数学归纳法说课课件

1、 数学归纳法及其应用举例是人教社全数学归纳法及其应用举例是人教社全 日制普通高级中学教科书数学第三册日制普通高级中学教科书数学第三册( (选修选修II)II)第二章第一节的内容，本节共第二章第一节的内容，本节共3 3课时，这是第课时，这是第1 1课时课时, , 主要内容是数学归纳法理解与简单应用主要内容是数学归纳法理解与简单应用 在高一，学生已经学了用不完全归纳在高一，学生已经学了用不完全归纳 法推导等差数列、等比数列的通项公法推导等差数列、等比数列的通项公式，数学归纳法是数列知识的深入与扩展式，数学归纳法是数列知识的深入与扩展. .纵观高中数学纵观高中数学, ,数学归纳法是一个重难点内容数学

2、归纳法是一个重难点内容, ,也是一种重要的数学方法也是一种重要的数学方法, ,可以使学生学会一种研究数学的科学方法可以使学生学会一种研究数学的科学方法 重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析 难点：数学归纳法中递推思想的理解难点：数学归纳法中递推思想的理解 我所在的学校是省属重点中学，所教我所在的学校是省属重点中学，所教 的班级是平行班，学生基础还不错的班级是平行班，学生基础还不错. .我我按照大纲要求，结合学生情况，补充了一些问题情境和按照大纲要求，结合学生情况，补充了一些问题情境和数学实例以烘托重点，突破难点数学实例以烘托重点，突破

3、难点 学生经过中学五年的数学学习，已具学生经过中学五年的数学学习，已具 有一定的推理能力，数学思维也逐步有一定的推理能力，数学思维也逐步向理性层次跃进，并逐步形成了辨证思维体系但学生向理性层次跃进，并逐步形成了辨证思维体系但学生自主探究问题的能力普遍还不够理想自主探究问题的能力普遍还不够理想 学生对等差（比）数列、数列求和、学生对等差（比）数列、数列求和、 二项式定理等知识有较全面的把握二项式定理等知识有较全面的把握和较深入的理解，同时也具备一定的从特殊到一般的归和较深入的理解，同时也具备一定的从特殊到一般的归纳能力，但对归纳的概念是模糊的纳能力，但对归纳的概念是模糊的 努力创设课堂愉悦情境，

4、使学生处于积努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积 极思考、大胆质疑的氛围，提高学生学极思考、大胆质疑的氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率让学生经历知识的构建过程习的兴趣和课堂效率让学生经历知识的构建过程, , 体会类比的体会类比的数学思想数学思想 让学生领悟数学思想和辩证唯让学生领悟数学思想和辩证唯 物主义观点；体会研究数学问物主义观点；体会研究数学问题的一种方法题的一种方法, , 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神的意识和科学精神 了解归纳法了解归纳法, , 理解数学归纳的原理与实理解数学归纳的原理与实 质掌握两个步骤；会证明简单的

5、与自质掌握两个步骤；会证明简单的与自然数有关的命题培养学生观察然数有关的命题培养学生观察, ,分析分析, ,思考思考, ,论证的能力论证的能力, , 发展发展抽象思维能力和创新能力培养学生大胆猜想，小心求证的辨证抽象思维能力和创新能力培养学生大胆猜想，小心求证的辨证思维素质以及发现问题，提出问题的意识和数学交流的能力思维素质以及发现问题，提出问题的意识和数学交流的能力 借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素 材材, ,促进学生对促进学生对“递推原理递推原理”的理解，的理解，为学生掌握数学归纳法提供形象化的参照，为教学难点为学生掌握数学归纳法提供形象化的参照，为教学难点

6、突破提供感性基础突破提供感性基础 采用类比启发探究式教学方法进行教采用类比启发探究式教学方法进行教 学学. .数学归纳法的教学立足于学生的逻数学归纳法的教学立足于学生的逻辑思维能力和推理能力辑思维能力和推理能力, ,在旧知识体系的基础上构建新的在旧知识体系的基础上构建新的知识锁链教学中注重观察与思考知识锁链教学中注重观察与思考, ,比较与类比比较与类比, ,分析与分析与综合综合, ,概括与特殊化等知识发生发展与形成的思维过程概括与特殊化等知识发生发展与形成的思维过程 在教学过程中，我不仅要传授学生课在教学过程中，我不仅要传授学生课 本知识，还要培养学生主动观察、主本知识，还要培养学生主动观察、

7、主动思考、亲自动手、自我发现等学习能力，增强学生的动思考、亲自动手、自我发现等学习能力，增强学生的综合素质，从而达到较为理想的教学终极目标综合素质，从而达到较为理想的教学终极目标创造学习情境，提供学习内容创造学习情境，提供学习内容. .新旧知识作用，搭建新知结构新旧知识作用，搭建新知结构. .巩固认知结构巩固认知结构, , 充实认知过程充实认知过程. .(1) 不完全归纳法引例 明朝刘元卿编的明朝刘元卿编的应谐录应谐录中有一个笑话：财主的儿子学写字这中有一个笑话：财主的儿子学写字这则笑话中财主的儿子得出则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横四就是四横、五就是五横”的结论，用的结论，用的

8、就是的就是“归纳法归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的(2) 完全归纳法对比引例 有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些他给每人一筐有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，案大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁

9、、两仁的，总共不过一把花生显然，二徒弟比大徒弟聪明的，总共不过一把花生显然，二徒弟比大徒弟聪明 不完全归纳法得到的结论不一定正确不完全归纳法得到的结论不一定正确, 但也可能正确但也可能正确; 完全归纳法得完全归纳法得到的结论虽然正确到的结论虽然正确, 但比较费事但比较费事. 这两个引例为学生创设一个问题情境这两个引例为学生创设一个问题情境, 加加深学生对归纳法的认识深学生对归纳法的认识, 同时也为本节课的后续教学开启了学生的思维同时也为本节课的后续教学开启了学生的思维 (1) 不完全归纳法实例给出等差数列前四项给出等差数列前四项, , 写出该数列的通项公式写出该数列的通项公式(2) 完全归纳法

10、实例证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况一边上三种情况 从生活走向数学，我与学生一起回顾以前学过的数学知识心理从生活走向数学，我与学生一起回顾以前学过的数学知识心理学强调在已有认知结构基础上展开学习与教学，因此在这里我安排了学强调在已有认知结构基础上展开学习与教学，因此在这里我安排了一个不完全归纳法的实例（数列通项）与一个完全归纳法的实例（圆一个不完全归纳法的实例（数列通项）与一个完全归纳法的实例（圆周角定理），进一步加强归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学周角定理），进一步加强归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过

11、归纳习中其实早已接触过归纳 问题问题1 1 已知已知 = (nN= (nN* *), ),(1)(1)分别求分别求 , , , ., , , .(2)(2)由此你能得到一个什么结论由此你能得到一个什么结论? ? 这个结论正确吗这个结论正确吗? ?na2255)( nn1a2a3a4a 问题问题2 2 费马（费马（Fermat）是）是1717世纪法国著名的数学家，他曾认为，世纪法国著名的数学家，他曾认为，当当nN N时，时， 一定都是质数，这是他对一定都是质数，这是他对n0 0，1 1，2 2，3 3，4 4作作了验证后得到的后来，了验证后得到的后来，1818世纪伟大的瑞士科学家欧拉（世纪伟大的

12、瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了却证明了 4 294 967 2974 294 967 2976 700 4176 700 417641641，从而否定了费，从而否定了费马的推测没想到当马的推测没想到当n5 5这一结论便不成立这一结论便不成立 122n1252 问题问题3 3 , ,当当nN时，是否都为质数？时，是否都为质数？ 验证：验证： f（0）41，f（1）43，f（2）47，f（3）53，f（4）61，f（5）71，f（6）83，f（7）97，f（8）113，f（9）131，f（10）151， ， f（39）1 601 但是但是 f（40）1 681 ，是合数是合数 41)(2nn

13、nf241 在生活引例与学过的数学知识基础上，再引导学生看数学在生活引例与学过的数学知识基础上，再引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳的普遍性同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大师都可能如法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大师都可能如此那么，有没有更好的方法呢？这里，我努力培养学生大胆此那么，有没有更好的方法呢？这里，我努力培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力概括能力是思维能力的核心鲁猜想的意识和数

14、学概括能力概括能力是思维能力的核心鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的心理学认为宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的心理学认为“迁移就迁移就是概括是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程找的突破口就是学生的概括过程 多米诺成功的关键有两点：多米诺成功的关键有两点：(1) (1) 第一张牌被推倒；第一张牌被推倒； (2) (2) 假如某一张牌倒下假如某一张牌倒下, , 则它的后一张牌必定倒下则它的后一张牌必定倒下于是于是, , 我们可以下结论：我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下多米诺骨牌会全部倒下搜索：搜索

15、：再举几则生活事例：推倒自行车再举几则生活事例：推倒自行车, , 早操排队对齐等早操排队对齐等(1)当当n1时等式成立；时等式成立； (2) 假设当假设当nk时等式成立时等式成立, 即即ak=a1+(k1)d , 则则 ak+1=ak+d=a1+(k+1)-1d, 即即 nk1时等式也时等式也 成立成立 于是于是, 我们可以下结论：等差数列的通项公式我们可以下结论：等差数列的通项公式 an=a1+(n1)d 对任何对任何nN*都成立都成立类比多米诺现象过程类比多米诺现象过程, , 证明等差数列通项公式证明等差数列通项公式. .证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：证明一个与正整数有关的命题关

16、键步骤如下：(2) 假设当假设当nk (kN*, kn0 ) 时结论正确时结论正确, 证明当证明当nk1时结论也正确时结论也正确完成这两个步骤后完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从开就可以断定命题对从开始的所有正整数始的所有正整数n都正确都正确这种证明方法叫做这种证明方法叫做数学归纳法数学归纳法(1) 证明当证明当n取第一个值取第一个值n = n0 时结论正确时结论正确;例题例题 在数列在数列na中, 1a1, nnnaaa11(n ),*N先计算先计算2a，3a，4a的值，再推测通项的值，再推测通项 的公式的公式, ,na最后证明你最后证明你的结论的结论我首先给出一道要求学生先猜想后证明的

17、例题，这是我首先给出一道要求学生先猜想后证明的例题，这是一道灵活的训练题，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能一道灵活的训练题，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能教给学生做数学的方法，培养学生独立研究数学问题的意教给学生做数学的方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力识和能力 （1）（第）（第63页例页例1）用数学归纳法证明：）用数学归纳法证明： 135（2n1）n2 .（2）（第）（第64页练习页练习3）首项是）首项是a1 , 公比是公比是 q 的等比数列的等比数列 的通项公式是的通项公式是 an=a1qn1. 这两道题是针对本节课的内容呈现了一组这两道题是针对本节课的内容呈现了一组“比较组织者

18、比较组织者”. 例例1与等差数列通项公式的证明差不多与等差数列通项公式的证明差不多, 套用数学归纳法的证明步骤不难套用数学归纳法的证明步骤不难解答解答, 因此我把它作为练习因此我把它作为练习, 这样既考虑到学生的能力水平这样既考虑到学生的能力水平, 也不冲淡也不冲淡本节课的重点本节课的重点. 练习练习3恰好是等比数列通项公式的证明恰好是等比数列通项公式的证明, 与前者是一个与前者是一个对比与补充对比与补充(1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；(2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全

19、归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；完全归纳法；(3) 数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推(递归递归)思想，它的使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可思想，它的使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；(4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想分类思想、归