高中数学(人教A版选修2-2)练习：1.3.3函数的最大(小)值与导数

1、课时提升作业(七)函数的最大(小)值与导数一、选择题(每小题3分，共18分)1.函数f(x)=x3-4x+4在区间-3，4上的最小值为()A.-B.-12C.-1D.-9【解题指南】先对函数f(x)求导，然后令导函数等于0求出x的值，然后判断端点值和极值的大小进而得到最小值.【解析】选C.因为f(x)=x2-4，所以由f(x)=0，得x=±2.因为f(-3)=7，f(-2)=，f(2)=-，f(4)=，所以f(x)min=f(2)=-，故选C.2.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在-2，2上有最大值3，则m的值是()A.-37B.-29C.-5D.3【解析】选D.f(x)

2、=6x2-12x，由f(x)>0，得x<0或x>2，故f(x)max=f(0)=m，故选D.3.(2014·石河子高二检测)设M，m分别是函数f(x)在a，b上的最大值和最小值，若M=m，则f(x)()A.等于0B.小于0C.等于1D.不确定【解析】选A.因为M=m，所以f(x)为常数函数，故f(x)=0，故选A.4.(2014·信阳高二检测)已知a，b为正实数，函数f(x)=ax3+bx+2x在0，1上的最大值为4，则f(x)在-1，0上的最小值为()A.-B.C.-2D.2【解题指南】先求导函数f(x)，再分别判断函数f(x)在区间0，1和-1，0上的

3、单调性，从而求出最大值(含a，b的式子)，求出最小值(含a，b的式子)，最后将a+b整体代入即得结果.【解析】选A.因为a，b为正实数，函数f(x)=ax3+bx+2x，所以导函数f(x)=3ax2+b+2xln2，因为a，b为正实数，所以当0x1时，3ax20，2xln2>0，所以f(x)>0，即f(x)在0，1上是增函数，所以f(1)最大且为a+b+2=4a+b=2又当-1x0时，3ax20，2xln2>0，所以f(x)>0，即f(x)在-1，0上是增函数，所以f(-1)最小且为-(a+b)+将代入得f(-1)=-2+=-，故选A.5.(2014·聊城高二

4、检测)函数y=x+2sinx在区间上的最大值是()A.B.C.+D.以上都不对【解析】选C.y=x+2sinx，则y=1+2cosx.当x时，y>0，此时函数y=x+2sinx单调递增；当x时，y<0，此时函数y=x+2sinx单调递减.所以当x=时，y=x+2sinx取到最大值为+，故选C.【误区警示】此题易出现直接把两个端点的函数值作为最大值或最小值的错误.6.(2014·桂林高二检测)已知函数f(x)=x2-2x+loga在内恒小于零，则实数a的取值范围是()A.a<1B.0<aC.0<a<D.a【解题指南】求出函数f(x)的定义域，f(x)

5、在内恒小于零等价于f(x)max<0，求出导数f(x)，分0<a<1，a>1两种情况利用导数求出f(x)的最大值即可.【解析】选A.f(x)=x2-2x+loga，因为a>0，且>0，所以定义域为x|x>1，f(x)=2x-2-.当0<a<1时，<0，所以在x时，f(x)>0，函数f(x)在上是增函数，要满足题意，须f0，即：-3+loga(2a)0，即：loga2-，解得：a.又0<a<1，所以a<1.当a>1时，由f(x)=0得：x=1+，当x<1+时，f(x)<0，当x>1+时，f

6、(x)>0，由此得函数f(x)在x<1+时是减函数，在x>1+时是增函数，而f=-3+loga(2a)=loga2+>0，所以a>1时，不能保证在内f(x)恒小于0，故a>1不合题意，舍去.综上，所求实数a的取值范围为a<1.故选A.二、填空题(每小题4分，共12分)7.(2014·连云港高二检测)当x-1，1时，函数f(x)=的值域是_.【解析】因为f(x)=，所以f(x)在区间(-1，0)上是减函数，f(x)在区间(0，1)上是增函数，所以当x=0时，f(x)取得最小值0.因为f(-1)=e，f(1)=，显然最大值为e，所以f(x)的值域

7、为0，e.答案：0，e8.已知函数f(x)=x3-3x+m在区间-3，0上的最大值与最小值的和为-1，则实数m的值为_.【解题指南】求出函数的导函数令其等于零求出函数的极值点，分区间讨论函数的增减性得到函数的最值，求出m即可.【解析】据题意可知，f(x)=3x2-3，令f(x)=0得x=±1；因为函数在区间-3，0上有最值，所以x=1舍去，x=-1.-3<x<-1时，f(x)>0，函数为增函数；x=-1时，f(x)=0，所以f(x)极大值为f(-1)=2+m.-1<x<0时，f(x)<0，函数为减函数，又因为f(-3)=-18+m，f(0)=m且-

8、18+m<m<2+m，所以f(x)的最大值为f(-1)=2+m，最小值为f(-3)=-18+m，函数f(x)=x3-3x+m在区间-3，0上的最大值与最小值的和为-1，所以m+2+(-18+m)=-1，2m=15，m=7.5.答案：7.59.若函数f(x)=(a>0)在1，+)上的最大值为，则a的值为_.【解析】f(x)=，令f(x)=0，解得x=或x=-(舍去)，当x>时，f(x)<0；当0<x<时，f(x)>0；当a>1时，f(x)max=f()=，=<1，不合题意，所以0<a<1.所以f(x)max=f(1)=，解得

9、a=-1.答案：-1三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2014·赣州高二检测)已知函数f(x)=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c-16.(1)求a，b的值.(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在-3，3上的最小值.【解析】(1)因f(x)=ax3+bx+c，故f(x)=3ax2+b，由于f(x)在点x=2处取得极值，故有即化简得解得(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c，f(x)=3x2-12，令f(x)=0，得x1=-2，x2=2，当x(-，-2)时，f(x)>0，故f(x)在(-，-2)上为增函数；当x(-2，2)时，f(x)<0，故f(x)在

10、(-2，2)上为减函数；当x(2，+)时，f(x)>0，故f(x)在(2，+)上为增函数.由此可知f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=16+c，f(x)在x2=2处取得极小值f(2)=c-16，由题设条件知16+c=28，得c=12，此时f(-3)=9+c=21，f(3)=-9+c=3，f (2)=c-16=-4，因此f(x)在-3，3上的最小值为f(2)=-4.【变式训练】已知函数f(x)=mx3+nx，y=f(x)的图象以点P为切点的切线的倾斜角为.(1)求m，n的值.(2)求函数y=f(x)在-2，1上的最大值和最小值.【解题指南】(1)求导函数，利用y=f(x)的图象以点

11、P为切点的切线的倾斜角为，建立方程组，即可求得m，n的值.(2)求导函数，确定极值点，求出端点函数值与函数的极值，即可求得函数y=f(x)在-2，1上的最大值和最小值.【解析】(1)求导函数，可得f(x)=3mx2+n，由题意有解得m=，n=-1.(2)由(1)知f(x)=x3-x，所以f(x)=2x2-1，令f(x)=2x2-1=0，可得x=±.列表x-2-1f(x)+0-0+f(x)-极大值极小值-由上表可知f(x)的最大值为，最小值为-.11.(2013·广东高考)设函数f(x)=(x-1)ex-kx2(kR).(1)当k=1时，求函数f(x)的单调区间.(2)当k时

12、，求函数f(x)在0，k上的最大值M.【解析】(1)当k=1时，f(x)=(x-1)ex-x2，求导可得f(x)=xex-2x=x(ex-2)，令f(x)=0可得x=0，x=ln2，则当x<0时，f(x)>0；当0<x<ln2时，f(x)<0；当x>ln2时，f(x)>0；所以函数f(x)的单调递增区间是(-，0)，(ln2，+)，单调递减区间是(0，ln2).(2)对f(x)=(x-1)ex-kx2求导可得f(x)=ex+(x-1)ex-2kx=x(ex-2k)，因为k，所以2k(1，2，令f(x)=0可得x=0，x=ln(2k)，显然0<ln

13、(2k)ln2而ln2<1.则当0<x<ln(2k)时，f(x)<0.当x>ln(2k)时，f(x)>0.所以函数f(x)的单调递增区间是(ln(2k)，+)，单调递减区间是(0，ln(2k).令g(k)=ln(2k)-k，则g(k)=-1=0，又当k=1时，g(k)=0，所以g(k)在上递增，所以gln2-1=ln2-lne<0，从而ln(2k)<k，所以ln(2k)，所以当x(0，ln(2k)时，f(x)<0；当x(ln(2k)，k)时，f(x)>0；所以M=max=max，令h(k)=(k-1)ek-k3+1，则h(k)=k(e

14、k-3k)，令(k)=ek-3k，则(k)=ek-3e-3<0，所以(k)在上递减，而·(1)=(e-3)<0，所以存在k0使得(k0)=0，且当k时，(k)>0，当k(k0，1)时，(k)<0，所以h(k)在上单调递增，在(k0，1)上单调递减.因为h=-+>0，h(1)=0，所以h(k)0在上恒成立，当且仅当k=1时取得“=”.综上，函数f(x)在上的最大值M=(k-1)ek-k3.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014·聊城高二检测)已知a>0，设函数f(x)=+sinx(x-a，a的最大值为M，最小值为N)，那么M+N=

15、()A.0B.2014C.4028D.4029【解析】选C.因为f(x)=+sinx，设g(x)=，则g(x)=2015-，因为2015x是R上的增函数，所以g(x)是R上的增函数.函数g(x)在-a，a上的最小值是g(-a)，最大值是g(a).函数sinx是奇函数，它在-a，a上的最大值与最小值互为相反数，最大值与最小值的和为0，所以函数f(x)的最大值M与最小值N之和M+N=g(a)+g(-a)=+2015-=4030-=4030-=4030-2=4028，故选C.2.已知f(x)=x3-ax在1，+)上是单调增函数，则a的最大值是()A.0B.1C.2D.3【解析】选D.f(x)=3x2

16、-a0在1，+)上恒成立，即：a3x2在1，+)上恒成立，而(3x2)min=3×12=3.所以a3，故amax=3.故选D.3.已知函数f(x)=x3-x2-3x+，直线l1：9x+2y+c=0，若当x-2，2时，函数y=f(x)的图象恒在直线l的下方，则c的取值范围是()A.(0，+)B.(-，-6)C.(-6，+)D.(-，0)【解题指南】先根据题意得到不等式x3-x2-3x+<-x-，然后转化为c<-x3+2x2-3x-成立，即求在闭区间上的最小值问题；先对函数g(x)=-x3+2x2-3x-求导判断单调性，即可求出最小值，进而得到答案.【解析】选B.因为当x-2

17、，2时，f(x)=x3-x2-3x+恒在直线9x+2y+c=0的下方，所以x3-x2-3x+<-x-在x-2，2上恒成立，即c<-x3+2x2-3x-在x-2，2上恒成立，令g(x)=-x3+2x2-3x-，所以g(x)=-2x2+4x-3.因为g(x)=-2x2+4x-3<0恒成立，所以函数g(x)单调递减，函数g(x)在x-2，2上的最小值为g(2)=-6.所以c<-6即可满足条件.4.(2014·长沙高二检测)若0<x<，则4x与3sin2x的大小关系为()A.4x>3sin2xB.4x<3sin2xC.4x=3sin2xD.与x

18、的取值有关【解析】选D.令2x=t，因为0<x<，所以t，则4x=2t，3sin2x=3sint，令f(t)=2t-3sint，则f(t)=2-3cost，由f(t)=2-3cost>0，得cost<，由f(t)=2-3cost<0，得cost>，因此2t与3sint的大小与t的取值有关，亦即4x与3sin2x的大小与x在区间上的取值有关.二、填空题(每小题5分，共10分)5.f(x)=ax3-3x+1对于x-1，1总有f(x)0成立，则a=_.【解析】若x=0，则不论a取何值，f(x)0显然成立；当x>0即x(0，1时，f(x)=ax3-3x+10可

19、化为a-，设g(x)=-，则g(x)=，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)max=g=4，从而a4；当x<0即x-1，0)时，f(x)=ax3-3x+10可化为a-，设g(x)=-，则g(x)=，所以g(x)在区间-1，0)上单调递增，因此g(x)min=g(-1)=4，从而a4.综上，a=4.答案：46.设直线x=t与函数f(x)=x2，g(x)=lnx的图象分别交于点M，N，则当MN达到最小时t的值为_.【解析】设函数y=f(x)-g(x)=x2-lnx，求导数得y=2x-=，当0<x<时，y<0，函数在上为单调减函数，当x>时，y&

20、gt;0，函数在上为单调增函数，所以当x=时，所设函数的最小值为+ln2，所求t的值为.答案：三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2014·秦皇岛高二检测)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象经过原点，f(1)=0，曲线y=f(x)在原点处的切线到直线y=2x+3的角为135°.(1)求f(x)的解析式.(2)若对于任意实数和，不等式|f(2sin)-f(2sin)|m恒成立，求m的最小值.【解析】(1)由题意有f(0)=c=0，f(x)=3x2+2ax+b且f(1)=3+2a+b=0，又曲线y=f(x)在原点处的切线的斜率k=f(0)=b，而直线y=2x+

21、3到此切线所成的角为135°，所以=-1.联立解得a=0，b=-3，所以f(x)=x3-3x.(2)|f(2sin)-f(2sin)|m恒成立等价于|f(x)max-f(x)min|m，由于2sin-2，2，2sin-2，2，故只需求出f(x)=x3-3x在-2，2上的最值，而f(x)=3x2-3，由f(x)=0得x=±1，列表如下：x-2(-2，-1)-1(-1，1)1(1，2)2f(x)+0-0+f(x)-22-22所以f(x)max=2，f(x)min=-2，所以|f(x)max-f(x)min|=4m，所以m的最小值为4.8.(2014·丽水高二检测)已知函数f(x)=lnx-ax+b，其中a，bR.(1)求函数f(x)的单调区间.(2)若a=1，b0，2，且存在实数k，使得对任意的实数x1，e，恒有f(x)kx-xlnx-1，求k-b的最大值.【解题指南】(1)求导数f(x)，分a0，a>0两种情况