高二竞赛讲义函数迭代与函数方程4

1、高二数学竞赛班一试讲义第4讲 函数迭代与函数方程班级 姓名 一、知识要点：1函数迭代：对于函数， 令，我 们将称为函数的次迭代。 思考：设，则，转化为数列递推。2函数方程：将含有未知函数的等式称为函数方程.3柯西方法解函数方程的步骤是：先求出对于自变量取所有自然数时函数方程的解具有的 形式，然后依次证明对自变量取整数值、有理数值以及实数值时函数方程的解仍具有这 种形式，从而得到函数方程的解。这种思维又叫“爬坡式推理”。 定理（柯西函数方程的解）若是单调连续函数且满足，则证明：由题设不难得 取，得 令，则，解得- （1） 令，则 令，则，得- (2) 令，由，得-(3)由上述（1），（2），（3

2、）知：对任意有理数均有。另一方面，对于任意的无理数，因连续，取以为极限的有理数序列，则有：综上所述，对于任意实数，有4递推法函数方程.二、例题精析例1设，且 求.（第32届美国普特南数学竞赛题）例2（1）设，令，求的表达式 （2）设，令，求的表达式例3用柯西方程解下列（单调连续）函数方程： （1），； （2），； （3），且。例4求所有的正实数对，使得函数满足：对任意实数，有 。（2013年高中数学联赛）例5设定义在0，2上的函数满足下列条件：对于，总有，且，；对于，若，则证明：（1）（）； （2）时，三、精选习题1设满足则的值域是 2已知函数满足：， 则_.3设，而，记，则 4设，记，则 5

3、. 设，记，则 6已知为一次函数，且，则 7用柯西方程解函数方程（1），求；（2）求.8已知函数。若对于任意，有恒成立，求实数的 取值范围。9已知函数且任意的、都有 ，求的表达式.10（2004年高中联赛试题）设函数，满足，且，都有 （1） 求.11已知定义域为的函数同时满足：（1）对于任意，总有；（2）；（3）若，则有。（）试求的值；（）试求函数的最大值；（）试证明：满足上述条件的函数对一切实数，都有。高二数学竞赛班一试讲义第4讲 函数与函数方程例1解 从原方程的形式可以看出，作变量代换是有作用的，带入得，把这个式子中的改写成，得 再令，代入得把换成，又得 把，联立，就可以看成是一个关于的三

4、元一次方程组。+-解之，可得 经验证这个函数满足原函数方程。例2（1）一般地，若，则把它写成，因而这里的就是方程的根一般地，方程的根称为函数的不动点如果是函数的不动点，则也是的不动点可用数学归纳法证明利用不动点能较快地求得函数的次迭代式（2）解：， 则，易为，得，（定义），所以，从而，例1（1）我们首先证明由所给的函数方程得知这就是说，对于x的任何实数值，f (x)的值是非负数. 我们进一步证明，对于x的任何实数值，f (x)不能是零. 实际上，一旦存在某个x0，能使f (x0)=0. 那末f (x)将恒等于零. 这是因为这样一来，就与我们在本节初对f (x)的单调性要求相矛盾了. 总之，对于

5、任何实数x，总有在所给的函数方程两边同时取对数，即得设，就有这样就把原函数方程化成了柯西方程. 柯西方程的解是正比例函数 即，这里，. （2）因函数的定义域是正实数. 故可设或 代入原函数方程得令，就有这是柯西方程. 所以有设则 ，所给函数方程的解是对数函数.（3），设，则这样就把原函数方程化成了柯西方程. 柯西方程的解是正比例函数，所以，则由得，所以 类似的，利用柯西函数方程的解，在连续或单调的条件下可得：(1)若f(xy)=f(x)f(y) (x0,y0),则f(x)=ax(2)若f(xy)=f(x)f(y) (x0,y0),则f(x)=(3)若f(xy)=f(x)f(y)kxy,则f(x

6、)=ax2bx(4)若f(xy)f(xy)=2f(x),则f(x)=axb例4令，则，得恒成立故有得，所有的正实数对满足条件例5证明：由知，函数图像关于直线对称，则根据可知：对于，若，则2分设，且，则, 在0，1上是不减函数 （1）,（2）对于任意，则必存在正整数，使得.因为在（0，1）上是不减函数，所以，由（1）知. 由可得，在中，令，得，而，又，时，.时，且，因此，时， 1 解：由将换为，有,两式消去得23解：因为，所以，而所以。即，故。4解 因为 所以 则5. 解：； ； ， 猜想 设n=k时上式成立,当n=k + 1时， 。 由数学归纳法知猜想正确.6解 设，显然.令，得，即为的不动点

7、.由定理1知，解之得，所以.7（1）解：由原方程得设 就有这是柯西方程. ，这里，所给函数方程的解是反比例函数.（2）8记，则。故 令，则，设，则，即 分三类情形讨论。（1）若，即时，只需 （2） 无解（3）综上， 或 9由题设，有· 又得上为奇函数. · 由得 于是10解 （方法1）在（1）中将互换，则有 （2）由（1），（2）得 （3）在（3）中令，则有 ，即.易证是方程（1）的解.（方法2）在（1）中令，得 （4）即 .为了求出，需要求，为此在（1）中令，得，从而有，代入（4）可得.11解：（）令，依条件（3）可得f(0+0) f(0)+f(0)，即f(0) 0。又由条件（1）得f(0) 0，则f(0)=0 （）任取，可知则 即，故于是当0x1时，有f(x)f(1)=1 因此，当x=1时，f(x)有最大值为1， （）证明：研究当时，f(x) 1<2x当时，首先，f(2x) f(x)+f(x)=2f(x)