二次函数存在性问题总复习试题及解答

1、 初中数学二次函数存在性问题总复习试题及解答1（10广东深圳）如图，抛物线y ax 2c （a 0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （2,0），B （1, 3） (1）求抛物线的解析式；(2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；(3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S P AD 4S ABM 成立，求点P 的坐标答案：（1）、因为点A 、B 均在抛物线上，故点A 、B 的坐标适合抛物线方程403a c a c +=+=- 解之得：14a c =-；故24y x =-为所求(2）如图2，连接BD ，交y

2、 轴于点M ，则点M 就是所求作的点 设BD 的解析式为y kx b =+，则有203k b k b +=-+=-，12k b =-，故BD 的解析式为2y x =-；令0, x =则2y =-，故(0,2 M -(3、如图3，连接AM ，BC 交y 轴于点N ，由（2）知，OM=OA=OD=2，90A M B = 易知BN=MN=1， 易求AM BM =122A B M S = ；设2(, 4 P x x -，依题意有：214422A D x -=，即：2144422x -=解之得：x =，0x =，故 符合条件的P 点有三个： 1234, (4, (0,4 P P P -图222 (10北

3、京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = -41-m x 2+45m x +m 2-3m + 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2，n 在这条抛物线上。 (1 求点B 的坐标；(2 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的 垂线，与直线OB 交于点E 。延长PE 到点D 。使得ED =PE 。 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动 时，C 点、D 点也随之运动当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求 OP 的长；若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2

4、个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动 。过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F 。延长QF到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q点运动时，M 点，N 点也随之运动 。若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值。 答案：解：(1 拋物线y = -41-m x 2+45m x +m 2-3m +2经过原点，m 2-3m +2=0，解得m 1=1，m 2=2，由题意知m 1，m =2，拋物线的解析式为y = -41x 2+25x ，点B (2，n 在拋物线y = -41

5、x 2+25x 上，n =4，B 点的坐标为(2，4 。(2 设直线OB 的解析式为y =k 1x ，求得直线OB 的解析式为 y =2x ，A 点是拋物线与x 轴的一个交点，可求得A 点的 坐标为(10，0 ，设P 点的坐标为(a ，0 ，则E 点的坐标为 (a ，2a ，根据题意作等腰直角三角形PCD ，如图1。可求 得点C 的坐标为(3a ，2a ，由C 点在拋物线上，得 2a = -41(3a 2+253a ，即49a 2-211a =0，解得a 1=922，a 2=0(舍去 ，OP =922。依题意作等腰直角三角形QMN ，设直线AB 的解析式为y =k 2x +b ，由点A (10

6、，0 ， 点B (2，4 ，求得直线AB 的解析式为y = -21x +5，当P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：第一种情况：CD 与NQ 在同一条直线上。如图2所示。可证DPQ 为等腰直角三角形。此时OP 、DP 、AQ 的长可依次表示为t 、4t 、2t 个单位。PQ =DP =4t ， t +4t +2t =10，t =710。第二种情况：PC 与MN 在同一条直线上。如图3所示。可证PQM 为等腰直角三3角形。此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位。OQ =10-2t ，F 点在直线AB 上，FQ =t ，MQ =2t

7、 ，PQ =MQ =CQ =2t ，t +2t +2t =10，t =2。 第三种情况：点P 、Q 重合时，PD 、QM 在同一条直线上，如图4所示。此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位。t +2t =10，t =310。综上，符合题意的t 值分别为710，2， 310。3（10贵州遵义）如图，已知抛物线 0(2+=a c bx ax y 的顶点坐标为Q (1, 2-，且与y 轴交于点C (3, 0，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD y 轴， 交AC 于点D (1求该

8、抛物线的函数关系式；(2当ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；(3在问题(2的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上， 问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在， 求点F 的坐标；若不存在，请说明理由答案：解：（1）抛物线的顶点为Q （2，-1） 设(122-=x a y将C （0，3）代入上式，得(12032-=a1=a(122-=x y ， 即342+-=x x y(2）分两种情况：当点P 1为直角顶点时, 点P 1与点B 重合(如图令y =0, 得0342=+-x x解之得11=x , 32=x点A 在点B 的右边, B(1,0, A(3,0P 1(1,0解

9、:当点A 为APD 2的直角顶点是(如图 4OA=OC, AOC= 90, OAD 2= 45当D 2AP 2= 90时, OAP 2= 45, AO 平分D 2AP 2又P 2D 2y 轴, P 2D 2AO, P 2、D 2关于x 轴对称.设直线AC 的函数关系式为b kx y +=将A(3,0, C(0,3代入上式得=+=bb k 330, =-=31b k 3+-=x yD 2在3+-=x y 上, P2在342+-=x x y 上, 设D 2(x , 3+-x , P2(x , 342+-x x (3+-x +(342+-x x =0 0652=+-x x , 21=x , 32=x

10、 (舍 当x =2时, 342+-=x x y=32422+-=-1P 2的坐标为P 2(2,-1(即为抛物线顶点 P 点坐标为P 1(1,0, P2(2,-1(3解: 由题(2知, 当点P 的坐标为P 1(1,0时, 不能构成平行四边形当点P 的坐标为P 2(2,-1(即顶点Q 时,平移直线AP(如图 交x 轴于点E, 交抛物线于点F. 当AP=FE时, 四边形PAFE 是平行四边形 P(2,-1, 可令F(x ,1 1342=+-x x解之得: 221-=x , 222+=xF 点有两点, 即F 1(22-,1, F2(22+,14（10湖北黄冈）已知抛物线2(0 y ax bx c a

11、=+顶点为C （1，1）且过原点O. 过抛物线上一点P （x ，y ）向直线54y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）.(1）求字母a ，b ，c 的值；(2）在直线x 1上有一点3(1, 4F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时PFM 为正三角形；(3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM PN 恒成立，若存在请求 出t 值，若不存在请说明理由. 答案：（1）a 1，b 2，c 0(2）过P 作直线x=1的垂线，可求P 的纵坐标为14，横坐标为1. 此时，MP MF PF 1，故MPF 为正三角形. (3）不存在. 因为当t 54，

12、x 1时，PM 与PN 不可能相等，同理，当t 54，x 1时，PM 与PN 不可能相等.5（10辽宁丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（8，0），点N 的坐标为（6，4）(1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ， 点N 的对应点为B ， 点H 的对应点为C ）； (2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；(3）截取CE =OF =AG =m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；

13、面积S 是否存在最小值? 若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；(4）在（3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此6时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由答案：（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC A ，B ，C 三点与M ，N ，H 分别关于点O 中心对称， A （0，4），B （6，4），C （8，0） (写错一个点的坐标扣1分）(2）设过A ，B ，C 三点的抛物线关系式为2y ax bx c =+， 抛物线过点A （0，4），4c =则抛物线关系式为24y ax bx =+将B （6，4）， C （8，0）两点坐标代入关系式，

14、得3664464840a b a b +=+=，O MN CE D(6，4y7解得1432a b =-=，所求抛物线关系式为：213442y x x =-+ (3）OA =4，OC =8，AF =4m ，OE =8m AG F EO F BEC EFG B ABC O S S S S S =-四边形梯形 21=OA （AB +OC ）12-AF AG 12-OE OF 12-CE OAm m m m m 421 8(21 4(2186421-+=）（2882+-=m m ( 0m 4）2(4 12S m =-+ 当4m =时，S 的取最小值 又0m 4，不存在m 值，使S 的取得最小值 (4

15、）当2m =-+GB =GF ，当2m =时，BE =BG 6已知：函数y =ax 2+x +1的图象与x 轴只有一个公共点 (1）求这个函数关系式；(2）如图所示，设二次函数y =ax 2+x +1图象的顶点为B ，与y 轴的交点为A ，P 为图象上的一点，若以线段PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ，求P 点的坐标；(3）在(2中，若圆与x 轴另一交点关于直线PB 的对称点为M ，试探索点M 是否在抛物线y =ax 2+x +1上，若在抛物线上，求出M 点的坐标；若不在，请说明理由答案：解：（1）当a = 0时，y = x +1，图象与x 轴只有一个公共点 当a 0时，=1- 4a =

16、0，a = 14，此时，图象与x 轴只有一个公共点 函数的解析式为：y =x +1 或y =14x 2+x +1(2）设P 为二次函数图象上的一点，过点P 作PC x 轴于点C y =ax 2+x +1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为： y =14x 2+x +1，则顶点为B （-2，0），图象与y 轴的交点 坐标为A （0，1）以PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B PB AB 则PBC =BAORt PCB Rt BOAAOBC OBPC=，故PC =2BC ，设P 点的坐标为(x ，y ，ABO 是锐角，PBA 是直角，PBO 是钝角，x -2BC =-2-x ，PC =-4-2

17、x ，即y =-4-2x ， P 点的坐标为(x ，-4-2x 点P 在二次函数y =14x 2+x +1的图象上，-4-2x 14 x 2+x +1解之得：x 1=-2，x 2=-10x -2 x =-10，P 点的坐标为：(-10，16(3）点M 不在抛物线y =ax 2+x +1 上由（2）知：C 为圆与x 轴的另一交点，连接CM ，CM 与直线PB 的交点为Q ，过点M 作x 轴的垂线，垂足为D ，取CD 的中点E ，连接QE ，则CM PB ，且CQ =MQQE MD ，QE =12MD ，QE CECM PB ，QE CE PC x 轴 QCE =EQB =CPBtan QCE =

18、 tanEQB = tanCPB 12CE =2QE =22BE =4BE ，又CB =8，故BE 85 ，QE =165Q 点的坐标为(-185 ，165可求得M 点的坐标为(145 ，32514145 2+(145=14425325 C 点关于直线PB 的对称点M 不在抛物线y =ax 2+x +1 上 7（10重庆潼南）如图, 已知抛物线c bx x y +=221与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）.(1）求抛物线的解析式；(2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE x 轴于点D ，连结DC ，当DCE 的面积最大时，

19、求点D 的坐标；(3）在直线BC 上是否存在一点P ，使ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由. 9答案：解：（1）二次函数c bx x y +=221的图像经过点A （2，0）C(0,1-=+122c c b解得： b =21 c =1二次函数的解析式为121212-=x x y(2）设点D 的坐标为（m ，0） (0m 2） OD =m AD =2-m 由AD E AOC 得，OCDE AOAD =122DE m =-DE =22m -CDE 的面积=2122m -m=242m m +-=41 1(412+-m当m =1时，CDE 的面积最大 点D 的坐标为（1，

20、0）(3）存在 由(1知：二次函数的解析式为121212-=x x y设y=0则1212102-=x x 解得：x 1=2 x 2=1点B 的坐标为（1，0） C （0，1）设直线BC 的解析式为：y =kx b -=+-10b b k 解得：k =-1 b =-1直线BC 的解析式为: y =x 1 在Rt AOC 中，AOC=900OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC=5 点B(1,0 点C （0，1） OB=OC BCO=450当以点C 为顶点且PC=AC=5时， 设P(k , k 1 过点P 作PH y 轴于H HCP=BCO=450 CH=PH=k 在Rt PCH 中k 2+k2=

21、(25 解得k 1=2， k 2=2P 1（2，12-） P 2（2，12-）以A 为顶点，即AC=AP=5 设P(k , k 1过点P 作PG x 轴于G AG=2k GP=k 1 在Rt APG 中 AG 2PG 2=AP2(2k 2+(k 1 2=5 解得：k 1=1,k 2=0(舍P 3(1, 2以P 为顶点，PC=AP设P(k , k 1 过点P 作PQ y 轴于点Q PL x 轴于点L L(k ,0QPC 为等腰直角三角形 PQ=CQ=k 由勾股定理知 CP=PA=2kAL=k -2, PL=k 1 在Rt PLA 中(2k 2=(k 2 2(k 1 2 解得：k =25P 4(2

22、5, 27综上所述： 存在四个点：P 1（2，12-）P 2（-2，12-） P 3(1, 2 P 4(25, 278 (10山东临沂）如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A ( B (2，0 两点，且与y 轴交于点C ；(1 求该拋物线的解析式，并判断ABC 的形状；(2 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四 点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标； (3 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。答案：解 (1 根据题意，将A (-21，

23、0 ，B (2，0 代入y = -x 2+ax +b 中，得=+-=+-02402141b a b a ，解这个 方程，得a =23，b =1，该拋物线的解析式为y = -x 2+23x +1，当 x =0时，y =1，点C 的坐标为(0，1 。在AOC 中，AC =22OCOA+=221 21(+=25。在BOC 中，BC =22OCOB+=2212+=5。AB =OA +OB =21+2=25，AC 2+BC 2=45+5=425=AB 2，ABC 是直角三角形。(2 点D 的坐标为(23，1 。(3 存在。由(1知，AC BC 。若以BC 为底边，则BC /AP ，如图1所示，可求得直线

24、BC 的解析式为y = -21 x +1，直线AP BC 平移得到的，所以设直线AP 的解析式为y = -21x 把点A (-21，0 代入直线AP 的解析式，求得b = -41，直线AP 的解析式为y = -21x -41。点P 既在拋物线上，又在直线AP 上，点P 的纵坐标相等，即-x 2+23x +1= -21x -41 ，解得x x 2= -21(舍去 。当x =25时，y = -23，点P (25，-23若以AC 为底边，则BP /AC ，如图2所示。 可求得直线AC 的解析式为y =2x +1。直线BP 可以看作是由直线AC 平移得到的，所以设直线BP 的解析式为y =2x +b

25、，把点B (2，0 代 入直线BP 的解析式，求得b = -4，直线BP 的解析式为y =2x -4。点P 既在拋物线 上，又在直线BP 上，点P 的纵坐标相等， 即-x 2+23x +1=2x -4，解得x 1= -25，x 2=2(舍去 。当x = -25时，y = -9，点P 的坐标为(-25，-9 。综上所述，满足题目条件的点P 为(25，-23 或(-25，-9 。9（10山东潍坊）如图所示，抛物线与x 轴交于点(1030A B -，、，两点，与y 轴交于点(03. C -，以A B 为直径作M ，过抛物线上一点P 作M 的切线P D ，切点为D ，并与M 的切线A E 相交于点E

26、，连结D M 并延长交M 于点N ，连结. AN AD 、(1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标； (2）若四边形E A MD 的面积为求直线P D 的函数关系式； (3）抛物线上是否存在点P ，使得四边形E A M D 的面积等于D A N 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.答案：解：（1）因为抛物线与x 轴交于点(1030A B -，、，两点，设抛物线的函数关系式为：(13y a x x =+-，抛物线与y 轴交于点(03C -，(30103a -=+-， 1. a =所以，抛物线的函数关系式为：223y x x =-，又(214y x =-，因此，抛物线的

27、顶点坐标为(14-，(2）连结E M ，E A E D 、是M ，的两条切线，EA ED EA AM ED M N =，EAM EDM 又四边形E A MD 的面积为EAM S =12 A M A E = 又2AM =，AE = 因此，点E 的坐标为(11E -或(21. E -， 当E 点在第二象限时，切点D 在第一象限. 在直角三角形E A M 中，tan 2EA EM A AM= = 60EM A =，60D M B = 过切点D 作D F A B ，垂足为点F ，1M F DF =， 因此，切点D 的坐标为(2 设直线P D 的函数关系式为y kx b =+，将(12E D -、的坐标

28、代入得 2k b k b=+=-+解之，得3 3k b =-=所以，直线P D 的函数关系式为33y x =-+当E 点在第三象限时，切点D 在第四象限.同理可求：切点D 的坐标为(2，直线PD 的函数关系式为33y x =- 因此，直线P D 的函数关系式为 33y x =-+33y x =- (3）若四边形E A M D 的面积等于D A N 的面积 又22EAM D AN AM D EAM D S S S S =四边形， AM D EAM S S =E D 、两点到x 轴的距离相等，P D 与M 相切，点D 与点E 在x 轴同侧，切线P D 与x 轴平行，此时切线P D 的函数关系式为2y =或2. y =-当2y =时，由223y x x =-得，1x = 当2y =-时，由223y x x =-得，1x =