抽象函数不抽象

1、抽象函数不“抽象”襄樊第二十四中学 任颖君 襄樊四中 魏荣举导读抽象函数是指没有给出具体的函数表达式的函数摘要：抽象函数是指没有给出具体的函数表达式，由于其解析式隐含不露而高度抽象，加之其与函数的单调性、奇偶性等众多性质联系紧密，所以问题类型众多，解题方法复杂多变。关键词：抽象函数；赋值；化归抽象函数是指没有给出具体的函数表达式，只给出了函数所具有的某些性质或运算特征的一类函数，由于其解析式隐含不露而高度抽象，解决此类问题时往往很棘手。下面我们通过几道题目的解析以获得一些具体的解题策略。题1：设f(x)定义在R上且对任意的x有f(x)=f(x+1)-f(x+2),则它的一个周期为_.解析：将x

2、换成x+1得f(x+1)=f(x+2)-f(x+3),两式相加得f(x+3)=-f(x),故f(x+6)=f(x),即f(x)的一个周期为6.评注这里使用的便是“赋值”的策略，通过恰当的赋值使得函数的周期性逐步凸显出来。下面我们再来看一道题目：已知函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足以下三条件： 当x1、x2是定义域中的数时，有f(x1-x2)=; f(a)=-1,(a>0,a是定义域中的一个数) 当0<x<2a时，f(x)<0.试问：函数f(x)是否为周期函数？说明理由。解析：令x1=x,x2=a得f(x-a)= =,故f(x-2a)=-,所以f(x-4a)=f(

3、x),即函数f(x)是周期函数，它的一个周期为4a.反思：以上两例中分别按1和a进行迭代，主要是题目的条件所决定的，也是值得我们思考的。题2：已知定义域为R的函数f（x）满足f(f(x)-x2+x)= f(x)-x2+x.若有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求f(x)的解析式. 解析：令f(x)-x2+x=t，则f(t)=t,由题意得t是唯一的。又f(t)-t2+t=t,解之得t=0或1，经检验t=0不合题意，故t=1，即f(x)=x2x+1. 评注该题的抽象性是很强的，破解的关键是方程有且仅有一个实根，可考虑通过换元进行问题的转化，再通过赋值解之。下面我们再来看一道题目：已知函数f

4、（x）在R上有意义，对任意实数a>0和任意实数x都有f(ax)=af(x),试求函数f（x）的解析式。解析：令x=1得f(a)=af(1),再令x=-1的f(-a)=af(-1), 令x=0得f(0)=0,下记f(1)=k,f(-1)=h,则 .反思：通过对上述两题的处理，我们对求解析式的题目有了一定的了解，这里的关键就是变量的可变性。题3：已知定义域为R的函数f（x）满足：（1） 值域为（-1,1），且当x>0时，-1<x<0;（2） 对于定义域内的任意实数m,n均满足f(m+n)=.试回答下列问题：(1)判断并证明函数f（x）的单调性；(2)若函数f（x）存在反函数

5、g(x),求证：g()+g()+-+g()>g().解析：(1)先证明函数为奇函数：令m=n=0得f(0)=0,再令m+n=0得f(-m)=-f(m),即证。设x1<x2,则f(x2)-f(x1)= f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)(1+ f(x2)f(x1),由条件（1）易得上式为负，故函数f（x）为减函数。(2) 先证明g(p)+g(q)=g().设f(m)=p,f(n)=q,则g(p)=m,g(q)=n,代入（2）得f(g(p)+g(q)= ,故g(p)+g(q)=g().又g(x)也为奇函数，则g(p)-g(q)=g().又g()=g()=g()=g()-g()故

6、g()+g()+-+g()=g()-g()>g()显然成立，即证。评注：该题的条件与结论之间距离较大，我们通过对结论的分析转化为对条件的挖掘，使命题者的意图逐步显现出来，从而找到解题的路径。下面我们再来看一道题目：已知函数f(x)（xR）满足对任意实数x1，x2都有，其中是大于0的常数，设实数a0,a,b满足f(a0)=0和b=a-f(a). 试证明： (1) 1并且不存在b0a0满足f(b0)=0;（2）；（3）.证明：（1）由已知得，故1。下用反证法。假设存在b0a0满足f(b0)=0，则与性质矛盾。（令x1=b0,x2=a0易得），即证.（2）注意到=-2（a-a0）f(a)+= -2（a-a0）f(a)-f(a0)+ -2+=(1-),即证.（3）考虑=+2f(a)f(b)-f(a)+ =+2f(b)-f(a)+ =,即证.通过以上题目的学习，我们对抽象函数的问题有了初步的了解。其实，抽象函数也是函数，适合函数的方法也普遍适用于抽