斯公式高斯公式。 .3231zyxyxD) ,(yxRyxyxRdd) ,(, ),(:11yxzz 证明证明: :设设yxDyxyxzyxzyxz),(, ),(),(),(:21,321zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRdd yxD2 zyxzRdddyxdd1 3yxRdd为为XYXY型区域型区域 , , ),(:22yxz

3、z 则则yxyxRdd) ,(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd) ,(),(1yxz.4所以所以zyxzRdddyxRdd 若若 不是不是XYXY型区域型区域 , , 则可引进辅助面则可引进辅助面将其分割成若干个将其分割成若干个XYXY型区域型区域, ,故上式仍成立故上式仍成立 . .正反两侧面积分正负抵消正反两侧面积分正负抵消, ,在辅助面在辅助面类似可证类似可证 zyxyQdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRyQxPdddxzQdd zyxxPdddzyPdd 三式相加三式相加, , 即得所证即得所证 Gauss Gauss 公式：公式：.5（2 2）关于）关于的边界曲

4、面的正向：的边界曲面的正向： 是单连通区域时取外侧；是单连通区域时取外侧；是复连通区域时是复连通区域时外层取外侧，内层取内侧。外层取外侧，内层取内侧。 关于高斯公式的说明关于高斯公式的说明 : :（1 1）如穿过）如穿过内部且平行于坐标轴的直线与内部且平行于坐标轴的直线与的的交点多于两个时，采用分块的方法交点多于两个时，采用分块的方法 .6（3 3）高斯公式成立的条件：）高斯公式成立的条件： 光滑或分片光滑，光滑或分片光滑，P P、Q Q、R R在在上一阶偏导连续。上一阶偏导连续。 （4 4）不闭合时，采取不闭合时，采取“补面补面”的方法：的方法：+ +1 1 封封闭，所围区域闭，所围区域。

5、及易于计算及易于计算 dvzRyQxP)(1A dS .7例例1 1 用用GaussGauss公式计算公式计算 zyxzyyxyxdd)(dd)(其中其中 为柱面为柱面122 yx闭域闭域 的整个边界曲面的外侧的整个边界曲面的外侧. . 解解 这里这里利用利用Gauss Gauss 公式公式, , 得得原式原式 = =zyxzyddd)( sin) d ddrz rrz ( (用柱坐标用柱坐标) )zzrrrd)sin(dd30102029x3oz1y,)(xzyP, 0QyxR及平面及平面z = z = 0,0,z = z = 3 3所围空间所围空间思考思考 若若 改为内侧改为内侧, , 结

6、果有何变化结果有何变化? ? 若若 为圆柱侧面为圆柱侧面( (取外侧取外侧) , ) , 如何计算如何计算? ? .8例例2 2 利用利用Gauss Gauss 公式计算积分公式计算积分SzyxId)coscoscos(222其中其中 为锥面为锥面222zyxhozyx解解 作辅助面作辅助面,:1hz ,:),(222hyxDyxyx取上侧取上侧1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,21 上上在在介于介于z = z = 0 0及及 z = h z = h 之间部分的下侧之间部分的下侧. . 1, 记记h1所围区域为所围区域为 , ,则则 zyxzyxddd)(2yxhyxDdd2

7、.9zyxzyxIddd)(2利用重心公式利用重心公式, , 注意注意0 yxzyxzddd24hyxhyxDdd2421hhz022zzd4hhozyxh1.10例例3 3 计算计算 其中其中 dxdyzdzdxydydzx222（1 1）的外侧；）的外侧； （2 2）的内侧；）的内侧； 解解 (1) (1) (222 )Ixyz dv(2)(2)(222 )Ixyz dv3834233aRRa 2222:Rzyx 2222)(:Razyx 0002zdv.11例例4 计算计算 ，为平面为平面x+y+z=1与三坐标面所围成的表面，取外侧。与三坐标面所围成的表面，取外侧。 dxdyydzdxd

8、ydzx)1( 解解1 11(110)213 23Idv 比用第二类曲面积分的方法简单得多。比用第二类曲面积分的方法简单得多。 .12例例5 5.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI设设 为曲面为曲面21,222zyxz取上侧取上侧, , 求求 解解 作取下侧的辅助面作取下侧的辅助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD) 1(20d10dr221drz202dcos103drr12131zoxy211用柱坐标用柱坐标用极坐标用极坐标.13coscoscoszvyvxv),(, ),(zyxvzyxu在闭区域在闭区域 上具有一阶和上具有一

9、阶和二阶连续偏导数二阶连续偏导数, ,证明格林证明格林(Green)(Green)第一公式第一公式Sd例例6 设函数设函数uzyxddduzyxdddxuyuyvzuzv其中其中 是整个是整个 边界面的外侧边界面的外侧. . uP xvuQ yvuR zv分析分析zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd xv高斯公式高斯公式222222zvyvxv.14证证 令令uP ,xvuQ ,yvuR ,zv由高斯公式得由高斯公式得222222zvyvxvuzyxdddcoscoscoszvyvxvuSd移项即得所证公式移项即得所证公式. .xuyuyvzuzvxvuyxzvxzyvzyx

10、vdddddd.15二、通量与散度二、通量与散度引例引例 设稳定流动的不可压缩流体的密度为设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 1, 速度场为速度场为( , , )( , , )( , , )( , , )v x y zP x y z iQ x y z jR x y z k 理意义可知理意义可知, , 设设 为场中任一有向曲面为场中任一有向曲面, , ddd dd dPyzQzxR xy 单位时间通过曲面单位时间通过曲面 的流量为的流量为 则由对坐标的曲面积分的物则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系由两类曲面积分的关系, , 流量还可表示为流量还可表示为 coscoscosdPQRS

11、 =d v vS Snd v vS S.16若若 为方为方向向外的闭曲面向向外的闭曲面, , yxRxzQzyPdddddd当当 0 0 时时, ,说明流说明流入入 的流体质量少于的流体质量少于 当当 0 0 时时, , 说明流说明流入入 的流体质量多于流的流体质量多于流出出的的, , 则单位时间通过则单位时间通过 的流量为的流量为 当当 = 0 = 0 时时, ,说明流入与流出说明流入与流出 的流体质量相等的流体质量相等 . . n流流出出的的, , 表明表明 内有泉内有泉; ; 表明表明 内有洞内有洞 ; ;根据高斯公式根据高斯公式, , 流量也可表为流量也可表为zyxzRyQxPdddn

12、.17如果如果是高斯公式是高斯公式(1)(1)中闭区域的边界曲面的外侧，中闭区域的边界曲面的外侧，那么高斯公式的那么高斯公式的右端可解释为单位时间内离开闭区右端可解释为单位时间内离开闭区域域的流体的总质量的流体的总质量。由于我们假定流体是不可压。由于我们假定流体是不可压缩的，且流动是稳定的，因此在流体离开缩的，且流动是稳定的，因此在流体离开的同时，的同时，内部必须有产生流体的内部必须有产生流体的“源头源头”产生出同样多的产生出同样多的流体来进行补充。所以高斯公式流体来进行补充。所以高斯公式左端可解释为分布左端可解释为分布在在内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量。内的源头在单位时间内所产生的

13、流体的总质量。 设设的体积为的体积为V V，式（，式（1 1）两端同除以）两端同除以V V，有，有 dSvVdvzRyQxPVn11上式左端表示上式左端表示内的源头在单位时间单位体积内内的源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值。所产生的流体质量的平均值。 .18方向向外的任一闭曲面方向向外的任一闭曲面 , , 记记 所围域为所围域为 , , 设设 是是包含点包含点M M 且且为了揭示场内任意点为了揭示场内任意点M M处的特性处的特性, , M在式两边同除以在式两边同除以 的体积的体积V V, , 并令并令 以以任意方式缩小至点任意方式缩小至点M M 则有则有),(M 记记作作VMli

14、mzyxzRyQxPVMddd1lim),(limzRyQxPMMzRyQxP此式反应了流速场在点此式反应了流速场在点M M 的特点的特点: : 其值为正其值为正, ,负或负或 0, 0, 分别反映在该点有流体涌出分别反映在该点有流体涌出, , 吸入吸入, , 或没有任何变化或没有任何变化. . ),(.19定义定义 设有向量场设有向量场kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(其中其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数具有连续一阶偏导数, 是是场内的一片有向场内的一片有向 则称则称曲面曲面, , 其单位法向量其单位法向量 n, SnAd为向量场为向量场A A通过通过有向曲

15、面有向曲面 的的通量通量( (流量流量) )。在场中点在场中点 M M( (x x, , y y, , z z) ) 处处 称为向量场称为向量场 A A 在点在点 M M 的的散度。散度。记作记作AdivzRyQxP.200divA表明该点处有正源表明该点处有正源, , 0divA表明该点处有负源表明该点处有负源, , 0divA表明该点处无源表明该点处无源, , 散度绝对值的大小反映了源的强度散度绝对值的大小反映了源的强度. .0divA若向量场若向量场 A A 处处有处处有 , , 则称则称 A A 为为无源场。无源场。 例如例如, , 匀速场匀速场 ),(),(为为常常数数其其中中zyx

16、zyxvvvvvvv 0div v故它是无源场故它是无源场. .说明说明: : 由引例可知由引例可知, , 散度是通量对体积的变化率散度是通量对体积的变化率, , 且且.21* *例例7.7.置于原点置于原点, , 电量为电量为 q q 的点电荷产生的场强为的点电荷产生的场强为rrqE3.divE求解解: : 3ryy3rzz 3522rxrq5223ryr 5223rzr 03rxx),(3zyxrq)0(r计算结果与仅原点有点电荷的事实相符计算结果与仅原点有点电荷的事实相符. . )0(r qEdiv.22例例8 8 已知向量，已知向量，为为圆柱圆柱 的全表面，求的全表面，求A A穿过曲穿

17、过曲面面而流向其外侧的通量。而流向其外侧的通量。 解：解：222dx dydzy dzdxz dxdy A AS S dV)zyx(Adv2div2202200hazdzdxdyzdvhxyD kzjyixA222 )0(222hzayx .23内容小结内容小结1. 1. 高斯公式及其应用高斯公式及其应用公式公式: :yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd应用应用: :(1) (1) 计算曲面积分计算曲面积分 ( (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧非闭曲面时注意添加辅助面的技巧) )(2) (2) 推出闭曲面积分为零的充要条件推出闭曲面积分为零的充要条件: : 0ddddddyx

18、RxzQzyP0zRyQxP.242. 2. 通量与散度通量与散度 设向量场设向量场P P, , Q Q, , R R, , 在域在域G G内有一阶内有一阶 连续偏导数连续偏导数, , 则则 向量场通过有向曲面向量场通过有向曲面 的通量为的通量为 G G 内任意点处的散度为内任意点处的散度为 ),(RQPAndd 或或ASASASASzRyQxPAdiv.25思考与练习思考与练习,:2222取取外外侧侧设设Rzyx 所围立体所围立体, ,222zyxr 判断下列演算是否正确判断下列演算是否正确? ?(1)(1)yxrzxzryzyrxdddddd333333vRd324 R(2)(2)yxrzxzryzyrxdddddd333333vrzzryyrxxd33333331Ryxzxzyzyxdddddd33331Rvzyxd)(3222 为为 .2600cosrn00rn 备用题备用题 设设 是一光滑闭曲面是一光滑闭曲面, ,所围立体所围立