常见递推数列通项的求法

1、常见递推数列通项的求法由递推式所确定的数列通项公式问题，往往将递推关系式变形转化为我们熟知的等差数列或等比数列，从而使问题简单明了。类型1、 型思路：利用迭加法，将，=，=,各式相加，正负抵消，即得.例1、在数列中，,，求通项公式.解：原递推式可化为： 则 ， 逐项相加得：.故.例2在数列中，且，求通项.解：依题意得，把以上各式相加，得【评注】由递推关系得，若是一常数，直接可得是一等差数列；若是关于的一个解析式，将递推式中的分别用代入得个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。例3、已知数列满足，求数列的通项公式。解：由 得则所以评注：本题解题的关键

2、是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。练习： 已知满足，求的通项公式。 已知的首项，（）求通项公式。 已知中，求。类型2 型思路：利用累乘法, 将各式相乘得，即得.例4在数列中，求通项.解：由条件等式得， 得. 【评注】此题亦可构造特殊的数列，由得，则数列是以为首项，以1为公比的等比数列，得.例5、设数列是首项为1的正项数列，且（n=1,2,3），则它的通项公式是=解：原递推式可化为： =0 0， 则 ， 逐项相乘得：，即=.练习：1、已知：，（）求数列的通项。2、已知中，且求数列通项公式。类型3、 型思路：利用待定系数法，将化为的形式，从而构造新数列是以为首项，以为公比的等比数

3、列.1.（A、B为常数）型递推式可构造为形如的等比数列。2.型递推式可构造为形如的等比数列。 3.C为常数，下同）型递推式可构造为形如的等比数列。例6数列满足，求. 解：设，即对照原递推式，便有故由得，即，得新数列是以为首项，以2为公比的等比数列。，即通项【评注】本题求解的关键是把递推式中的常数“”作适当的分离，配凑成等比数列的结构，从而构造出一个新的等比数列。练习：1、已知满足，求通项公式。 2、已知中，（）求。同类变式1、已知数列满足，且，求通项分析：（待定系数），构造数列使其为等比数列， 即，解得 求得2、已知：，时，求的通项公式。解：设 解得： 是以3为首项，为公比的等比数列 3、已知

4、数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得 ， 则，故因此， 则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出+，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。4. 已知数列的前项和满足 写出数列的前3项； 求数列的通项公式.解：（1）由，得. 由,得,由,得(2)当时,有,即 令,则, 与比较得,是以为首项,以2为公比的等比数列.,故5、已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则x=1，代入式， 得由0及式，得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通

5、项公式，最后再求出数列的通项公式。类型4、取倒数例8、已知数列中，其中，且当n2时，求通项公式。解： 将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.例10、，求解：即 则例11、数列中，求的通项。解： 设       类型5、取对数法例12 若数列中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=解 由题意知0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列， ，即.类型6、平方（开方）法例13、 若数列中，=2且（n），求它的通项公式是.解 将两边平方整理得。数列是以=4为首项，3为公差的等差数列。因为0，所以。

6、七、利用数学归纳法求通项公式例12 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得 由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当n=1时，所以等式成立。（2）假设当n=k时等式成立，即，则当时， 由此可知，当n=k+1时等式也成立。根据（1）（2）可知，等式对任何八、利用换元法求通项公式例13 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则故，代入得 即因为，故 则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则+3，即，得。评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。九、利用不动点法求通项公式例14 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项例15 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则x=1是函数的不动点。因为，所以，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故。评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的根，进而可推出，从而可知数列为等差数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。十、利用