1411时　勾股定理的验证及简单应用

1、第2课时勾股定理的验证及简单应用课前知识管理对于勾股定理的探索，可以采用测量、计算、观察和动手操作的方法来验证其正确性课本主要运用拼图的方法，利用两种方法表示同一个图形的面积来验证勾股定理如图1，是由4个完全相同的直角三角形拼成的，得到一个边长为（a+b）的大正方形和以斜边c为边长的小正方形，有（a+b）2=4×ab+c2，整理可得a2+b2=c2对于图2，有S正方形EFGH=c2=（b-a）2+4×ab，即c2=a2+b2名师导学互动典例精析：知识点1：用拼图法验证勾股定理例1、请判断一下，下列图形中，哪些可以用来验证勾股定理.【解题思路】大正方形的面积等于四个直角三角形

2、面积加中间小正方形面积；中间正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形面积；推导不出.【解】可以验证勾股定理.【方法归纳】勾股定理的验证，主要通过拼接图形的面积来实现.对应练习：请结合以下图形，验证勾股定理.知识点2：方程的思想例2、如图，在ABC中，AB=15，BC=14， CA=13，求BC边上的高AD【解题思路】【解】设DC=，则BD=14，在RtABD和RtACD中，由勾股定理可得：（14+，两式相减得：，解得：在RtACD由勾股定理得：AD=12【方法归纳】由于勾股定理反映了直角三角形三边的数量关系，所以在应用勾股定理解决问题时，要考虑应用定理列方程来求解对应练习：如图，有一块直角

3、三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）A 2cm B 3cm C 4cm D 5cm知识点3：数形结合的数学思想例3、某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东60°方向移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域.试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由.【解题思路】【解】构造数学模型，如图所示，设O为风暴中心，OC为风暴中心移动方向，ADOC.在RtOAD中，AOD=30°，OA=3

4、00km，所以AD=150km<200km，即A城受到这次风暴的影响.如图，设AB=AC=200km，在RtABD中，应用勾股定理，得，所以，A城遭受风暴影响的时间（小时）.【方法归纳】勾股定理本身就是数形结合的定理，它的验证和应用，都体现了数形结合的思想知识点4：分类讨论的数学思想例4、在中，边上的高则的长为 .【解题思路】三角形中某边上的高既可在三角形内部，也可在三角形的外部，故此题应分为两种情况来考虑.当边上的高在的内部时，如图，由勾股定理，得得，得则；当上的高在的外部时，如图，同样由勾股定理可求得，这时，故的长为或.【解】或.【方法归纳】当元素之间的位置关系没有限制时，要对可能的

5、情形分类进行讨论.对应练习：已知直角三角形的两边长分别为5，12，求第三边的长.知识点5：整体思想例5、如图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.已知大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的短直角边是a ,较长直角边是b ,则的值为( )A. 13 B. 19 C. 25 D. 169【解题思路】由勾股定理可得到两个变形：和.通过这两个变形，我们可以从中任意两个出发，求出其他各个量.仔细观察图形，不难得到：，利用，可求得，故=13+12=25.【解】选C.【方法归纳】利用整体思想可避免繁琐的运算，达到快速求值的目的.对应练习：如图，的周长为32，且于，的

6、周长为24，那么的长为知识点6：转化思想例6、如图，高速公路的同一侧有A、B两个奥运村，它们到高速公路所在的直线MN的垂直距离分别为=2km，=4km，km，要在高速公路上A、B之间设一个出口P，使A、B两个奥运村到P的距离之和最短，则这个最短距离是 . 【解题思路】过B作关于MN的对称点B，连接AB交于点P.因垂直平分BB，所以PB=PB，则AP+PB=AP+ PB=AB，由“两点之间，线段最短”易知，P点为到A、B距离之和最短的点.【解】过点A作AE垂直于BB于E，则AE=8km，BE=+=6km，由勾股定理，得AB=10km，即AP+PB=AP+ PB=AB=10km，故最短出口P到A、

7、B两个奥运村距离和为10km.【方法归纳】本题可转化为“在直线同侧有两点A、B，试在上找一点P，使PA+PB最小，利用对称作图即可.对应练习：为了向建国六十周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级（3）班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：先裁下了一张长，宽的矩形纸片ABCD，将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处， 请你根据步骤解答下列问题：（1）找出图中FEC的余角；（2）计算EC的长.知识点7：化立体为平面例7、有一根70 cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm、40 cm、30 cm的木箱中，

8、能放进去吗？【解题思路】在实际生活中，往往工程设计方案比较多，应用所学的知识进行计算方可解决，而此题正是需要我们大胆实践和创新，用我们学过的勾股定理和丰富的空间想像力来解决.我们可注意到木棒虽比木箱的各边都长，按各边的大小放不进去，但木箱是立体图形，可以利用空间的最长长度.如AC.【解】由下图可得，AA=30 cm，AB=50 cm，BC=40 cm.ABC，AAC都为直角三角形.由勾股定理，得AC2=AB2+BC2.在RtAAC中.AC最长，则AC2=AA2+AB2+BC2=302+402+502=5000702. 故70 cm的棒能放入长、宽、高分别为50 cm，40 cm，30 cm的大

9、箱中.【方法归纳】本题源于生活实际，较有趣味性，能够较好地增强学生的应用意识和实践能力，同时还考查了空间观念. 求解立体几何图形的一些问题时，通常是通过平面展开图，将其转化为平面图形的问题，然后求解.对应练习：制一个底面周长为a、高为b的圆柱形花架，需用沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图中的，则每一根这样的竹条的长度最少是_.易错警示1、注意勾股定理的使用前提是直角三角形例8 如图，在中，边上的中线，试说明 错解：因是边上的中线，所以又, 在ADC中，由勾股定理，得=而，故错因分析：由于受题目、结论及图形的影响，不少同学在没有进行推证说明，就先行认为是直角三角形，忽视了运用勾股定理的前提，犯

10、了循环论证的错误 正解：因为是边上的中线，所以又，, 且有，即，则是直角三角形，即所以，在中，由勾股定理，从而2、注意分清直角边和斜边例9 在中，已知,，的对边分别是，且，求的长错解：由已知，为直角三角形则由勾股定理，得,即错解分析：错解未抓住题目实质，受勾股定理的表达式：的影响而误认为是斜边，其实，由,知才是斜边（如图）因此，我们在运用勾股定理时，首先要正确识别哪个角是直角，从而确定哪条边是斜边，然后准确写出勾股定理表达式进行解题正解：,则在中，由勾股定理，得=3、注意分类讨论例10 已知三角形的两边长为和，如果这个三角形是直角三角形求第三边的长错解：设第三边的长为，则由勾股定理得，解得 错

11、解分析：题中没有明确指出直角边和斜边，应分类讨论，而上述解法中误以为所求的第三边即为斜边因此漏解，值得注意正解：设第三边的长为（1）当为斜边时，由勾股定理，得，解得（2）当为直角边时，由勾股定理，得解得所以，第三边的长为或课堂练习评测1、如果直角三角形的三条边2，4，a，那么a的取值可以有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个2、如图，OAB=OBC=OCD=90°， AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2=_.3、如图，设火柴盒ABCD的两边之长为a与b，对角线长为c，推倒后的火柴盒是ABCD，试利用该图验证勾股定理的正确性4、（1）求下列直角三角形未知边的长（如

12、图所示）（2）求下列图中未知数x，y，z的值5、如图所示，为了求出位于湖两岸的两点A、B之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形，通过测量，得到AC长160米，BC长128米，问从点A穿过湖到点B有多远？6、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形G的边长为7cm，求正方形A，B，C，D的面积7、小红家住在18层的高楼上，一天，她与妈妈去买竹竿（如图所示）如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度约是多少米？你能估计出小红买的竹竿至少是多少米吗？.课后作业练习 一、判断题（2×

13、;2=4分） 1ABC的两边AB=5，AC=12，则BC=13（ ） 2ABC中，a=6，b=8，则c=10（ ）二、填空题（3×7=21分）3在ABC中，A：B：C=1：1：2，AB2=50，则BC=_4在RtABC中，C=90°，a：b=3：4，c=15cm，则a=_cm5在RtABC中，a=3，b=4，则c=_6一艘轮船以16海里/时的速度离开A港向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A港向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距_海里7在ABC中，C=90°，若AC=6，CB=8，则AB上的高为_8在ABC中，C=90°，CDAB于

14、D（1）若AC=61，CD=11，则AD=_（2）若CB=113，CD=15，则BD=_9等边ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为_三、选择题（5×5=25分）10若等腰ABC的腰长AB=2，顶角BAC=120°，以BC为边的正方形面积为（ ）A3 B12 C11已知等腰三角形斜边上中线为5cm，则以直角边为边的正方形面积为（ ）A10cm2 B15cm2 C50cm2 D25cm212等腰三角形底边上的高为8，腰长为10，则三角形的面积为（ ）A56 B48 C40 D3213一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm，则长方形的长是（ ）A2.5cm Bcm

15、 C2cm Dcm14如图所示，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（ ）A3.74 B3.75 C3.76 D3.77四、解答题（8×5=40分） 15用尺规在数轴上找出坐标为的点16如图（ac）所示，求下列直角三角形中未知边的长17如图所示，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角1.5m，求梯子的顶端与地面的距离h18如图所示，小方格的面积为1，找出图中以格点为端点且长度为5的线段19如图所示，在四边形ABCD中，BAD=90°，DBC=90°，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形DCEF的面积五、探

16、索题（10分）20做8个全等的直角三角形（2条直角边长分别为a、b，斜边长为c），再做3条边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成2个正方形（如图所示）.你能利用这2个图形验证勾股定理吗？写出你的验证过程1对应练习参考答案1.提示：借助梯形面积推导.答案：因为 S梯形 =，S梯形 =；所以；整理，得 .2.答案：B3.答案：13或4.答案：8.5.答案：解：（1）CFE、BAF ；（2）设EC=xcm. 由题意得则EF=DE=（16x）cm ，AF=AD=20cm.在RtABF中，BF=12（cm），FC=BCBF=2012=8（cm）.在RtEFC中，EF2=FC2+EC2 ，（16x）2=82+x2 ，x=6，EC的长为6cm .6.解析：由于竹条需要绕织一周，所以可以把圆柱侧面沿展开，得到一个长和宽分别为的矩形，如图所示.连接，此时对角线的长度就是竹条的最短长度.由勾股定理得，所以=.课后作业参考答案：1、B2、73、点拨：可看成火柴盒ABCD绕A点旋转90°后得到ABCD，有CAC=90°，ACC为等腰直角三角形，运用不同的方法求出该三角形的面积即可4、略.5、由于构建了RtABC，因此，利用勾股定理，可以求出AB=96（米）6、此题揭示了三个正方形的面积关系与直角三角