2016江门数学竞赛试卷与评分参考

1、2017年全国高中数学联合竞赛江门选拔赛试卷（考试时间：2016年12月21日下午）题号一二合计91011得分评卷人注意事项：1.本试卷共二大题，全卷满分120分. 2.用圆珠笔或钢笔作答，解题书写不要超过装订线. 3.不能使用计算器.得分评卷人一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上.1定义集合运算: AB=z|z=xy，xA，yB设A=2，0，B=0，8，则集合AB的所有元素之和为 2已知A(-2，0)，B(0，2)，M、N是圆x2+y2+kx=0(k是常数)上两个不同的点，P是圆上的动点，如果M、N两点关于直线x-y-1=0对称，则PAB面积的最大值是 3正四面

2、体ABCD的棱长为8 cm，在棱AB、CD上各有一点E、F，若AE=CF=3cm，则线段EF的长为 cm4设平面内的两个非零向量a与b相互垂直，且b=1，则使得向量a+mb与a+(1-m)b互相垂直的所有实数之和为 5若关于x的方程x2-ax+1-a=0在区间2，+)上有解，则的取值范围是 6平面直角坐标系xOy中，点集所覆盖的平面图形的面积为 7已知数列的通项公式为（），其前项和为，则在数列， ，中，有理数项共有 项8当，为正数时，的最大值为 二、解答题：本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.得分评卷人9(本小题满分16分)（1）若sin2+2sin2=2cos，

3、求2sin2+sin2的最大值和最小值；（2）已知不等边的内角成公差为的等差数列，且1sin2A，1sin2B，1sin2C也成等差数列，求的值得分评卷人10(本小题满分20分)已知三棱锥，且分别为的中点（1）求点到平面的距离；（2）若点在线段上移动，求面积的最小值得分评卷人11(本小题满分20分)（1）已知对，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）已知数列满足，且，证明：当时，评分参考一、填空题题号12345678答案163+234153，+）443172二、解答题9（1）， 1分3分设，则.记，图像的对称轴为，4分由可得，6分，的最大值为，最小值为。8分（2），9分由已知10分， 而，11

4、分，即，13分解得，14分由已知，15分，即（负值舍去）。16分10（1）设点到平面的距离为，由已知，2分在中，3分由余弦定理得，5分由得，即点到平面的距离为。8分（2）由得，9分点在线段上移动，在平面内过作，在平面内过作，连结，如图所示。11分.在平面内，由，得，又，又 .13分即在边上的高，.要求面积的最小值，只需求的最小值。14分设，在中，由得，.在中，.16分在中，.17分，即，18分时，有最小值，即有最小值，此时，即面积的最小值为。20分11（1）原不等式可化为，设，则，2分，对恒成立.4分设，则当时，；当时，若，则， 若，则，由上述讨论可得.8分（用判别式法求得的取值范围同样得分）对恒成立，即9分解得，的取值范围是10分（2）由已知当时，即数列是以为首项，2为公比的等比数列，即.12分（得到或中任何一式即可得2分）当时，即，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，即.14分（得到或中任何一式即可得2分）所以，即，15分-得，17分，【法一】要证当时，只需证当时，令，则