二阶线性微分方程的解法

1、二阶线性微分方程的解法张宁 摘要变系数二阶线性常微分方程求解的研究是微分方程理论中一个十分重要的部分.本文着重讨论变系数二阶线性微分方程化为常系数二阶线性微分方程的方法.关键词 变系数二阶线性微分方程;自变量变换Second Order Linear Differential Equation and Application Maple Abstract Variable Coefficient Differential Equations of Second Order Linear Ordinary Differential Equations theory research is a v

2、ery important part.This article focuses Discussion coefficient linear differential equation of second order linear differential equations with constant coefficients into the method. Keywords Second order linear differential equations with variable coefficients; Independent variable transformation1.引

3、言变系数二阶线性常微分方程求解十分困难,除了计算非常复杂的级数解法外,至今还没有一个普遍的方法,而级数解法计算量大,而且不能得到解析解,不便于理论上的分析.因此,变系数二阶线性常微分方程求解的研究是微分方程理论中一个十分重要的部分.2.几类典型二阶线性方程的解法考虑变系数二阶齐线性方程: (1)其中,为上的连续函数.2.1 用线性变换化为常系数方程 方程(1)在 下可变为: (2)直接验算这表明是方程(1)在线性变换下的不变量.以下把它记为.有了这个事实,我们即有如下的定理:定理1 方程(1)在某个 下能化为常系数方程的充要条件是常数.且当条件满足时,取即可把(1)化为常系数方程.【1】2.2

4、 在自变量变换下可化为常系数方程的类型若总是假定在区间上恒正或者恒负,且在上可微,所作的自变量变换为满足.不难知道,在下方程(1)可变为 (3)事实上,记,则上式表明为方程在自变量变换下的不变量.以下把它记为. 从上面可知,利用方程(3)可将方程(1)在下变为其中当时取“+”号,当时取“-”号,于是有下面的定理:定理2 方程(1)在区间上可通过某个自变量的变换化为常系数方程的充要条件为常数.且当条件满足时,取即可把(1)化为常系数方程.【1】常数变易法,算子解法也是最常见的二阶线性方程的解法，这里不多做介绍了。3.变系数二阶线性微分方程的常系数化法3.1 化变系数方程为常系数方程对于任何一个二

5、阶线性变系数常微分方程:在保持方程线性不变的前提下,变系数二阶线性常微分方程只能通过自变量的变换,未知函数的变换,自变量和未知函数的联合变换三种变换方式实现常系数化法.3.1.1 利用自变量的变换实现常系数化为了保持方程的线性齐次性,可以令,则方程化为:其中,.可见方程经过自变量的变换保持线性齐次性.若要使方程常系数化,则在上式中应同时满足: (常数),(常数)联立两式求解,可得到结论:若方程满足判别式 (常数)则通过变换 可以将方程化为常系数方程: 常数时方程可以常系数化,通常选取使式最简单,便确定.3.1.2 利用未知函数的齐次线性变换实现常系数化令,其中为的已知函数,为的未知函数,方程可

6、化为: 其中,.在的变换下,方程保持线性齐次性.若要使方程常系数化,则应该同时满足: (常数),(常数)解得: 代入得结论:若方程的系数满足判别式:(常数),则经变换,方程可常系数化为: 常数时方程可经未知函数的线性变换常系数化,通常选取使的表达式最简单.3.1.3 通过自变量和未知函数的联合变换实现常系数化若判别式常数,即通过自变量的变换不能使方程常系数化,但变换式使得: (常数),对方程继续做变换,方程化为:其中,.可见,变换后方程仍是线性齐次的.选择,使得(常数),即,代入,若能使(常数)则是常系数的.由于(常数),为常数,得到结论:只要判别式(常数),方程可经自变量和未知函数的联合变换

7、:,化为: 通常选取常数使的表达式最简单,由确定.3.1.4 变系数方程常系数化求解的步骤(1)对于任何一个变系数二阶线性常微分方程,首先将方程化为标准形式,然后确定,.(2)对于一般的方程,可以依次检验判别式,是否为常数,从而决定方程能否常系数化.若能常系数化需要什么样的相应变换,化为什么样的常系数方程,然后解得方程.(3)对于一些特殊的方程,如:为常数,只要检验,就可以,因为这时一定不是常数.若为常数,只需要检验,此时不是常数,而与在判别的作用上等价.4.结束语本文讨论了几类典型的变系数方程的解法.但对于其它类型的变系数微分方程，特别是一些高阶变系数微分方程化为常系数微分方程没有讨论,有待于进一步的研究和讨论.参考文献1钱伟长.微分方程的理论及其解法.北京:国防工业出版社,1992.2肖建海.几类典型的二阶线性方程的解法.数学通报.1999,(3):37-39.3钱祥征.常微分方程解题方法.长沙:湖南科技出版社,1