第七讲三角变换

1、第七讲：三角变换1若，则sin< <tan；角的终边“靠近”Y轴时，正弦、正切绝对值较大，角的终边“靠近”X轴时，余弦、余切绝对值较大 。举例1若x ，求方程sinx=tanx解的个数。解析：在图象中要能体现出（0，）上sin<tan，注意：横纵坐标的长度单位要一致（>1），（图象略）1个。举例2已知q是第二象限的角，且<，那么+的取值范围是 A (-1、0) B (1、) C (-1、1) D (-、-1)解析：q是第二象限的角，则（k+，k+）kZ，（一、三象限中“靠近”y轴的部分），<，不在第一象限（第一象限正、余弦均为正，“靠近”y轴正弦较大），即（

2、2 k+，2 k+）kZ，+=，+（2 k+，2 k+），由图象知：(-、-1)，选D。巩固1若且，则的值为（ ）A或BCD 巩固2ABC的内角A满足：且tanA-sinA<0,sinA+cosA>0,则A的取值范围是_2已知一个角的某一三角函数值求角的大小，一定要根据角的范围来确定；如： sin=m(|m|<1),则=2k+arcsinm或=2k+-arcsinm；cos=m(|m|<1),则=2k±arccosm; tan=m,则=k+arctanm， kZ等。两个角的三角函数值相等，这两个角未必相等，如sin=sin, 则=2k+, 或=2k+-，kZ;

3、 若cos=cos, 则=2k; 若tan=tan, 则=k+,kZ 等。举例1已知sin2A=sin2B,则ABC的形状为_解析： sin2A=sin2B 且2A+2B（0，2），2A=2B或2A+2B=A=B或A+B= 即ABC是等腰或直角三角形。举例2已知sin=-,(-,-)，求解析：sin=-，则=2k- 或=2k， kZ，又(-,-)=。来源: 巩固 如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ）A和都是锐角三角形 B和都是钝角三角形C是钝角三角形，是锐角三角形D是锐角三角形，是钝角三角形提高已知(0，)，则直线x+ytan+1=0的倾角A B- C+ D-3. 熟悉将

4、三角函数式化为y=Asin(x+)+B的套路。即：运用两倍角正（余）弦公式及半角公式降次、（其中sin2x=(1-cos2x)，cos2x=(1+cos2x)这两个公式使用频繁，必须牢记）再引入辅助角（特别注意，经常弄错）使用两角和、差的正弦、余弦公式（合二为一）。这是三角变换中最常用的一套“组合拳”，要能娴熟而精准地使用。举例函数f(x)=6sinxcosx-8sin2x取得最大值时tan2x的值为 。解析：f(x)=3sin2x-4(1-cos2x)=3sin2x+4cos2x-4=5(sin2x+cos2x)-4=5sin(2x+)-4(其中tan=),当且仅当2x+=2k+即2x=2k

5、+-， kZ时函数f(x) 取得最大值，此时tan2x=tan(2k+-)=cot=。注意：上述过程中“5(sin2x+cos2x)-4”这一步最好不要跳过，它是保证辅助角不出错的最重要的关口。巩固 函数的最大值为 4求具体角的三角函数值的一般方法：角负化正、大化小。必须熟记常用几个特殊角的三角函数值，很多“疏忽”皆源于此；而在“无条件”求值问题中，恰倒好处地运用特殊角三角函数值又往往是解题的关键。举例的值是： （ ）A- B- C - D - 解析：用两倍角公式，很快就会发现进行不下去。尝试“大化小”，原式= ，选C。（把100换成300-200是关键）。巩固1= 巩固2 = 迁移 若，则

6、(A) (B) (C) (D)5. 三角变换中遇到形如： sin±cos=m的条件，如果是研究性质的问题，常“合二为一”；如果是求值的问题，常两边平方，得到sincos的值并判断出sin、cos的符号，再与sin±cos=m联立，解方程组。sin±cos与sincos“三兄妹”关系密切，要做到见此及彼；其中sincos=（sin+cos）2-1= 1-（sin-cos）2,sin+cos与sin-cos通过sincos实现过渡.举例 已知a，若，求的值。解析：思路一：联立方程和，解得：或a>0,后一组接舍去，=-。来源:思路二：由平方得： ，联立运用韦达定理

7、求得两组和的值，舍去一组后得出的值。思路三：利用容易求得，注意到<0即和异号，a>0, <0； ；联立得到和的值，再求出的值。思路四：由平方得：<0，a>0, <0，a； 又>0, <-1,a,=再用半角公式求出和的值。巩固若，则等于 （）A. 1 B. 2 C. 1 D. 2 迁移1设是三角形的一个内角，且Sin+Cos=，则方程x2Sin+y2Cos=1表示的曲线是（A）焦点在x轴上的椭圆（B焦点在y轴上的椭圆 （ ）（C）焦点在x轴上的双曲线（D）焦点在y轴上的双曲线迁移2函数的值域为 6.能熟练掌握由tan的值（m）求sin、cos的值的

8、方法：若是锐角，就根据tan的值画一个直角三角形，在该直角三角形中求sin、cos；若不一定是锐角，则由方程组：sin=mcos, sin2+cos2=1解得，或“弦化切”。在三角变换中，要注意1的功用。“弦化切”时常把1化为正弦与余弦的平方；在三角变换中常用两倍角余弦公式消去1,如：，等,此外.举例已知,其中为第二象限角,求(1),的值;(2) 的值;解析：（1）将代入得：（）=1=，又为第二象限角，=（2）原式=。（分子、分母同除以是“弦化切”的基本动作）巩固已知2sin-cos=1求sin+2cos的值。迁移 设向量=（1+cos，sin），=（1-cos，sin），=（1，0），（0，

9、），（，2），与的夹角为1，与的夹角为2，且12=，求的值。7给（一个角的三角函数）值求（另一个三角函数）值的问题，一般要用“给值”的角表示“求值”的角，再用两角和（差）的三角公式求得。举例1设、均为锐角，cos ，cos(+)= ,则cos.解析：、均为锐角，sin=, sin(+)=, cos=cos(+)- =()+=.(此类问题不宜解方程组)举例2已知，则的值 解析：=+-，2+=+，=。（这里“变角”的灵感与“给值求值”的做法一脉相承）。巩固已知向量，|=，（1） 求的值（2） 若且，求的值迁移已知a,b是锐角，sina=x,cosb=y,cos(a+b)=，则y与x的函数关系式为（）Ay=+x (<x<1)By=+x (0<x<1)Cy=x (0<x<)Dy=x (0<x<1)简答1., 巩固1B巩固2（）; 2. 巩固 易见是锐角三角形，若是锐角三角形，与三角形内角为矛盾，选D，提高记直线倾角为，tan=-cot=tan(+),确定角的范围后选C，3 、巩固3，,4. 巩固1，巩固22，迁移注意：-与+互余，选 A;5.巩固B，迁移1C，迁移2记：sinx+cosx=t(1t),f(x)=(t-1)0，6. 巩固 2sin=1+cos，得sincos