专题复习二相似的综合应用

1、专题复习二 相似的综合应用相似三角形的判定与性质与圆、函数、特殊三角形等知识的综合应用要注意知识之间的关联，应用转化化归思想化繁为简1.如图所示，将ABC沿DE翻折，折痕DEBC，若=，BC=9，则DE等于(B).A.2 B.3 C.4 （第1题）（第2题） （第3题）2.如图所示，在ABC中，C=90，AC=4，BC=3，AB边上有一点D，且AD=AC，过点D作DEAB交BC于点E，则BDE的周长是(B).A.3 B.4 C.5 D.63.如图所示，E为ABCD的边CB的延长线上一点，若=，则的值为(C).A. B. C.2 D.34.如图所示，已知在梯形ABCD中，ADBC，BC=2AD，

2、如果对角线AC与BD交于点O，AOB，BOC，COD，DOA的面积分别记作S1，S2，S3，S4，那么下列结论中，不正确的是(B).A.S1=S3 B.S2=2S4 C.S2=2S1 D.S1S3=S2S4（第4题） （第5题） （第6题）5.如图所示，在ABC中，BC=3，G是ABC的重心，如果DGBC，那么DG= 1 6.如图所示，四边形ABCD内接于O，BD是O的直径，AC和BD交于点E，AC=BC，DE=2cm，AD=5cm，则O的半径为 cm（第7题）7.如图所示，在ABC中，AB=AC，过点C作CFAB交ABC的中位线DE的延长线于点F，连结BF，交AC于点G.（1）求证：=.（2

3、）若AH平分BAC，交BF于点H，求证：BH是HG和HF的比例中项.【答案】(1)CFAB，DE是中位线，四边形BCFD是平行四边形.DE=EF.（第7题答图）(2)如答图所示，连结CH.AH平分BAC，BAH=CAH.在ABH与ACH中，,ABHACH.BH=CH，HCG=DBH=HFC.又GHC=CHF，GHCCHF.=.CH2=HGHF.又BH=CH，BH2=HGHF.BH是HG和HF的比例中项.8.如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点（不与点A，B重合），EFDE交BC于点F（1）求证：ADEBEF（2）设正方形的边长为4，AE=x，BF=y.求y关于x的函数表达式及x的取值范

4、围（3）当x取什么值时，y有最大值？求出这个最大值，并指出该函数图象的变化情况（第8题）【答案】(1)四边形ABCD是正方形，DAE=EBF=90.ADE+AED=90.EFDE，AED+BEF=90.ADE=BEF.ADEBEF.(2)ADEBEF，=.=，即y=-x2+x.y关于x的函数表达式为y=-x2+x(0x4).(3)y=-x2+x=- (x2-4x)=- (x-2)2+1.当x=2时，y有最大值，y的最大值为1.该函数图象在对称轴x=2的左侧部分是上升的，右侧部分是下降的.9.在RtABC中，C=90，P是BC边上不同于点B，C的一动点，过点P作PQAB于点Q，连结AP（1）试说

5、明不论点P在BC边上何处，都有PBQ与ABC相似（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，APQ面积最大？求出最大值（3）在RtABC中，两条直角边BC，AC满足关系式BC=AC，是否存在一个的值，使RtAQP既与RtACP全等，也与RtBQP全等？（第9题）【答案】(1)PQB=C=90，B=B，PBQABC.(2)设BP=x（0x4）.AB=5.PBQABC，.SAPQ=当x=时，APQ的面积最大，最大值是.(3)存在.RtAQPRtACP，AQ=AC.RtAQPRtBQP，AQ=BQ.AQ=QB=AC.在RtABC中，BC2=AB2-AC2.BC=AC.当=时，RtAQP既与RtACP

6、全等，也与RtBQP全等.10.如图所示，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE，BF，DF，DG，CG分别相交于点P，Q，K，M，N.设BPQ，DKM，CNH的面积依次为S1，S2，S3.若S1+S3=20，则S2的值为(B).A.6 B.8 C.10 D.12（第10题）（第11题） （第12题）11.如图所示，在RtABC中，ABC=90，AB=6，BC=8，BAC，ACB的平分线相交于点E，过点E作EFBC交AC于点F，则EF的长为(C). 12.已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E和F，把这两点分别与底边中点连结，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形

7、相似，剩余部分（四边形）的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为(B). 13.如图所示，ACBC于点C，AC=BC，D是BC上一点，连结AD，与ACB的平分线交于点E，连结BE.若SACE=，SBDE=，则AC= 2 .（第13题） （第14题）14.如图所示，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，DME=A=B=45，且DM交AC于点F，ME交BC于点G，连结FG，若AB=4，AF=3，则BG= ，FG= 15.如图所示，在四边形ABCD中，AC平分BCD，ACAB，E是BC的中点，ADAE.（1）求证：AC2=CDBC.（2）过点E作EGAB，并延长EG至点K，使EK=EB.

8、若点H是点D关于AC的对称点，点F为AC的中点，求证：FHGH.若B=30，求证：四边形AKEC是菱形.（第15题）【答案】(1)AC平分BCD，DCA=ACB.又ACAB，ADAE，DAC+CAE=90，CAE+EAB=90.DAC=EAB.又E是BC的中点，AE=BE.EAB=ABC.DAC=ABC.ACDBCA.=.AC2=CDBC.（第15题答图）(2)如答图所示，连结AH.由(1)知ACDBCA,ADC=BAC=90.点H，D关于AC对称，AHBC.EGAB，AE=BE，G是AB的中点.HG=AG.GAH=GHA.点F为AC的中点，AF=FH.HAF=FHA.FHG=AHF+AHG=

9、FAH+HAG=CAB=90.FHGH.EKAB，ACAB，EKAC.又B=30，AC=BC=EB=EC.又EK=EB，EK=AC.四边形AKEC是平行四边形.又AC=EC，平行四边形AKEC是菱形.16.矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使点B落在CD边上的点P处（1）如图1所示，已知折痕与边BC交于点O，连结AP，OP，OA求证：OCPPDA.若OCP与PDA的面积比为14，求边AB的长（2）如图2所示，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连结BP.动点M在线段AP上（不与点P，A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作MEBP于点E.试问动点

10、M，N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，请说明理由（第16题） （第16题答图）【答案】(1)四边形ABCD是矩形，C=D=90.DPA+DAP=90.APO=B=90DPA+CPO=90.CPO=DAP.C=D，OCPPDA.OCP与PDA的面积比为14，.CP=AD=4.CO=CB-BO,CO=8-OP，在RtPCO中，OP2=CO2+CP2,即OP2=(8-OP)2+16,解得OP=5.AB=AP=2OP=10.边AB的长为10.(2)如答图所示，作MQAN交PB于点Q.AP=AB，MQAN，APB=ABP=MQP.MP=MQ.BN=PM，B

11、N=QM.MP=MQ，MEPQ，EQ=PQ.MQAN，QMF=BNF.MFQNFB.QF=QB.EF=EQ+QF=PQ+QB=PB.由(1)得PC=4，BC=8，PB=4.EF=PB=2.在(1)的条件下，点M，N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2.（第17题）17.【东营】如图所示，在正方形ABCD中，BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连结BD，DP，BD与CF相交于点H，有下列结论：BE=2AE；DFPBPH；PFDPDB；DP2=PHPC.其中正确的是(C).A. B. C. D.【解析】BPC是等边三角形，BP=PC=BC，PBC=PCB=BPC=

12、60.在正方形ABCD中，AB=BC=CD，A=ADC=BCD=90，ABE=DCF=30.BE=2AE.故正确.PC=CD，PCD=30，PDC=75.FDP=15.DBA=45，PBD=15.FDP=PBD.DFP=BPC=60，DFPBPH.故正确.FDP=PBD=15，ADB=45，PDB=30.而DFP=60，PFDPDB.PFD与PDB不会相似.故错误.PDH=PCD=30，DPH=DPC，DPHCPD.=.DP2=PHPC.故正确.故选C.图1 图2（第18题）18.【常德】如图所示，在RtABC中，BAC=90，点D在BC上，连结AD，作BFAD分别交AD于点E，交AC于点F.

13、（1）如图1所示，若BD=BA，求证：ABEDBE.（2）如图2所示，若BD=4DC，取AB的中点G，连结CG交AD于点M，求证：GM=2MC.AG2=AFAC.【答案】(1)在RtABE和RtDBE中，BA=BD,BE=BE,RtABERtDBE.（第18题答图）(2)如答图所示，过点G作GHAD交BC于点H.AG=BG，BH=DH.BD=4DC，设DC=1，BD=4，BH=DH=2.GHAD，=.GM=2MC.过点C作CNAC交AD的延长线于点N，则CNAG.AGMNCM.=.由知GM=2MC，2NC=AG.BAC=AEB=90，ABF=CAN=90-BAE.又BAF=ACN=90,BAFACN.=.AB=2AG，=.2CNAG=AFAC.AG2=AFAC.19.在ABC中，P为边AB上一点.（1）如图1所示，若ACP=B，求证：AC2=APAB.（2）若M为CP的中点，AC=2.如图2所示，若PBM=ACP，AB=3，求BP的长.如图3所示，若ABC=45，A=BMP=60，求BP的长.图1图图3（第19题） 图1 图2（第19题答图）【答案】(1)ACP=B，A=A，ACPABC.=.AC2=APAB.(2)如答图1所示，取AP在中点G，连结MG，设AG=x，则PG=x，BG=3-x.M是PC的中点，MGAC，MG=AC=1.BGM=A.又ACP=PBM，APCG