平面向量数量积的物理背景及其含义

1、课题：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 教材分析：向量的数量积是一种新的乘法，它是在学生学习了一种新的概念（既有大小又有方向的量叫）向量，并对向量的线性运算、坐标表示、以及基本定理做了深入的研究之后才引入的。既是对向量知识的补充，同时也为后面学习做好了铺垫。所以通过本节内容来真正理解向量，通过向量解决实际问题才是关键。学情分析：面对这部分的内容，学生既熟悉又陌生。对于物理上功的概念公式，学生熟记于心，但是能够真正理解它的概念却又有一定的难度。所以，只是机械的记住向量的数量公式是必须，但是更重要的是让学生领会平面向量数量积的含义。教学目标：知识与技能 通过本节课的学习，让学生掌握平面向

2、量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律。了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题，掌握向量垂直的条件。过程与方法 通过对物理概念功的理解，让学生类比联想两个向量数量积的含义，培养学生探索精神和动手能力。 情感、态度和价值观 让学生经历由实例到抽象的数学定义的形成过程，性质、运算律的发现到论证过程，进一步感悟数学联系实际的本质，激发学生探索研究的能力。重难点：重点：平面向量的数量积定义、性质、运算律的发现与论证。难点：平面向量的数量积、向量的投影及运算律的理解教学过程一、 引入我们前面学习了一个新的量叫做向量，那么对于这种既有大小，又有方向的量。那么这种新的量除了已经学过的

3、先行运算，是否还有其他的运算性质和规律呢？接下来就让我们一起探究。 探究一： 通过物理上功的定义，你是否能从中找出向量的相关知识呢？ 我发现了：1、 两个向量： 向量F和S 2、 向量的夹角 向量F和S的夹角 3、功与两个力的一个等式 WFS cosq 通过探究引入平面向量数量积定义平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有，（）.并规定向量与任何向量的数量积为0.思考：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的

4、符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若¹，且=0，不能推出=.因为其中有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c.但是 = 如右图：= = ，= =|Þ = 但 (5)在实数中，有(a×b)c = a(b×c)，但是 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而

5、右端是与a共线 的向量，而一般a与c不共线.二“投影”的概念：作图 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值； 当q为钝角时投影为负值； 当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 |b|； 当q = 180°时投影为 -|b|.三向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影的乘积.探究二：两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，1、ab Û = 02、当与同向时， = ； 当与反向时， = - 特别的 = |a|2或 | cosq = 探究三：平面向量数量积的运算律1交换律：=证：设a，b

6、夹角为q，则a × b = |a|b|cosq，b × a = |b|a|cosq a × b = b × a2数乘结合律：证：若> 0，(a)×b =|a|b|cosq， (a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cosq，若< 0，(a)×b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq.3分配律：

7、 在平面内取一点O，作= a， = b，= c， a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2， c×(a + b) = c×a + c×b 即：(a + b)×c = a×c + b×c说明：（1）一般地，(·)（·）（2）··，0（3）有如下常用性质：，（）（）····三、讲解范例：例1证明：()·例2已知|a|=12， |b|=9，求与的夹角。例3已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求：（1）(a+2b)·(a-3b). （2）|a+b|与|a-b|. （ 利用 ） 例4已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直. 四、课堂练习：1P106面1、2、3题。 2下列叙述不正确的是（ ）A. 向量的数量积满足交换律 B. 向量的数量积满足分配律C. 向量的数量积满足结合律 D. a·b是一个实数3|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-