电源和电表的内阻在实验电路中的误差分析

1、电源和电表的内阻在实验电路中的误差分析摘要：“闭合电路欧姆定律”教学中，考虑到了电源的内阻对电路的影响，这个定律也是测电源电动势和内电阻的实验原理，该内容是高中电学教学的重点和难点，也是高考的热点。许多学生对“测电源的电动势和内电阻”的存在和影响是明确的，但是对内阻测量中的误差和对电路影响中产生的联合误差，理解不深，把握不准，一定程度上影响考试成绩。鉴于以上原因，本文认为有必要把这个问题作更深讨论。 关键词：闭合电路欧姆定律；教学；电源和电表；电路 中图分类号：G633.7 文献标识码：A文章编号：1002-7661（2011）03-0147-4 文章先讨论“测电源电动势和内电阻”的系统误差（

2、由实验仪器设计不完备、理论和方法有缺陷等因素造成的误差），重点是讨论由原理的设计所造成的误差。 一、电源和电表的内阻的存在对实验结果的影响 如图1所示，用伏安法测量电阻R的值，理论上结果是：而实际结果并非如此，由于电流表具有内阻，电压表的分流作用，使得测量结果不准确。由于电流I的减小，以及串联了一个电流表的内阻，因此测得到的R值将大于实际值。 又如图2所示，在测量电源内阻时，读出电压表的示数U（如图2所示），则理论上E=U，而实际上应该是U 可以看出，当 时；又当r增大 也增大。这样， “直测法”中有效减小误差的办法是：（1）用电阻尽量大的电压表（但要注意量程的适当选择）；（2）用于测量新电池

3、的电动势（内阻较小）。 该方法的不足之处在于：不可测电源的内电阻。 下面我们再用图象法来分析，根据串联电路的分压原理（如图2）得， 。 据等式可以作出UR图像（如图3所示）。由图示可知，虚线描述为U=E时图线的一条渐近线。 图3 当 时， ；因此测量结果一定有误差。由此图象我们还可以求出内电阻r的值。由上式可以知道：当 时， 。 不过这仅是从理论中推导出来的结果，与用实验方法得到的结果是有所不同的。 二、由于电表内阻的存在影响了电源的内阻测量 1内接法的误差分析 如图4所示是学生做实验的首选方法，此电路图和伏安法测电阻R的内接法是相同的。于是好多学生就认为电阻（滑线变阻器）的阻值一般就是几十欧

4、或几百欧，所以由伏安法测外电阻的电路选择依据应选择外接法（如图5所示）。 图4图 5 这说明学生没有明确实验的目的，更没有理解用闭合电路欧姆定律为基础的实验原理。我们这里不是测外电阻，而是测电源的电动势和内阻。 如图4，在实验中改变了滑动变阻器的阻值测量两次，得到了两组数据 U1，I1 、U2，I2 ，由闭合电路欧姆定律 , 得： 这样就可以计算电源的电动势E及内电阻r。 把图4改为图6的等效电路以讨论实验误差。如图4所示：RA和RV分别是电流表 及电压变 的内阻，此时两电表没有电阻而变为理想表。根据串并联电路的电阻关系，可以得到外电路的总电阻值R， ；由电路（图6）特点， 有关系式： 在实验

5、中测量到的两组数据 U1，IA1 、 （U2，IA2 ），分别代入至闭合电路欧姆定律 中可得： 用（3）式来讨论电动势E的误差：当RV时，（3）式变成我们熟知的（2）式， ，很明显， ； 所以用（2）式计算的结果是偏小的，且RV越大则误差越低。我们来看误差 用（1）式和（2）式作代换： 。 整个计算过程中没有用到RA，所以RA不会引起误差的，这是因为RA可以合成滑动变阻器R0的一部分（如图6所示）。 图6 把（4）式的分子和分母同除以（ ）可得： 。 在RV时该式变成： （5） 可见（5）式与（1）式在形式上是相同的，很明显： ，所以利用（8）式计算的结果偏大。 我们来计算误差 ， 。 图5中

6、测量的电动势没有误差，只有内电阻存在误差（偏小）；而从形式上看图4测量的电动势和内电阻都有误差（偏大）。那么，我们为什么不用图5来做实验呢？因为实验测量不但要看有没有误差，更是要看测量误差的大小，追求最小的误差是实验的重要目标之一。 根据实验室中的仪表参数，计算“外接法”与“内接法”中 及 的范围。电压表的内阻一般在 之间，电流表内阻一般在 之间，新干电池内阻约 （我们的仪表的精度测量不出来），一般都是测量旧电池的内电阻（约 ）。计算出“内接法”测量误差 和 范围均在10-5V（）10-4 V（）之间；而“外接法”的测量误差 范围在 之间。 计算相对误差： 及 （带上标的物理量表示测量值，没有

7、上标的表示真实值）。根据学生的实验结果统计，“内接法”测量的相对误差在10之内，而“外接法”测量的相对误差可达40以上。以上数据充分表明：测量电源的电动势和内电阻选择图4是肯定的。 下面用图像来讨论实验误差，较为形象直观，也能减小误差（图线是取了所有测量值的平均值）。实验中我们测出几组（U，I ）值，根据U=E-I r ，来作UI图像，得到一条倾斜的实直线（虚线为修正后的理论图线），“内接法”如图8显示，“外接法”如图9显示。 图8图9 如图4由于电压表内阻RV分流IV，使电流表指示值，电流I小于电源输出电流I真，I真=I IV，因 ，则U越大，IV也越大，他们的关系如图8所示。实测的图像为A

8、B，经过IV修正后的图像为AB，可以看到AB的斜率绝对值及在纵轴上的截距都小于AB，即实测的r和E都要小于真实值。 在图5中，因为电流表内阻RA分压UV，使电压表的指示值UV小于外电路的总电压U，U= UV UA，而且UA=IRA，I越大则UA越大，他们的关系用图9表示。实测的图像为AB，经过UA修正后的图图像AB，可以看出图像AB的斜率绝对值大于图像AB，在横轴上的截距小于图像AB，即实测的r值大于真实值，而E真=E，没有误差值。 小结：经过以上分析，上述测量法都存在误差，能找到没有误差的测量方法吗？当然，一点误差也没有的测量法是没有的，我们只能让误差尽可能小一些。 三、补偿法消除电表内阻对

9、测量电源内阻的影响： 综合上述电路中存在误差的原因：是各电表存在内阻电压表内阻RV不是无穷大，而电流表内阻RA不是无穷小。因此推荐两种可以消除电表内阻影响的方法，一般称其为“补偿法”。 图10 图11 方法一：如图10所示：分压器R1的滑动端C通过灵敏电流计G及待测电阻R的B端相连，调节C点位置使得灵敏电流计G中无电流通过，此时UAB=UDC，用电压表测得DC间电压，就是电阻R两端的电压，而流过电流表中的电流仅仅是流过电阻R的电流IR而无通过电压表的电流IV，经过UDC与UAD的电压补偿，把电压表从AB间移至DC间，从而就消除了由于电压表中通过电流而引入的误差（其中加入电阻R2是为了使滑动端C

10、不在R1的一端，方便调节）。 方法二：如11图所示原理：EX是被测量的电源，ES是标准电池（其电动势非常稳定并且已知值），而E是工作电源，AC为一段均匀电阻丝，上面有一滑动触头B，其中G是灵敏电流计，先将开关K置于“1”方，移动触头B使电流计指示为零（达到平衡）， 这时D和B点的电势相等： EX=UAB。 假设流过AB的电流为I，则有： UAB=RABI EX=RABI（9） 再将开关置于“2”方，一般ES EX， 则平衡将被破坏，调节触头B至另一点 以重新达到平衡，则有： （10） 两种情况下G都无电流，则以（9）除以（10）有 ，其中 ， 为AB和AB长度，测之可求EX。 当然，上述方法中

11、由于电路接触电阻，电表线性的好坏，电源的不同标准，及操作原因等等，也会产生相应系统误差及偶然误差，但相对来说在原理上已经改进很多了。 通过上述的分析讨论，我们明白了选择电路和处理结果的依据：要误差最小。同时还加深了对闭合电路欧姆定律的认识理解，希望此文可以为广大学子在学习上带来一些帮助；也希望能有助于教师在以后的教学中更好地把握重点，解决难点，让我们的教学更加出色。 四、测电压表内阻的几种方法 1伏安法测量 理想电压表的内阻视为无限大，但实际使用的电压表内阻并不是无限大。由于滑动变阻器的最大阻值远小于待测电压表的内阻，采用分压式接法，电路图如图12所示，电压表与电流表串联，多次记录电压表和电流

12、表的示数，利用U-I图象即可得出电压表的内阻。 图12 图13 图14 2、伏伏法测量 所谓伏伏法就是在电流表不能用或没有电流表等情况下，要考虑两块电压表并用的方式测量电阻。在设计电路时，既要考虑电压表的量程，还要考虑滑动变阻器的连接方式。 （1）、伏伏串联测量设计的电路图如图13所示。两电压表的内阻都远大于滑动变阻器的最大值，采用分压式接法。电压表V1的示数U1，电压表V2的示数U1，两表串联电流相等， 有 ，得 。 （2）、伏伏法并联测量：如图14所示。闭合开关，适当调节滑动变阻器和电阻箱1的阻值，待测电压表V1的示数U1，电压表V2的示数U2，电阻箱1的阻值为r1，根据串并联电路 的特点有 ，可得表达式 。 3利用半偏法测量 用如图15电路图，实验方法和步骤是：按电路图连好。使滑动变阻器的触头在a端。将电阻箱的阻值调到零。闭合开关。滑片向b移动使电压表的指针达到满偏。调节电阻箱的阻值，使指针达到半偏，读出电阻箱的电阻值，即为电压表的内电阻值。 图15 4用电源和电阻箱测量 图16 实验的电路图如图16所示，闭合开关，调节变阻箱的阻值分别为R1和R2，读出相对应的电压表的示数分别为U1和U2，根据闭合电路的欧姆定律有 和 ，两式联立整理得 。 五、消除电源内阻对测量电路影响的方法 方法一、伏安法等效替换测量：实验电路图如图17所示，双掷开关与a相接，适当调节滑动变阻器