点击解决最值问题的常用方法

1、点击解决最值问题的常用方法 WORD文档使用说明：点击解决最值问题的常用方法 来源于PDFWORDPDF转换成WROD 本WOED文件是采用在线转换功能下载而来，因此在排版和显示效果方面可能不能满足您的应用需求。如果需要查看原版WOED文件，请访问这里点击解决最值问题的常用方法 文件原版地址: 点击解决最值问题的常用方法|PDF转换成WROD_PDF阅读器下载点击解决最值 点击解决最值问题的常用方法建湖县颜单中学 陈国华消耗最 内容提要 在生活实际中常要考虑在一定条件下怎样使成本最低， 内容提要 少，使收益最大，方案最优，行走路径最短，周长面积最小等问题。这类生活问 题一般可转化为求函数或线段

2、的最小值或最大值的数学问题， 此类问题涉及知识 面广，综合性强，解法有一定技巧性。通过这类问题的解决可以培养学生的数学 思想方法，提高学生的数学思维能力。本文举例介绍解决初中数学中有关最值问 题一些常用方法。 【关 键 词】 生活问题 数学问题 最值 数学思想方法 数学思维能力一、配方法 配方法是数学中的一种重要解题思想方法， 将已知代数式 （等式） 配成若干个完全平方式的形式，结合非负数性质，从而使问题得到解 决。 例 1 设 x、y 为实数，代数式 5x2+4y28xy+2x+4 的最小值为 _。 解析：配方得 原式=2（x22xy+y2）+x2+2x+4 =4（xy）2+（x+1）2+3

3、 显见，当 x=1，y=1 时，原式有最小值 3。 二、分类讨论法 当解决的问题存在一些不确定因素， 这时常用分类讨论法按一定 的标准或原则分为若干类、然后逐类求解，再综合这几点的结论从而1求解。 例 2 已知 0a4，那么 a ? 2 + 3 ? a 的最大值等于（ （A）1 （B）5 （C）8 （D）3 ）解析：根据已知条件采用取零点分段讨论法求最大值。 根据绝对值的几何意义，a=2 , a=3 是两个零点，结合 0a4 分 成 0a2，2a3，3a4 三段讨论： 当 0a2 时，原式=52a，当 a=0 时达到最大值 5； 当 2a3 时，原式=1 ； 当 3a4 时，原式=2a5，当

4、a =4 时达到最大值 3. 综合在 0a4 范围，原式的最大值为 5，所以选 B。 三、数形结合法 有些代数问题条件中的数量关系有明显的几何意义， 或以某种方 式与几何图形相关联，则可以通过作出与其相关的几何图形，将代数 问题的条件及数量关系直接在图形中表现出来， 从而利用几何关系来 求解。 例 3 使 x 2 + 4 + (8 ? x) 2 +16 取最小值的实数 x 的值为_。 解析：通过观察不难发现，题设条件中有明显的几何意义。即可 将 x 2 + 4 、 (8 ? x) 2 +16 分别视为 x、2 和 （8x） 为直角边的直角三角形的斜 、4 边，进而构造如图所示的几何图形。 AC

5、AB，BDAB，且 AC=2， BD=4，AB=8。2DA CXP8-XB E则 PC= x 2 + 4 ，PD= (8 ? x) 2 + 16 。于是，问题可转化为：在线段 AB 上找一点 P，使得 PC+PD 最短，由“两点之间线段最短”的性质 知，当点 P、C、D 共线时，PC+PD 最短，即原式取最小值。 此时，易知APCBPD PA AC 2 1 = = = ， PB BD 4 2 1 8 从而 PA= AB= 。 3 3故原式取最小值时，x= 。 四、函数模型法 函数模型法 函数模型的应用是数学应用问题的主要类型， 从数学角度理解问 题，分析问题中的变量和常量，将实际问题抽象成数学

6、问题建立函数 模型，再根据函数的性质，结合自变量的取值范围从而求出最值。 例 4 某工厂计划为震区生产 A，B 两种型号的学生桌椅 500 套， 以解决 1250 名学生的学习问题，一套 A 型桌椅（一桌两椅）需木料 ，一套 B 型桌椅（一桌三椅）需木料 ，工厂现有库存木料 302m3。 （1）有多少种生产方案？ （2）现要把生产的全部桌椅运往震区，已知每套 A 型桌椅的生 产成本为 100 元，运费 2 元；每套 B 型桌椅的生产成本为 120 元， 运费 4 元，求总费用 y（元）与生产 A 型桌椅 x（套）之间的关系式， 并确定总费用最少的方案和最少的总费用。 总费用=生产成本+运费）

7、（ 解析： （1）设生产 A 型桌椅 x 套，则生产 B 型桌椅（500x） 套，由题意得38 3? x + × (500 ? x) 302 ? ? 2 x + 3 × (500 ? x) 1250解得 240x250， 因为 x 是整数，所以有 11 种生产方案； （2）y=（100+2）x+（120+4）×（500x） =22x+62000. k=22x0. y 随 x 的增大而减少， 当 x =260 时，y 有最小值。 即当生产 A 型桌椅 250 套，B 型桌椅 250 套时，总费用最少。最 少的总费用 56500 元。 例 5 已知：抛物线 y=ax2

8、2ax+c(a0)与 y 轴交于点 C（0，4） ， 与 x 轴交于点 A，B，点 A 的坐标为（4，0） 。 （1）求该抛物线的解析式； （2）点 Q 是线段 AB 上的动点，过点 Q 作 QEAC，交 BC 于 点 E，连接 CQ。当CQE 的面积最大时，求点 Q 的坐标。 解析： （1）由题意，得Y?16a ? 8a + c = 0 ? ?c = 41 ? ?a = ? 解得 ? 2 ?c = 4 ?BC E Q GO AX所求抛物线的解析式为：1 y = ? x2 + x + 4 ； 24（2）设点 Q 的坐班为（m ，0） ，过点 E 作 EGx 轴于点 G。 由 ? x 2 + x

9、 + 4 = 0 ，得 x1 = ?2, x2 = 4 B 的坐标为（2，0） ， AB=6，BQ=m+2. QEAC，BQEBAC，EG BQ EG m + 2 = ，即 = CO BA 4 6 2m + 4 ， EG= 31 2SCQE=SCBQSEBQ1 1 2 2 1 2m + 4 = （m+2）( 4 ? ) 2 3 1 2 8 = ? m2 + m + 3 3 3 1 a= 0，SCQE 有最大值。 3= BQ ×CO BQ ×EG即当 m=1 时，SCQE 有最大值为 3，此时 Q（1，0） 。 五、不等式法 一些要求最大利润，最优方案生活问题，可根据题意把实

10、际问题 转化为不等式模型，从而求出某些量的取值范围，再结合函数性质求 解。 例 6：某加工厂以每吨 3000 元的价格购进 50 吨原料进行加工， 若进行粗加工，每吨加工费为 600 元，需 天，每吨售价 4000 元； 若进行精加工，每吨加工费用为 900 元，需 天，每吨售价为 4500 元，现将这 50 吨原料全部加工完。 （1）设其中粗加工 x 吨，获利 y 元，求 y 与 x 的函数关系式。51 31 2（2）如果必须在 20 天内完，如何安排生产才能获得最大利润？ 最大利润是多少？ 解析：粗加工 x 吨，则细加工为（50x）吨，粗加工每吨利润 为（40003000）元，细加工每吨利

11、润为（45003000）元。则 y=（40003000）x600x+（45003000） （50x）900（50 x）=200x+30000 由题意知：1 1 x+ （50x）20，得 x30， 3 230x50。 当 x=30 时，最大值 y=200×30+3000=2400（元） 。 故粗加工30 =10（天） ， 3 50 ? 30 精加工 =10（天） 2所以 10 天粗加工，10 天精加工可获得最大利润，最大利润是 24000 元。 六、垂线段法 在一些几何问题中要求线段、周长、面积最小值时，可通过把相 关线段特殊化，化为垂线段，根据垂线段最短的性质从而得解。 例 7：边长

12、为 a 的菱形 ABCD 中，DAB=60°，E 是 AD 上异 于 A、D 两点的一个动点，F 是 CD 上的动点，且满足 AE+CF=a，如 图。6（1）证明：不论 E、F 怎样移动， BEF 总是正三角形， 求出BEF 面积最小值。 解析：连结 BD，可证BEDBFC，E AD F CB易得EBF=60°，且 EB=BF，故BEF 为正三角形。 （2）由于BEF 面积大小是由 BE 边所决定，根据垂线段最短， 当 BEAD 时，BE 最短，这时 E 为 AD 中点，因此，为所求最小值。 SBEF= =3 3 3 BE 2 = × ( a)2 4 4 23 3

13、 2 a 16七、判别式法 求某些字母代数式的最值时可设整个代数式为一个新的字母再 变形转化为某个字母的一元二次方程， 进而根据一元二次方程根的判 别式去求出新字母的取值范围，即确定原代数式的取值范围，从而得 解。 例 8：设 a，b 为实数，那么代数式 a 2 + ab + b 2 ? a ? 2b 的最小值是 多少？ 解析：设 t= a 2 + ab + b 2 ? a ? 2b ，变形得关于 a 的一元二次方程，a 2 + (b ? 1)a + (b 2 ? 2b ? t ) = 0 。因为 a、b、t 为实数，因此有， = (b ? 1) 2 ? 4(b 2 ? 2b ? t ) 0，

14、 即 4t 3b 2 ? 6b ? 1 = 3(b ? 1)2 ? 474t4，t1. 故当 a=0，b=1 时，t 有最小值，即代数式 a 2 + ab + b 2 ? a ? 2b 有最 小值1。 八、对称变换法 求某些几何图形中的线段的和的最小值时， 可采用轴对称变换的 方法将其中一条线段变换， 进而把两条线段合并成一条线段根从而求 出最值。 例 9：如图，正方形 ABC 的边长为 3，点 E 在 BC 上，且 BE=2， 点 P 在 BD 上移动，则 PE+PC 的最小值是多少？ 解析：作 E 点关于直线 BD 的对称点 E， 则 E点在 AB 上，且 BE=2，PE=PE。 又 PE

15、+PC=PE+PCEC （当 E、P、C 三点共线时取等号） ， 所以 PE+PC 的最小值为：EC= 2 2 +32 = 13 九、换元法 对于形如 y = ax + b + cx + d 的函数， 一般可考虑用换元法将其转化 为二次函数，通过求二次函数的最值来达到求原函数的最值的目的。 例 10 求函数 y=x 1 ? 2x 的最值。 解析：设 1 ? 2 x = t (t 0, x ) ，1? t2 则x= ， 2 1 2A E' B P EDCy=1? t2 1 ? t = ? (t + 1) 2 + 1 ， 2 28当 t0，即 x= 时， y 最大值 ，y 无最小值。 十、

16、消元法 对于有条件等式的多元问题， 常通过消元法把多个元素转化为以 某一元素为主元的等式，再结合已知条件，经过合理的运算，使问题 逐步简化，再求解。 例 11 a、b、c 是非负实数，并且满足 3a+2b+c=5 , 2a+b3c=1 , 设 m=3a+b7c，记 x 为 m 的最小值，y 为 m 的最大值，则 xy=_。 解析：把视 c 为主元，由已知，求得 a=7c3 , b=711c。 由于 a、b、c 是非负实数，则有： ?7c ? 3 0 ? ?7 ? 11c 0 ?c 0 ? 从而有 c3 7 7 11 1 21 2又 m3a+b7c=3c2 m ?5 7 5 7 1 11 1 5

17、 , xy= 11 77于是 x= ，y= 十一、 十一、枚举法有些求最值问题可根据已知条件列举所有可能出现的情形， 再通 过计算后进行比较结果从而求出。 例 12：若 a、b、c、d 是四个不相等的自然数，且 abcd=2583， 求 S=a+b+c+d 的最值。9解析： 2583=1×7×9×41 =1×3×21×41 =1×3×7×123， a、b、c、d 的值为 1，7，9，41 或 1，3，21，41 或 1，3，7， 123. S=a+b+c+d=58 或 66 或 134， S 最大值=134，S 最小值=58 十二、估算法 对所要考察的代数式的取值情况， 进行恰当的估算， 确定其范围， 可促使问题简明快捷地获解。 例 13：五个互不相等自然的平均数是 15，中位数是 18，这五个 数中最大数的最大值为（ ） （A）35 （B）36 （C）3