不等关系与不等式一元二次不等式及其解法

1、不等关系与不等式一元二次不等式及其解法同步教学 主讲人：黄冈中学特级教师 吴校红一、一周知识概述本周学习不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法首先学习不等关系与不等式的性质，通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；体会不等式、方程及函数之间的联系。利用一元二次函数的图象及一元二次方程求解一元二次不等式；二、重难点知识归纳1、用不等号连接起来的式子表示不等关系，这样的式子叫不等式不等式的常用的基本性质（1）a>b，b>ca>c(2)a>bac>

2、;bc(3)a>b，c>0ac>bc(4)a>b，c<0ac<bc2、一元二次不等式、一元二次函数与一元二次方程的关系判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两根异实根有两相等实根没有实根的解集R的解集3、一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化成一般形式（或），把二次项的系数变为正数（如果是负，那么在不等式两边都乘以1，把系数变为正）（2）求出对应的一元二次方程的根（先看能否因式分解，若不能，再看，然后求根）（3）根据一元二次函数的图象、二次方程的根确定一元二次不等式的解集（根据一元二次方程的根及不等式的方向）三、典型例题剖析例1、解不

3、等式分析：令f（x)= ，0，即方程=0有两个不相等的实根，又图象开口向上，画出图象的示意图，由二次函数的零点和一元二次方程的根的关系知不等式的解集解：因为0，方程=0的根是所以不等式的解集是x|x<，或x>2例2、已知不等式ax25xb0的解为，求 a，b分析：不等式ax25xb0的解为，则知二次函数y=ax25xb的两个零点是x1=，x2=，由二次函数的零点与一元二次方程的关系知x1=，x2=是方程ax25xb=0的两个实数根，由根与系数的关系得到关于a，b的方程组解：因为不等式ax25xb0的解为，所以x1=，x2=是方程ax25xb=0的两个实数根，所以解得例3、已知不等式

4、x2axb<0的解集是x|2<x<3，求不等式bx2ax1>0的解集分析：一元二次不等式的解集是由一元二次方程的根及首项系数的正、负，不等式是大于还是小于零确定的，不等式x2axb<0的解集是x|2<x<3，则x=2，x=3是方程x2axb0的两根，求出a，b再解不等式解：因为不等式x2axb<0的解集是x|2<x<3，从而 a=23=5，b=(2×3)=6，于是6x25x1>0，即6x25x1<0因>0，方程 6x25x1=0 的两根为：故所求不等式的解集为小结：解一元二次不等式时，首先一定要使二次项系数

5、为正数，其次要知道解集是由方程的根来给出，从而知道解集时，可求不等式系数例4、假设国家收购某种农副产品的价格是120元/担，其中征税标准是每100元征税8元（叫做税率是8个百分点，即8%），计划可收购m万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点，要使此项税收在税率降低后不低于原计划的78%，试确定x的取值范围分析：此为应用题，关键是审好题，从中建立出数学模型进行求解解答：税率降低后是(8x)%，收购量为m(12x%)万担，税收为120m(12x%)(8x)%万元，原来的税收为120m·8%万元，根据题意可得120m（12x%）(8x)%120m

6、83;8%·78%，即x242x880，解之44x2，又 x>0， 0<x2，x 的取值范围是x|0<x2例5、若不等式组的整数解只有2，k应取怎样的值.分析：针对第二个不等式的解集展开讨论解：由，解得x<1或x>2，再由，得当时，的解为，这时原不等式组的解为，显然不包括2，不合题意，舍去；当时，的解为，这里原不等式组的解为（），或（）欲保证不等式组的解中只有整数解2，由（）可得k<2，由（）可得k3，即有3k<2.当，即时，无解，此时，不等式组也无解.综上所述，只有当时，原不等式组的整数解只有2.- 返回 -在线测试考试说明：测试时间限制仅

7、针对A卷A卷开始测试窗体顶端一、选择题1、不等式的解集为，则ab=（）A10B10C14D142、若一元二次不等式ax2bxc>0的解集为R，则（）Aa>0，<0 Ba<0，>0Ca>0，>0 Da<0，<03、已知集合M=x|x2x2<0，P=x|xa，若MP=，则实数a的取值范围是（）Aa|a<1 Ba|a2Ca|1<a<2 Da|a14、已知全集U=x|23xx20，A=，则CUA=（）Ax|1<x<2 Bx|1x2Cx|2x3 Dx|2x3或x=15、若的解集为x|2<x<4，则ab的

8、值为（）A BCD66、下列不等式中，与不等式0同解的是（）A(x3)(2x)0 B(x3)(2x)>0C0 D7、若方程x2(m2)x4=0有实根，则m的取值范围是（）Am|m6Bm|m2Cm| m6或m2 Dm| m6或m28、若方程组有实数解，则k的取值范围是（）Ak|k4Bk|k4Ck|k4或k4 Dk|4k4 第1题正确答案为 D第2题正确答案为 A第3题正确答案为 D第4题正确答案为 D第5题正确答案为 B第6题正确答案为 D第7题正确答案为 C第8题正确答案为 D 窗体底端B卷提示： 1、方程的两根为，所以，2、结合一元二次函数图像思考，易得结论A正确3、M=x|1<

9、x<2，MP=，a14、 U=x|x23x20=x|x1，或x2，A=x|(x1)(x3)>0=x|x<1，或x>3， CUA=x|2x3，或x=1如图5、解集中x取中间，即a<0由，得，6、显然（A）中多了2，（B）中少了3，（C）中多了2且少了3，所以选D7、=m24m120，解得 m6或m28、将y=xk代入，得，由0解得二、填空题9、当_时，函数y=x24x1的值等于零，当_时，函数y=x24x1的值是正数，当_时，函数y=x24x1的值是负数10、若对任何实数x，不等式kx2(k2)xk0恒成立，则k的取值范围是_11、关于x的方程7x2(m13)xm2

10、m2=0的两根，满足0<<1<<2，则m的取值范围是_.解答 9、xx|x=，或x=；xx|x，或x； xx|x10、不等式对一切x恒成立，故k应该满足k0且0，得k<2或k>11、答案：2<m<1或3<m<4提示：设y=7x2(m13)xm2m2，由2<m<1，或3<m<4.三、解答题12、x是什么实数时，有意义？解答 12、要使有意义，必须0，解得x4，或x313、k 是什么实数时，方程有实数根？解答 13、要方程有实数根，必须=0，即0，解这个不等式得 k4或k1214、对一切实数x，不等式ax2(a6)

11、x20恒成立，求a的值解答 14、由于不等式对一切x恒成立，故a应该满足 即所以2a1815、若不等式对一切 x 恒成立，求实数 m 的范围解答 15、 x28x20=(x4)24>0， 只须 mx2mx1<0 恒成立即可（1）当 m=0 时，1<0，不等式成立；（2）当 m0 时，则须解得4<m<0由（1）、（2）得：4<m0- END -高考解析1.（2009年天津卷）设函数f(x)=，则不等式f(x)>f(1)的解集是（）A（3，1）（3，）B.（3，1）（2，）C. （1，1）（3，）D.（，3）（1，3）答案：A所以f(x)>f(1)的

12、解集为（3，1）（3，），故选A解法二：f(1)=3，画出f(x)的图像如图易知f(x)=3时，x=3,1,3.故f(x)>f(1)3<x<1或x>3.2.（2009年山东卷）在R上定义运算：ab=ab2ab，则满足x(x2)<0的实数x的取值范围为（）A（0，2）B（2，1）C（，2）（1，）D（1，2）答案：B解析：根据题意得：x(x2)=x(x2)2x(x2)=x2x2，解x2x2<0得2<x<1,故选B3.（2009年陕西卷）若不等式x2x0的解集为M，函数f(x)=ln(1|x|)的定义域为N，则MN为（）A0，1）B（0，1）C0，1D（1，0答案：A解析：由x2x0，解得0x1,M=x|0x1.又1|x|>0,解得1<x<1,N=x|1<x<1.则MN=x|0x<1，故选A-END-课外拓展例1、实数p为何值时，对任意实数x不等式恒成立分析：分式不等式转化为一元二次不等式求解解：因为恒成立，所以原不等式等价于化简得由两个不等式的判别式均小于0，可得，解得例2、对任意实数，函数y=(x21)xa的图像与x轴恒有公共点，求实数a所应满足的条件分析：当0时，函数图象与x轴恒有公