数值分析第二线性方程组的直接方法

1、第二章线性方的直接ÅÅÅÅÅ消去法主元素法üü直接三角分解法ü平方根法与改进平方根法误差分析1讨论 n元线性方ì a11 x1 + a12 x2+ . + a1n xn = b1 ,ïaíx + ax + . + ax= b ,2112222nn2.ïïîan1 x1+ an 2 x2+ . + ann xn= bn .的直接解法.2Å 方的矩阵形式为Ax = b,其中æ a11a12 a22Man 2.O.a1n ö

2、0; x1 öæ b1 öç÷ç÷ç÷A = ç a21a2n ÷,x = ç x2 ÷,b = ç b2 ÷.ç÷ç÷ç M ÷MMMç÷ç÷ç÷è an1ann øè xn øè bn øÅ 若矩阵A非奇异, 即det(A)0,有唯一解.3则方Å

3、 解线性方: 直接和迭代法.的Å 直接解法是指,若不考虑计算过程中的舍入误差，经过有限次算术运算就能求出线性方的.精确解的但由于实际计算中舍入误差的存在,的近似解.用直接解法一般也只能求出方Å 迭代法是从解的某个近似值出发,通过构造一.一般地,个无穷序列去逼近精确解的内得不到精确解.有限步ÅCramer法则是一种不实用的直接法，下面介绍几种实用的直接法.4§1Gauss消去法ÅGauss消元法是一种规则化的消元法, 其基本思想是通过逐次消元计算, 把一般线性方的求解的求解.转化为等价的上三角形方5顺序Gauss消去法考虑线性方再消去最后一个方程

4、的x2得ì例= 1= -1ì= 1= -2ï3ï3ïíï- 5 x- 2 xíïïî323= 3î442 x= 73355消去后两个方程中的x1得消元结束.ì1=2ï x1= -= -ìï3xï xï1316=-x解: ííïî2经过ï- 6 x+ 6 xï x=ï3î6Å 消元过程:先逐次消去变量 x1,x2,将方化为.同解的

5、上三角形方Å过程:.按方程相反的顺序求解上三角形方Å 上过可推广到一般情况7= A,= b,= a= bA(1)b(1)a(1)b(1),记ijijii则线性方的增广矩阵为æ a (1)b(1) öa (1)a (1)a (1).O.ç÷1112131n1ç a (1)a (1)a (1)a (1)b(1) ÷21(1)31M(1)n122232n2(1)ççç÷÷÷=(1)(1)a (1)a (1)a (1)( A,b)ab32M33M3nM3M

6、1;÷a (1)a (1)a (1)(1)abèøn 2n 3nnna(1)(1)¹ 0,依次用 - li1= - i1,(i = 2,3,.,n)设 a11Å第一步.a (1)11乘矩阵的第1行加到第 i 行上, 得到矩阵:8æ a(1)b(1) öa(1)a(1)a(1).O.çç÷1100M012131n1a( 2)a( 2)a( 2)b( 2) ÷22232n2( 2)( A( 2) ,b( 2) ) = ç÷÷÷a( 2)a( 2)a(

7、 2)bçç32M33M3nM3Mç÷a( 2)a( 2)a( 2)( 2)bèøn2n3nnn其中a( 2)= a(1)- la(1) ,i, j = 2,3,., ni = 2,3,., n( 2)ijiji11 jb( 2)= b(1)- lb(1) ,iii11a( 2)¹ 0-= -=i 2a22li 2, (i3,4,., n)Å第二步.设依次用a( 2)22乘矩阵的第2行加到第i 行, 得到矩阵:9æ a(1)b(1) öa(1)a(1)a(1).O.çç

8、47;1100M012131n1a( 2)a( 2)a( 2)b( 2) ÷220M0232n2( 3)( A(3) ,b(3) ) = ç÷÷÷a( 3)a( 3)bçç33M3nM3Mç÷a( 3)a( 3)( 3)bèøn3nnna( 3)= a( 2)- la( 2) ,i, j = 3,4,., n其中ijiji 22 jb( 3)= b( 2)- lb( 2) ,i = 3,4,., niii 2210Å 如此继续消元下去, 第n-1步结束后得到矩阵:æ

9、 a(1)b(1) öa(1)a(1)a(1).Oçç÷1112131n1a( 2)a( 2)a( 2)b( 2) ÷22232n2( 3)( A( n) ,b( n) ) = ç÷÷÷a( 3)a( 3)bçç333nM3Mç÷a( n)( n)bèønnn这就完成了消元过程.11Å 对应的方变成：ì a(1) x+ a(1) x+ . + a(1) x= b(1) ,1111221nn1ïa( 2) x+ . +

10、 a(2) x= b( 2) ,ï2222nn2íïïîÅ 对此方.a(n ) x= b(n ) .nnnn的解.进行，就可求出方ì x= b( n)a( n) ,ïnnnnníåï xi =-i = n - 1, n - 2,L,1.( i )i( i )( i )(bax j )aii,ijîj=i +112Å 顺序Gauss消去法通常也简称为Gauss消去法.Å 顺序Gauss消去法中的 a(k )(k = 1,2,., n) 称为主元素.kk

11、97; 能用顺序Gauss消去法求解的条件是在消元过程中得到的主元必须全不为0，即Å 主元素都不为零Û矩阵A的各阶顺序主子式都不为零.13det( A ) = a(1)a(2) La(k )k1122kka(k ) ¹ 0,(k = 1,2,L, n)kkÅ 顺序Gauss消去法求解n元线性方的乘除运算量l 消元过程乘除运算量· 第1次消元乘除运算量:求 li1:(n1)共 (n21)次求ai (2):(n1)2j求bi:(n1)(2)14(n2 - 1)+ (n - 1)2 - 1)+ L + (12 - 1)l过程乘除运算量：求 xn:1求

12、 xn1:.2求 x1:n151 + 2 + L + nÅ 顺序Gauss消去法求解n元线性方的乘除运算量(n2 - 1)+ (n - 1)2- 1)+ L(12- 1)+ 1 + 2 + L + nnn= å(k 2k =1- 1) + å kk =1Å n=30时, 顺序Gauss消去法只需9890次乘除法运算.161 (n3 + 3n2 - n)3Å消去法优缺点：ü简单易行r要求主元均不为零,因而适用范围小r数值稳定性差17主元素法ì10-9 x+=x1212í例：单精度解方x1x2î687个8=

13、1.00.0100.,687个8x2= 2 - x1 = 0.99 . 9899.1精确解=-91 - 10x1Å 用顺序Gauss消去法计算：= a= 109l/ a2121118个= 1 - l´ 1 = 0.0.01´ 109- 109a( 2)小主元 可能导致计算失败.2221b ( 2 )=102 -9´ 1 »- 109l221éêù1- 1091- 10Þx2 =x1 = 0Þ1,ú90ëû18Å 若将方改写成:ì x1 + x2

14、= 2í-9î10x1 + x2 = 1用顺序Gauss消去法, 消元得ì x1 + x2 = 2íx= 1îx2=1,2解:x1=1与准确解非常接近.可见,第一种算法是不稳定的,第二种算法是稳定的.19Å 此例说明,在消元过程中,应避免选取绝对值较小的数作主元.如例中的第二种解法, 通过交换方程次序,选取绝对值较大的元素作为主元.基于这种想法导出了主元法.Å 为了提高计算的数值稳定性,在消元过程中采.用选择主元的主元消去法.常采用的是列主元消去法和全20列主元消去法Å 给定线性方Ax=b, 记 A(1)=A,b(

15、1)=b, 列主元Gauss消去法的具体过程如下:· 首先在增广矩阵 B(1)=(A(1), b(1)的第一列元素中,取· 然后进行第一步消元得增广矩阵 B(2)=(A(2), b(2).21a(1)k1= max1£ i £na(1)i1为主元素，第 k行与第1行互换.· 再在矩阵 B(2)=(A(2), b(2)的第二列元素中,取· 然后进行第二步消元得增广矩阵 B(3)=(A(3), b(3).继续进行下去, 经过 n-1按此元和消元运算, 得到增广矩阵B(n)=(A(n), b(n).Å 则方形方A(n)x=b(n)

16、是与原方等价的上三角, 可进行求解.Å 只要|A|¹0, 列主元Gauss消去法就可顺利进行.22a( 2)k 2= max2£i£na( 2)i 2为主元素，第k行与第2行互换.元素法| £ 1.Å 每一步选绝对值最大的元素为主元素，保证 | lik 选取| a ( k )| =| a ( k )| ¹maxk £ i , j £ n0 ;·Step k:ik jkijik ¹ kjk ¹ k IfIfthenthen交换第 k 行与第 ik交换第 k 列与第 jk行;列;

17、 消元注：列交换改变了 xi 的顺序，须解完后再换回来。交换次序，23例用主元素法求解线性方öæ x1 öæ11- 313-æö÷ç÷çx=çç÷÷ç2 ÷ç÷ç -÷ç x ÷ç -÷èøè3 øèø计算过程保留三位小数,方程的精确解为 x1 = 1,x2 =2,x3 =3.*24Å 解

18、 1. 按列主元素法，求解过程如下æ - 18- 10.9442.333- 15 ö31.167- 1æ6öç÷5.167ç÷00-3ç÷ç÷ç÷ç÷5è - 18- 1-èøøæ - 18- 10.9443.142- 15 ö31.1670æ - 1- 15öç÷5.167ç÷00ç÷-1

19、1;÷ç9.428÷ç÷èø1èø= 3.001,= 2.000,ì x3æ - 18- 12.3330.944- 15 ö3- 11.167ï xç÷í005ç÷2ïî x1ç5.167 ÷= 1.000.èø25消元Å 解 2. 按元素法，求解过程如下æ - 18- 12.3330.944- 15 ö3- 11.167

20、30;6öç÷ç÷005-3ç÷ç÷ç5.167 ÷ç÷è - 18- 1-èøøæ - 18- 1- 11.572= 2.000,= 3.000,= 1.000.- 15 ö32.3330æ - 1- 15öç÷ç÷005ç÷-1ç÷ç3.144÷ç÷è&#

21、248;1èøì x2æ - 18- 12.3330.944- 15 ö3- 11.167ï xç÷í005ç÷3ïî x1ç5.167 ÷èø26Å 例3的计算结果表明·元素法的精度优于列主元素法, 这是由于全主元素是在全体系数中选主元,差十分有效.故它对舍入误· 但互换,元素法在计算过程中,需同时作行与列的因而程序比较复杂,计算时间较长.· 列主元素法的精度虽然稍低于元素法,但其计算

22、简单,践均表明, 定性.工作量大为减少,且计算经验与理论实它与元素法同样具有良好的数值稳· 列主元素法是求解中小型稠密线性方之一.的最好27§2直接三角分解法Gauss消元法的矩阵表示æ a11a13 öæöa12a11+aaa12a+aaa13+ arrça÷ça÷21a+aaaaaaç23 ÷ç13 ÷21222111221223ç a÷ça÷+ br1r3+baa+baa+baè33 ø&#

23、232;13 ø31323111321233两者等价a12æ 1öæa11a13öçç a÷ç÷÷ = ça21 +aa11a22 +aa12a23 +aa13 ÷ç b÷ça÷+baa+baa+baèøè13 ø311132123328Ån=3时Gauss消元法的矩阵表示æ a11a12a13 öA = ç a÷aaaaç23

24、 ÷2122ç a÷è33 ø3132æ a11a12a13( 2)ö其中 a( 2)= a- laç÷ijiji11 ja( 2)=( 2)00aa:Aç÷i ³ 2,j ³ 22223( 2)33ç÷a( 2)èø32两者等价29L A = A(2)1æ100öç÷L1 = ç - l2110÷,ç - l01÷è31øl=

25、 a3131a11l= a21 ,21a11æ a11a12a13( 2)ö= ç÷A( 2)a( 2)00aaç÷2223( 2)33ç÷a( 2)èø32æ a11a12a13( 2)öç÷a( 3)= a( 2)- la( 2)a( 2)=( 3)00aa:A其中ç÷3333322322023( 3)33ç÷èø两者等价30L A( 2) = A( 3)2æ 100ö&#

26、231;÷L2 = ç 010÷,ç÷è 0- l321ø( 2)l= a3232a( 2)22A( 3) = L A( 2)= L L A Þ221æ0öæ 10ö10100 10 01 001001001010ç:- l÷ç0®0÷0L-10 l1 lç÷ç÷12121ç - l1÷ç 01÷èøèø31

27、31æ 10öæ 10ö010 10 01 00100100 10 01 001ç0÷ç0®0÷0L-1:ç÷ç÷2ç 01÷ç 01÷- llèøèø3232æ 100öæ 100öæ 100öL-1L-1 = ç l10÷ç 010÷ = ç l10÷12ç

28、; 21÷ç÷ç 21÷ç l01÷ç 0l1÷ç ll1÷è 31øè32øè 3132øA = L-1 L-1 A( 3)1232U : 矩阵A经Gauss消元法后得到的上三角矩阵.aaa( 2)L :l=21 ,l=31 ,l32 =32.21a31aa( 2)111122条件:a¹ 0,a(2) ¹ 0.1122æ 100öæ a11a12aöA = 

29、1; l10÷ça(2)a(2) ÷ = LUç÷ç2223 ÷ç ll1÷ça( 3) ÷èøè33 øæ22743öç÷7 ÷A = ç4的三角分解.例求矩阵ç - 25÷èøæ22743öæ 22363öæ 22303ö解ç÷7 ÷ç÷

30、;1 ÷ç÷1 ÷A = ç® ç 0® ç 04ç - 25÷ç 08÷ç 06÷èøèøèø= - 2 = -1,= 4 = 2,= 6 = 2.lll213132223æ22743öæ1öA = ç÷ç7= LU =÷42ç÷ç÷ç - 25÷

31、ç -÷èøèø 33Å 上述 n=3的情形可以推广到一般情形, 例如 n=4æ a11a14 öa12a22a13a23ç÷a24 ÷A = ç a21ç a÷aaaç34 ÷313233è a41a42a43a44 øæ a11a12a13a14( 2)öç÷÷÷÷øa( 2)a( 2)000a aa® ç

32、;222324( 2)34( 2)ççèa( 2)a( 2)3233a( 2)a( 2)42434434l= a( 2)a( 2) ,424222l= a( 2)a( 2) ,323222l41 = a41a11 ,l31 = a31a11 ,l21 = a21a11 ,æ a11öa12a13a14( 2)çç÷÷÷÷øa( 2)a( 2)000a22002324® ççèa( 3)a( 3)3334( 3)44a( 3)a43

33、30; aöç) ÷® ç÷) ÷ççè÷) ø35l= a( 3)a( 3) ,43433336U : 矩阵A经Gauss消元法后得到的上三角矩阵.l= a21 ,l= a31 ,l= a41 ,21a31a41a111111L :a( 2)a( 2)a( 3)l32 =32,l42 =42,l=43.a( 2)a( 2)43a( 3)222233æ 1000öæ a11a12a13a14 öç÷ç

34、47;ç l100÷ç 0a( 2)a( 2)a( 2) ÷A = ç 21÷ç222324÷ = LUll1000a(3)a(3)ç 3132÷ç3334÷è lll1øè 000a(4) ø41424344条件:a¹ 0,a(2) ¹ 0,a(3) ¹ 0.112233æ 45 öæ 45ö278612311236010282300例ç8÷10

35、ç0÷0A = ç÷ç÷ç 46 ÷ç 01÷çè12÷20øçè 0÷5ø1020æ 45öæ 45ö23001028ç0÷0ç0÷0ç÷ç÷ç 01÷ç 01÷çè 0÷5øçè 0÷1

36、øæ 4215 öæ 1000öæ 42öç÷ç÷ç÷A = ç 87210 ÷ = ç100÷ç 0300÷ = LUç 4836 ÷ç÷ç 0021÷ç÷ç÷ç÷è1261120øèøè 0001øl42 = 0 3 = 0l

37、43 = 8 2 = 4l32 = 6 3 = 2l41 = 12 4 = 3l31 = 4 4 = 1l21 = 8 4 = 2Gauss消元法的矩阵表示ai1a( k )L : li1 = a, 2 £ i £ n,lik=ik, k + 1 £ i £ n, 2 £ k < n.11a( k )kkU : 矩阵A经Gauss消元法后得到的上三角矩阵.38A = (aij )n´n = LUDoolittle分解æ 1öæ a11a12a13La1n öç÷

38、1;÷ç l1÷ça( 2)a( 2)La( 2) ÷2122232n= ç ll1÷ça(3)La(3) ÷ç 3132÷ç333n ÷ç MMMO÷çOM÷ç lllL1÷ça( n) ÷è n1n2n3øènnø条件: a¹ 0,a(2) ¹ 0, L, a(n-1)¹ 0.1122n-1 n-1矩阵的三角分解定

39、理设 A 为n 阶方阵, 若 A 的前(n-1)阶顺序主子式 Ai ( i =1, 2, , n-1)均不为0, 则矩阵A唯一的Doolittle分解.性：唯一性：39反证法A = a a( 2) La( i )i1122iiDoolittle分解中 LU 的另一求法ÅDoolittle分解中 LU 元素的求解次序æ1öæ u11u12u13Lu1n öç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç l211u22u23Lu2n 

40、47;A = ç l31u3n ÷1u33Lç÷MOLOMç÷ç l1÷ç÷èøèøn140unnMln3l32Mln2ÅDoolittle分解中 LU 元素的求解æöæ u11u1n ö1u12u22u13 u23u33LLLOç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷u2n ÷ç l

41、211l32MA = ç l31u3n ÷1Mçç÷÷MOLMç l1÷ç÷lluèøènn øn1n2n3· 右端用矩阵乘法展开, 比较两边的第1行和第1U的第一行ai1 = li1u11ÞL的第一列41li1 = ai1u11a1 j = u1 j ,1 £ j £ n·假设已求得U 的前(r -1)行和 L的前(r -1)列,r >1.下面求U 的第 r 行和 L 的第 r 列.· 右

42、端用矩阵乘法, 比较两边的第 r行的后(nr+1)个元素arj =L的第r行行向量与U的第j列列向量的内积( j ³ r )= arj - (lr1u1 j+ lr 2u2 j + L + lr r -1ur -1r £ j £ nÞ urjj ),U的第r行42(u1 j , L, ur -1 j , urj , L, ujj , 0,L, 0)(lr1 ,L,lr r -1 ,1,0,L,0)·U的第r行r £j £ n43urj = arj - (lr1u1 j + lr 2u2 j + L + lr r -1ur -

43、1 j )= a- æ L的第r行的前(r - 1)个分量与ö内积.rjç÷的è U的第j列的前(r - 1)个分量 ø· 右端用矩阵乘法, 比较两边的第 r列的后(nr)个元素air =L的第i行行向量与U的第r列列向量的内积( i > r )ß+ L + ll= (a)- (l+ lu, r < i £ nuuui r -1r -1 ririri11ri 22rrrL的第r列44(u1r , L, ur -1r , urr , 0, L, 0)(li1 , L, li r -1 , lir

44、 , Lli i -1 , 1, 0, L, 0)·L的第r列= (air - (li1u1r+ li 2u2r + L + li r -1ur -1 r )lirurr= æ a- æ L的第i行前(r - 1)个分量与öö内积ç÷øç÷的uirrrè U的第r列前(r - 1)个分量øèr < i £ n45矩阵三角分解的紧凑格式( j = 1,2,L, n)(i = 2,3,L, n)对r=2,3, n,( j = r, r + 1,L, n)

45、(i = r + 1,L, n)46lir=air - (li1u1r + li 2u2r + L + lir -1ur -1r )urrl= ai1i1u11u1 j = a1 jMOOMMMOMMMM æ22743öç÷7 ÷例 用紧凑格式求矩阵 A = ç4的三角分解.ç - 25÷èø解(2)2(2)2(3)3(4)(7)(7)(-2) - 2 = -1(4)(5)2æ1öç÷A = ç÷ = LU2ç -÷

46、èø475 - (-1) ´ 3- 2 ´ 1 = 64 - (-1) ´ 2 = 237 - 2 ´ 3 = 17 - 2 ´ 2 = 34 = 22Ø 直接三角分解法或Doolittle分解法.y先求Ly=b,再求 Ux=y,得 y;得x.Doolittle分解法48Ax = b Û LUx = bÅLy=bæ 1öæ y1 öæ b1 öççl21ç÷ç÷ç&#

47、247;1Mln2÷ç y2 ÷ = ç b2 ÷÷ç÷ç M ÷MO.Mç÷ç÷ç÷1øè yn øè bn øèln1Þn(n - 1) .· 乘除运算量为249ì y1 = b1 ,ïk -1íï y= b - ål y ,k = 2,3,L, nî kkkiii =1ÅUx=y&#

48、230; u11öæ x1 öæ y1öu12u22.Ou1nççççè÷ç÷ç÷u2n ÷ç x2 ÷ = ç y2 ÷÷ç÷ç÷MMM÷ç÷xç÷yunn øèn øèn ø=ì xnynunn ,nÞ ïæ

49、;öí x- å u= ç y÷i = n - 1, n - 2,L,1xu,ïçj ÷iiijiièøîj=i +1n(n + 1) .· 乘除运算量为250- 1 2- 7æ 23 öæ x1 öæ 9 öç÷ç÷ç÷8 ÷ç x2 ÷ = ç 32÷例 用直接三角分解法解ç 4ç 6

50、10÷ç x÷ç 22÷èøè3 øèø解(-1)(2)(3)23(4)(2)(8)(-7)(6)-40æöæ 2öç÷ç÷A = ç2÷ = LU÷ç 0ç÷ç÷-øè 03øè51(10)10 - 3 ´ 3- (-1) ´ 2= 38 - 2 ´ 3 =

51、 2- 7 - 3 ´ (-1) = -146 = 322 - 2 ´ (-1) = 44 = 22- 1Å 先求Ly=b得 yæ 1öæ y1 öæ 9 öç÷ç÷ç÷÷ç y2 ÷ = ç 32÷Þç 2ç 31- 11÷ç y ÷ç 22÷èøè3 øèø

52、;Å 再求 Ux=y得x-æöæ x1 öæ y1 öæöç÷ç÷ç÷ç÷÷ç x2 ÷ = ç y ÷ = çÞç÷ç÷ç x ÷ç y ÷ç 9 ÷èøè3 øèøèø52&#

53、230; x1 öæ 1 öç÷ç÷ç x2 ÷ = ç 2÷ç÷ç÷è x3 øè 3øæ y1 öæ 9 öç÷ç÷ç y2 ÷ = ç14÷ç÷ç÷è y3 øè 9 øÅ 解线性方Ax=b 的

54、 Doolittle三角分解法的计算量约为n3/3, 与Gauss消去法相同.Å 由于在求出uij, lij 和 yi 后, aij和bi就无需保留了,故上机计算时, 可把 L, U和yA, b所占单元,x 取代 y, 整个计算过程中不需要增加新的单元.Å 在列系数矩阵相同而右端项不同的线性方Ax=b(k),(k=1, 2 , m) 时 (如求逆矩阵), 用三角分解法更为简便. 每解一个方增加 n2 次乘除法运算.Ax=b(k) 仅需要53Crout分解定理设 A 为n 阶方阵, 若 A 的前(n-1)阶顺序主子式 Ai ( i =1, 2, , n-1)均不为0, 则矩阵

55、A可以唯一分解为其中 L 为下三角阵,U 为上三角阵.54A = LU列主元的三角分解定理设 A 为n 阶非奇异方阵, 则排列矩阵P,使得下三角阵且 |lij|£1,其中 L 为U 为上三角阵. (在同样条件下,也可推出PA有Crout分解)定义(排列阵)换后而得到的矩阵.阵经若干次两行互55PA = LU如何求PA=LU中的P,L,Ué- 11343 ù例：求A = ê 110ú的列主元三角分解PA = LU .êêë 2命令：ú6 úûa=-1 1 3;1 3 10;2 4 6l,

56、u,p=lu(a)如何笔算？56é- 11343 ù例：求A = ê 110ú的列主元三角分解PA = LU .êêë 2ú6 úûæ - 11343 öæ243126 öA = ç÷ç÷10解10¾¾ ¾交换第1，3两行¾¾®121ç÷ç÷ç6 ÷ç - 13 ÷è&

57、#248;èø431æ6öæ2413431 36öç÷ç÷7 ÷ ¾¾¾¾®ç - 1 2交换2，3行6÷7 ÷¾第¾一¾次消¾元®ç1 2çç - 1 26÷1 2èøèøæ26öç÷问: P = ?L = ?U = ?57¾&

58、#190;¾¾®ç - 1 2第二次消元6÷5÷ç1 2èøé- 11343 ù例：求A = ê 110ú的列主元三角分解PA = LU .êêë 2ú6 úû解æöæ 24306öæ 00011öL = ç÷U = ç 0÷6P = ç 1÷0ç÷ç

59、7;ç÷ç÷ç 05÷ç 00÷èøèøèøæ21 2431 36öç÷6问: P = ?L = ?U = ?58¾¾ ¾¾® -第二次消元ç÷ç5÷1 2èø对角方的追赶法对角方Ax = d特殊的稀疏矩阵59æ b1c1öæ x1öæ d1ö

60、31;÷ç÷ç÷ç a2b2c2÷ç x2÷ç d2÷çOOO÷çM÷ = çM÷ç÷ç÷ç÷çan-1bn-1cn-1 ÷ç xn-1 ÷ç dn-1 ÷çab÷ç x÷ç d÷ènn øèn øè

61、n øÅ, 热微分方程边值问题的差分离散方传导方程以及船体数学中建立的三次样条函数的三.转角或三弯矩方均为三对角方Å 追赶法是求三对角线性方的三角分解法.Å 追赶法本质上是Gauss消元法.60例 4阶三对角矩阵的三角分解æ b1c1böæ b1c1öça÷÷ç0÷ l= ab( 2)cçççèb( 2)cçççè÷÷22a3233222c3 ÷b3a4ab

62、c÷b4 ø3 ÷33a4b4 øæ b1c1 b20öæ b1c1öçç 0ççè÷÷÷çç 0ç÷÷÷÷ø61( 2)c2b( 2)c202b( 3)c( 3)b3c3(4)3 ÷3a4çèb4 ø0b4b(4) = b - l c4443b(3) = b - l c3332l= ab(3)443b(2) = b

63、- l c2221l2 = a2b1例 4阶三对角矩阵的三角分解æ b1c1 b2a3öçç a2ççè÷÷c2 b3a4c3 ÷÷b4 øæ 1öæ b1c1öçç lççè÷÷÷÷1øçç 0ççè÷÷÷÷ø62b( 2)1c2202b

64、( 3)l1c3303(4)lb44上二对角阵下二对角阵Å三对角矩阵的三角分解工程中得到的三对角阵多数满足此条件定理 设三对角矩阵A满足下ì| b1 |>| c1|> 0| + | c|> 0ï b|³| aa c ¹ 0 (2 £ i £ n - 1)|,í|对角占优阵iiiiiï| b |>| aînn则它可以分解成A=LUæb1c1 b2Oöæ 1öæöçça2çç&

65、#231;÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷÷÷÷c2Oan-1çlc÷÷ =çObn-1 alOO÷çcn-1 ÷O Ocn-nçç÷ç÷ç÷bluèøèøèønnn下二对角阵上二对角阵63Å三对角矩阵三角分解中LU的求解次序&#