算法的概念及误差分析方法

1、3.2算法         3.2.1算法的概念     3.2.1.1 什么叫算法    算法（Algorithm）是解题的步骤，可以把算法定义成解一确定类问题的任意一种特殊的方法。在计算机科学中，算法要用计算机算法语言描述，算法代表用计算机解一类问题的精确、有效的方法。算法+数据结构=程序，求解一个给定的可计算或可解的问题，不同的人可以编写出不同的程序，来解决同一个问题，这里存在两个问题：一是与计算方法密切相关的算法问题；二是程序设计的技术问题。算法和程序之间存

2、在密切的关系。    算法是一组有穷的规则，它们规定了解决某一特定类型问题的一系列运算，是对解题方案的准确与完整的描述。制定一个算法，一般要经过设计、确认、分析、编码、测试、调试、计时等阶段。    对算法的学习包括五个方面的内容： 设计算法。算法设计工作是不可能完全自动化的，应学习了解已经被实践证明是有用的一些基本的算法设计方法，这些基本的设计方法不仅适用于计算机科学，而且适用于电气工程、运筹学等领域； 表示算法。描述算法的方法有多种形式，例如自然语言和算法语言，各自有适用的环境和特点；确认算法。算法确认的目的是使人们确信这一算法能

3、够正确无误地工作，即该算法具有可计算性。正确的算法用计算机算法语言描述，构成计算机程序，计算机程序在计算机上运行，得到算法运算的结果； 分析算法。算法分析是对一个算法需要多少计算时间和存储空间作定量的分析。分析算法可以预测这一算法适合在什么样的环境中有效地运行，对解决同一问题的不同算法的有效性作出比较； 验证算法。用计算机语言描述的算法是否可计算、有效合理，须对程序进行测试，测试程序的工作由调试和作时空分布图组成。   3.2.1.2算法的特性    算法的特性包括： 确定性。算法的每一种运算必须有确定的意义，该种运算应执行何种动作应无二义性，

4、目的明确； 能行性。要求算法中有待实现的运算都是基本的，每种运算至少在原理上能由人用纸和笔在有限的时间内完成； 输入。一个算法有0个或多个输入，在算法运算开始之前给出算法所需数据的初值，这些输入取自特定的对象集合； 输出。作为算法运算的结果，一个算法产生一个或多个输出，输出是同输入有某种特定关系的量； 有穷性。一个算法总是在执行了有穷步的运算后终止，即该算法是可达的。满足前四个特性的一组规则不能称为算法，只能称为计算过程，操作系统是计算过程的一个例子，操作系统用来管理计算机资源，控制作业的运行，没有作业运行时，计算过程并不停止，而是处于等待状态。   3.2.2算法的描述&

5、#160;   算法的描述方法可以归纳为以下几种：    (1 自然语言；    (2 图形，如N S图、流程图，图的描述与算法语言的描述对应；    (3 算法语言，即计算机语言、程序设计语言、伪代码；    (4 形式语言，用数学的方法，可以避免自然语言的二义性。    用各种算法描述方法所描述的同一算法，该算法的功用是一样的，允许在算法的描述和实现方法上有所不同。    人们的生产活动和日常

6、生活离不开算法，都在自觉不自觉地使用算法，例如人们到商店购买物品，会首先确定购买哪些物品，准备好所需的钱，然后确定到哪些商场选购、怎样去商场、行走的路线，若物品的质量好如何处理，对物品不满意又怎样处理，购买物品后做什么等。以上购物的算法是用自然语言描述的，也可以用其他描述方法描述该算法。       图3.3用流程图描述算法的例子，其函数为：                 &

7、#160;                                              图3.3是用流程图图形描述算法   3.2.3算法的复杂性 

8、;   算法的复杂性是算法效率的度量，在评价算法性能时，复杂性是一个重要的依据。算法的复杂性的程度与运行该算法所需要的计算机资源的多少有关，所需要的资源越多，表明该算法的复杂性越高；所需要的资源越少，表明该算法的复杂性越低。    计算机的资源，最重要的是运算所需的时间和存储程序和数据所需的空间资源，算法的复杂性有时间复杂性和空间复杂性之分。    算法在计算机上执行运算，需要一定的存储空间存放描述算法的程序和算法所需的数据，计算机完成运算任务需要一定的时间。根据不同的算法写出的程序放在计算机上运算时，所需要的时间

9、和空间是不同的，算法的复杂性是对算法运算所需时间和空间的一种度量。不同的计算机其运算速度相差很大，在衡量一个算法的复杂性要注意到这一点。    对于任意给定的问题，设计出复杂性尽可能低的算法是在设计算法时考虑的一个重要目标。另外，当给定的问题已有多种算法时，选择其中复杂性最低者，是在选用算法时应遵循的一个重要准则。因此，算法的复杂性分析对算法的设计或选用有着重要的指导意义和实用价值。    在讨论算法的复杂性时，有两个问题要弄清楚：    (1 一个算法的复杂性用怎样的一个量来表达；  

10、;  (2 怎样计算一个给定算法的复杂性。    找到求解一个问题的算法后，接着就是该算法的实现，至于是否可以找到实现的方法，取决于算法的可计算性和计算的复杂性，该问题是否存在求解算法，能否提供算法所需要的时间资源和空间资源。第二章 数据处理与误差分析 一切科学实验都要进行测量，总会记录大量的数据。所有的测量均存在误差，大学物理实验当然也不例外。误差理论和数据处理是每一个实验都会遇到的问题，两者是不可分割的有机整体，已经成为一门广受科技界重视的科学。限于篇幅和学时，本章只介绍误差理论与数据处理的初步知识，有的只引用它的结论和计算公式，以满足大学物理实验的

11、基本要求。 §21 测量与误差 1. 直接测量和间接测量 在大学物理实验中，我们不仅要定性地观察和描述物理现象及其变化，还要定量地测量某些物理量的值。研究物理现象、了解物质的性质及验证物理原理都离不开测量。所谓测量就是将被测的物理量与同类已知物理量进行比较，用已知量来表示被测量。这些已知量称作计量单位。测量时，待测量与已知量比较得到的倍数称为测量值。例如某一物体的长度是单位米的1.1196倍，则该物体的测量值为1.1196米。 在人类历史的不同时期、不同国家乃至不同地区，同一物理量有许多不同的计量单位。为了便于国际贸易以及科技文化的交流，国际计量大会于1960年确定了国际单位制，其国

12、际代号为SI。国际单位制中有七个基本单位，它们分别是长度单位米(m，质量单位千克(kg，时间单位秒(s，电流强度单位安培(A，热力学温度单位开尔文(K，物质的量单位摩尔(mol，发光强度单位坎德拉(cd。 测量可分为直接测量和间接测量两类。直接测量是指某些物理量可以通过相应的测量仪器直接得到被测量的量值的方法。如用米尺量长度，用天平和砝码测物体的质量，用电桥或欧姆表测导体的电阻等。间接测量是指利用直接测得量与被测量之间已知的函数关系，经过计算而得到被测量值的方法。例如，用单摆测量重力加速度g时，先直接测出摆长L和摆动周期T，再依据公式g = 42L/T2进行计算，求出g值。再如要测量导体的电阻

13、R，可用电压表测量导体两端的电压U，用电流表测量通过该导体的电流I，然后用公式R = U/I计算出导体的电阻。 2. 测量误差及其表示方法 任何测量过程中必然伴随有误差产生，这是因为任何测量仪器、测量方法都不可能绝对正确，测量环境不可能绝对稳定，测量者的观察能力和分辨能力也不可能绝对精细和严密。因此，分析测量中可能产生的各种误差，尽可能地消除其影响，并对测量结果中未能消除的误差做出估计，是科学实验中不可缺少的工作。为此，我们必须了解误差的概念、特性、产生的原因、消除的方法、以及对未能被消除的误差如何做出估计等有关知识。 1 误差的定义 大学物理实验 8 测量误差就是测量值x与被测量的真值之差值

14、，若用表示，则有 =x (2-1-1 反映了测量值偏离真值的大小，即反映了测量结果的可靠程度。所谓真值是指该物理量本身客观存在的真实量值，但由于客观实际的局限性，真值一般是不知道的。通常我们只能测得物理量的近似真值，故对测量误差的量值范围也只能给予估计。国际上规定用不确定度（Uncertainty）来表征测量误差可能出现的量值范围，它也是对被测量的真值所处的量值范围的评定。 2 误差的表示方法 误差100%rE=× (2-1-2 所以相对误差也称为百分误差。由上式可见相对误差是不带单位的一个纯数，所以它既可评价量值不同的同类物理量的测量，也可评价不同类物理量的测量，以判断它们之间的优

15、劣。 3. 误差的分类及其处理方法 按照误差的特点与性质，误差可分为系统误差、随机误差（也称偶然误差）和粗大误差三类。 1 系统误差 在同一条件下（指方法、仪器、人员及环境不变），多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变的误差；或在条件改变时，按一定规律变化的误差，称为系统误差。系统误差的来源大致有以下几个方面： §21 测量与误差 9 仪器误差：由于仪器本身的缺陷或未按规定条件使用仪器而造成的误差。如仪表指针在测量前没有调准到零位而带来的测量误差；米尺本身由于刻度划分得不准，或因环境温度的变化导致米尺本身长度的伸缩带来的测量误差均属于这一类型。 理论或方法的误差：由于所依据的理论及

16、公式本身的近似性、测量时未能达到公式理想化的条件或实验方法不完善而带来的误差。如用伏安法测电阻，由于没有考虑电流表或电压表内阻带来的测量误差。 环境误差：由于外界环境，如温度、湿度、电场、磁场和大气压强等因素的影响而带来的误差。 个人误差：由于观测者本身的感官，特别是眼睛或其它器官的不完善以及心理因素而导致的习惯性误差。这种误差，往往是因人而异，如停表计时，有人反应较慢，所以计时总是失之过长。 系统误差可以通过校准仪器、改进实验装置和实验方法，或对测量结果进行理论上的修正来加以消除或尽可能减小。然而发现和减小实验中的系统误差并非易事，这需要实验者深入了解实验的原理、方法与步骤，熟悉所使用仪器的

17、特点和性能，还要在实验中不断积累理论知识和实践经验，才能找出产生系统误差的原因以及消除、减小系统误差的方法。 2 随机误差 随机误差是在对同一被测物理量进行多次测量过程中，绝对值与符号都以难以预知的方式变化着的误差。这种误差是由于实验中各种因素的微小变化而引起的，如温度、气流、光照强度、电磁场的变化引起的环境变化；观测者在判断、估计读数上的偏差等使得多次测量值在某一值附近有涨落。就某一次测量而言，这种涨落完全是随机的，其大小和方向都是难以预测的。但对某个量进行足够多次的测量，随机误差总是按照一定的统计规律分布。常见的一种情况是：测量值比真值大或比真值小的概率相等；误差较小的数据比误差大的数据出

18、现的概率大；同时，绝对值很大的误差出现的概率趋于零。这是称之为正态分布（即高斯分布）的一种情况。事实上随机误差还有其他的分布情况，如t分布、均匀分布、2x分布等。 由于正态分布的随机误差有上述特点，因此减小随机误差对测量结果的影响的有效办法是进行多次测量，并尽可能增加测量次数。 在相同的条件下，对某物理量x作n次的独立测量，得到的x值为。于是平均值nxxxx,.,321x为测量结果的最佳值，可以证明，当系统误差已被消除，则测量值的算术平均值最接近被测量的真值。因此常用测量值的算术平均值x表示测量结果。 大学物理实验 10 对于测量值的可靠程度常用标准偏差来估计。标准偏差小，说明多次测量数据的分散程度小，测量的可靠性就大。反之，测量的可靠性就小。 在大学物理实验中，多次独立测量得到的数据一般