东南大学2002——2009数学分析试题(缺03)

1、东南大学2002年数学分析试题解答一、 叙述定义(5分+5分=10分)1.解：设2.当解：设二、 计算（9分7=63分）1 求曲线的弧长。解：2 设偏导数，解：由=3.求解：令=4.求(解：=5.计算第二型曲面积分其中S是曲面夹于与之间的部分，积分沿曲面的下侧。解：记，则，且=6求常数，使得曲线积分对上半平面的任何光滑闭曲线L成立。解：7在曲面上求一点，使过该点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和最小。解：设,则,故所求切平面方程为：,求得在三个坐标轴上的截距分别为:=令则,解得16三、 证明题（6分+7分+7分+7分=27分）1 讨论级数的敛散性。解:2 设在区间0，2上具有二阶连续导数，且

2、对一切，均有。证明对一切，成立。解：，3 证明积分在上不一致收敛。证明:取)4 证明函数在上一致连续。证明：由拉格郎日中值定理,东南大学2004年攻读硕士学位研究生入学考试试卷一、判断题(判断下列命题正误，若正确请证明，否则请给出反例说明本题共4小题，每小题8分，满分32分) 1区间上有无穷多个间断点的函数在上必定不是黎曼可积的 2对正项级数，若存在，使得当时，那么级数收敛，反之也成立 3连续函数把有限闭区间映成有限闭区间，即若函数连续，则也必定是某个有限闭区间 4到得连续可逆变换都是保面积的，即若，且和它的逆都连续，则对内任一可求面积的区域，有的面积的面积二、计算题(本题共8小题，每小题6分

3、，满分48分) 1求极限 2求极限，其中 3设在在上连续，令，求， 4求二重积分，其中为正方形区域 5 求由方程组确定的隐函数在点处的一阶导数 6将函数在处展成幂级数 7计算曲线积分， 其中是椭圆沿顺时针一周8 计算曲面积分其中为下半椭球面 的上侧三、(本题满分10分)(1) 设在上二阶连续可微，证明：存在，使得(2)又若在(1)中只假定在上存在二阶导数而不要求二阶导数连续，那么(1)的结论是否成立？四、(本题满分12分)设，判别积分的敛散性，包括绝对收敛，条件收敛和发散，并证明在上连续五、(本题满分12分)证明级数条件收敛六、(本题满分12分)设函数项级数在区间上一致收敛于，且对每个，在上上

4、一致连续，求证在上一致连续七、(本题满分12分) 讨论方程在区间内实根个数八、(本题满分12分)设(1) 证明在内有界，并求出上确界(2) 讨论在内的上确界是否能取到，即在内是否存在最大值东南大学2005年攻读硕士学位研究生入学考试试卷一、判断题(判断下列命题正误，若正确请证明，否则请给出反例说明本题共4小题，每小题8分，满分32分) 1设函数在区间内可导，则在上严格单调递增当且仅当对任何， 2对上的连续函数，积分为正当且仅当在上恒为正 3若级数和都收敛，则级数也收敛 4若是平面定向光滑曲线，在上连续，则二、计算题(本题共8小题，每小题7分，满分56分)1求极限2记时曲线在上的弧段绕轴旋转所得

5、到的体积，试求常数，是设由方程所确定，试求值设为可微函数，记为圆心在原点，半径为的圆若时，试求常数和的值已知曲面上点处的切平面平行于平面，求点的坐标及过该点的法线方程求幂级数的收敛域与和函数计算曲线积分，其中为平面被三个坐标平面所截三角形的边界，并且若从轴正向看去为逆时针方向计算，其中为下半球面的上侧，为大于零的常数三、(本题满分10分)若数列有界，则称为有界变差数列，证明有界变差数列一定是收敛的数列四、(本题满分10分) 设悬链线方程为它在区间上的一段弧长和曲边梯形的面积分别记为与该曲边梯形绕轴旋转一周所得旋转体的体积，侧面积和处的端面积（即截面面积）分别记为，与证明：(1),;(2),;(

6、3)五、(本题满分10分)若在上连续，且对任何，积分与无关，证明，其中为常数六、(本题满分10分) 证明正项级数收敛七、(本题满分10分) 令为连续的，满足，假设在内存在，且具有证明对所有成立八、(本题满分12分)设积分绝对收敛，证明函数在上一致连续东南大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试试卷一、 判断题(判断下列命题正误，若正确请证明，否则请给出反例，本题共4小题，每小题8分，满分32分)1 若定义在上的函数在上连续，且有0，则必有，使得2 若函数恒正且连续，反常积分收敛，则必有3 如果是任一实数数列，且满足,那么一定是基本列4 函数项基数在其定义区间上市连续函数二、 计算题(本题共8小

7、题，每小题6分，满分48分)1 求极限2 求极限3 当时，且o，计算积分4 求二重积分，其中5 设，是由方程所定义的的函数，且与具由连续的一阶偏导数，求6 设，计算7 计算曲面积分，其中是曲线绕轴旋转而成的曲面的外侧8 计算曲面积分，其中是从沿到的一段曲线三、(本题满分12分) 设在上二次可导，又存在一点，使得，且，证明在上有且仅有两个零点四、(本题满分12分)设，试分析在原点处的连续性和可微性五、(本题满分12分)(1) 设定义于区间上，请叙述在上一致连续的定义；(2)设在上连续，当时，以为渐近线，证明在上一致连续六、(本题满分12分)讨论级数的敛散性七、(本题满分12分)设在上连续，令，证

8、明：若在上非负，且在上一致连续，则在上连续八、(本题满分10分)设中的数列，满足，其中，证明：(1) 若有界，则有界；(2) 若收敛，则收敛东南大学200年攻读硕士学位研究生入学考试试卷一、判断题(判断下列命题正误，若正确请证明，否则请给出反例，本题共4小题，每小题8分，满分32分)1定义函数 ，则其在闭区间上黎曼可积若函数均在某有界区间上一致连续，则它们的积也在该有界区间上一致连续设在上一致收敛，则对任意，收敛如果在上连续，那么有如下等式成立：二、计算题(本题共8小题，每小题6分，满分48分)1求极限：求极限：求的展开式将函数在处展开成幂级数设，计算积分设方程，求隐函数的偏导数求曲面积分，其

9、中为和坐标面在第一挂限所围成曲面的外侧计算曲面积分，其中是曲面从轴正向往轴负向看，的方向是顺时针的三、(本题满分10分)设，且，证明数列收敛四、(本题满分12分)设函数在上存在阶导数，满足，证明：存在，使五、(本题满分12分)讨论反常积分的敛散性（包括绝对收敛和条件收敛），其中六、(本题满分12分)在上定义函数如下：(1)求该函数的连续点与间断点；(2)讨论不连续点的类型，能否重新定义函数在其不连续点的值，使之在上连续？七、(本题满分12分)设在上连续，证明：八、(本题满分12分)设连续函数序列在有界闭区域上一致收敛于，证明：一、判断题(判断下列命题正误，若正确请证明，否则请给出反例，本题共4

10、小题，每小题8分，满分32分)1区间上的一致连续的函数总是有界的2若有界函数在上可积，则在上至多有有限个间断点若的收敛半径为，且收敛，则在上一致连续若函数在点处不可微，则函数在该点的所有方向导数不可能都存在二、(本题共6小题，每小题8分，满分48分)5求极限求函数的极值及曲线的拐点令，变换方程求二重积分，其中由与围成设曲线是由球面与平面的交线，求积分10计算，其中为抛物面在平面下面的部分，方向去下侧三、证明题(本题共6小题，每小题10分，满分60分)11设在上连续，在上可导，假定，且，证明存在一点，使12证明13设为连续偶函数，试证明， 其中为正方形：14证明：在上连续，在上可微15设是上连续

11、可微函数，证明：曲面上任一点处的法向量与向量及共面16设是非空集合，定义上的函数为， 称它为点到集的距离证明(1) 当且仅当时，(2) 对任意，有不等式四、 讨论题(本题共2小题，每题9分，满分18分)17讨论级数 的敛散性，其中为实数18讨论反常积分的敛散性（包括绝对收敛与条件收敛）东南大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试卷一、判断题(判断下列命题正误，若正确请证明，否则请给出反例，本题共4小题，每小题6分，满分24分)1上每个单调函数至多有可列个间断点2在有界闭区间上可积的函数必在上有原函数3若非负、单调递减，且，则级数收敛4曲线上每一点的某邻域内都可确定隐函数二、计算题(本题共6小题，每小题8分，满分48分)5求极限 6求极限求幂级数的和函数求曲线在点处的切线方程计算曲线积分，其中为曲线的一段计算曲面积分，其中是由曲线绕轴旋转所成的旋转曲面，取外侧三、解答题(本题共8小题，前6小题每题10分，后2小题每题9分，满分78分)11给定实数及，令 (1)证明极限存在，记为；(2)证明是开普勒方程的唯一解(3)记是由开普勒方程确定的，试证明是的连续可微函数，并求出12设函数是上半连续的，即对任意给定的及，存在一个，使得若，则证明：在上有上界，且在某个点处达到它的最大值13设在开区间内可导，且，证明在内必定是