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文档简介

1、第二章 用正交变换化为标准型第一节2、1几种化标准形的方法2、1、1配方法2、1、2初等变换法2、1、3偏导数方法2、1、4雅可比方法第二节2、2用正交变换化为标准形2、2、1非退化线性替换的定义2、2、2正交替换法2、2、3例子2、2 用正交变换化为标准形2、2、1非退化线性替换的定义定义1、设x,x;y,y是两组文字，系数在数域P中的一组关系式称为由x,x到y,y的一个线性替换，或简称线性替换，如果系数行列式0，那么线性替换就称为非退化的。2、2、2正交替换法正交替换法：先写出二次型的矩阵A，在用正交替换X=TY将A对角化，从而TAT=，其中（i=1，2，,n为二次型f(x,x,x的矩阵的

2、所有特征值，同时有f(x,x,x=y+y+y2、2、3例子【例1】用正交变换化二次型f(x,x,x=2x+5x+5x+4xx-4xx-8xx为标准形，要求写出所用的正交替换（广西师范大学*2001*（三）*15分）解：A= =x-12x+21x-10=(x-1(x-1(x-10=0x=1,1,10,(i x=1E-A=-= =(ii x=1010E-A=-=- =-<,> =+=+= -= 令V=（，）=令X=UY为所用正交变换，即Y=UXf(x,x,x=XAX=(UYAUY=YUAUY=YY=y+y+10y为标准形【例2】用正交变换化二次型f(x,x,x=x-2x+x+4xx+8

3、xx+4xx为标准形，并写出所用的正交变换。（广西师范大学*2002*（三）*15分）解：f的矩阵A= =x-27x+-54=(x+3(x-6(x+3=0即A的特征根为6，-3，-3（i）x=66E-A=-= =(ii x=-3-3E-A=-= =- -<,> = = V=（，）=用正交变换为X=UY，即UZ=Yf(x,x,x=XAX=(UYAUY=YUAUY=YY=6y-3y-3y为标准形【例3】设实二次型q(x,x,x= 2x+2x+ax-2xx-2xx-2xx经正交线性替换化为标准形3 y+3 y，求a并写出所有的正交线线替换。（广西师范大学*2009*（七）*20分）解：A= =0有(x-2(x-a+2-2(x-2-（x-a）=0X=0,3，3是A的特征值 -4a+2+4+a=0解之a=2（i）x=33E-A=-T= T=(ii x=0-A=- T= =

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