第三章 傅立叶变换

1、 第三章 傅立叶变换时域分析：f(t) yf(t)=h(t)*f(t) ¯ 分解 ­基本信号d(t) LTI h(t)频域分析： f(t) yejwt =h(t)* H(jw)Fejwt ¯ 分解 ­基本信号 sinwt LTI H(jw)ejwtejwt H(jw)：系统的频域响应函数，是信号角频率w的函数，与t无关.主要内容：一、信号的分解为正交函数。二、周期信号的频域分析¾付里叶级数（求和），频谱的特点。 信号三、非周期信号的频域分析¾付里叶变换（积分），性质。 分析四、LTI系统的频域分析：频域响应H(jw)；y(jw)= H

2、(jw)F(jw). (系统分析)五、抽样定理：连续信号®离散信号.§3.1 信号分解为正交函数一、正交：两个函数满足 1(t) 2(t)dt=0, 称i(t),j(t)在区间( t1 ,t2)正交。二、正交函数集：几个函数 i(t) i(t)dt= 0 当ij; Ki 当i=j.三、完备正交函数集：在1(t) n(t)之外，不存在y(t)满足 y (t) i(t)dt= 0 (i=1,2,n).例、三角函数集:1,cosWt,cos2Wt, ,cosmWt,sinWt,sin2Wt,sin(nWt),区间:（t0,t0+T）,t=2/W为周期.满足： cosmWtcosn

3、Wtdt= 0 mnT/2 m=n0T m=n=0sin（mWt）sin(nWt)dt= 0 mnT/2 m=n0 sin(mWt)cos(nWt)dt= 0. 所有的m和n.结论:三角函数集是完备正交集。推导： cosmWtcosnWtdt=(1/2) cos(m+n) Wt+cos(m-n) Wtdt=(1/2)sin(m+n)Wt+(1/2)sin(m-n)Wt =(1/2)sin(m+n) W(t0+T)-sin(m+n)Wt0+(1/2)sin(m-n) W(t0+T)-sin(m-n)Wt0=0 当mn时.m=n0，原式=(1/2) cos(m+n)Wt+1dt=(1/2)t =T

4、/2m=n=0 , 原式=(1/2) 1+1dt=T.4、复函数的正交函数集：几个复函数集i(t)， i(t) i* (t)dt= 0 ij ki i=j例：复函数集 ejnt(n=0,±1,±2)区间(t0,t0+T）,T=2/W为周期。满足 ejm Wt(ejnWt)*dt= ej(m-n)Wt dt=1/(j(m-n) ej(m-n)Wt dt =0 mn= 1dt=T m=n.结论： ejnt是完备正交集。(n=0,±1,±2)二、信号分解为正交函数集。1、分解： 二维 A=c1vx + c2yy vx ，vy二维正交矢量集三维 A= c1vx

5、+c2vy +c3vz vx ，vy，vz 三维正交矢量集n维：1(t) n(t)在( t1 ,t2)构成正交函数集。f(t)c11 (t)+ c22(t)+cnn(t)+(t)= cjj(t) 任意一个函数可以用这几个正交函数的线性组合来近似。2、系数cj的选择。方均误差定义：=1/(t2-t1) f(t)- cjj(t)2dt使 最小，对第i个系数ci来说，应使/ci =0. cj= f(t) j(t)dt/ ( j(t)2dt)=(1/Kj) f(t) j(t)dt最佳近似条件下的方均误差：=1/(t2-t1)( f(t)2 dt - cj2Kj). 0,n­, ¯n

6、®, ®0. 则 f(t)2 dt= cj2Kj®称帕斯瓦尔方程。 f(t)= cjj(t).即函数f(t)在区间( t1 ,t2)可分解为无穷多项正交函数之和。 §3.2付里叶级数一、付里叶级数：（三角形式）f(t)=(a0/2)·1+a1cosWt+a2cos2Wt+b 1sinWt+b 2sin2Wt+ = a0/2+ ancos(nWt)+ b nsin(nWt).积分区间：t0 t0+T, 0T, -T/2T/2Ki= (cos(nWt)2 dt=T/2.an=(2/T) f(t)cos(nWt)dtbn=(2/T)f(t)sin(n

7、Wt)dt形制：a-n=an是偶函数 b-n=-bn时奇函数 (其中n=0,1,2).2、三角形式二：同频率项合并。f(t)=a0/2+A1cos(Wt+1)+A2cos(2Wt+2) + = a0/2+ Ancos(nWt+n). A0=a0 an= bn =-arctg(bn / an).由性质可知：a0= A0 an=Ancosn bn= bn sinn3、物理意义;同周期信号可分解为各次谐波之和。f(t)= a0/2+A1cos(Wt+1)+A2cos(2Wt+2) +Ancos(Wt+n)+例3.2-1 f(t)为方波，分解为付里叶级数。周期：T 频率：1/T 角频率：W=2p/T.

8、 区间：(-T/2,T/2)(1)f(t)= a0/2+ ancos(nWt)+ bnsin(nWt) an=(2/T) f(t)cos(nt)dt =0 bn=(2/T) f(t)sin(nt)dt= 0 n=2,4,6. 4/(np) n=1,3,5f(t)=(4/p)sinWt+(1/3)sin(3Wt)+ (1/n)sin(nWt)+ 结论：方波只含有1，3，5等奇次谐波分量，无直流分量。（2）方均误差（有限项逼近）=1/(t2-t1) f2(t)dt- c2jKj=(1/T) 1dt-(T/2) （bj）2=1-(1/2) （bj）2只取基波：=1-(1/2)(4/p)2=0.189

9、.取基三次谐波：=1-(1/2)(4/p)2+(4/3p)2=0.0994.基“+”3，”+”5次: =1-(1/2)(4/p)2+(4/3p)2+(4/5p)2=0.0669（3）方波分解的特点1、它包含的基波分量越多，越接近方波，其均方误差越小。2、当合成波所含基波次数n®，在间断点仍有约9%偏差，在间断点出尖峰下的面积非常小以致趋近于零。二、奇偶函数的付里叶系数的特点:1、为偶函数：f(-t)=f(t),关于纵坐标对称。an=(2/T) f(t)cos(nWt)dt =(2/T)f(t) cos(nWt)dt +(2/T)f(t) cos(nWt)dtan=(4/T)f(t)

10、cos(nWt)dt bn=(2/T) f(t)sin(nWt)dt+(2/T)f(t)sin(nWt)dt bn= 0. 当f(t)为偶函数时an=(4/T)f(t) cos(nWt)dt An= |an| bn/ an=0 bn= 0 jn= mp arctgbn/an角度为0，p2、f(t)为奇函数。F(-t)=-f(t),波形关于原点对称。当f(t)为奇函数时：an=0 An= |bn|bn=(4/T)f(t)sin(nt)dt jn= (2m+1)p/2. bn/an®. 奇函数只有正弦项。 任意函数 f(t)=fod(t)+fev(t)® fod(t)=(f(t

11、)-f(-t)/2. f(-t)= fod(-t)+fev(-t)= -fod(t)+fev(t) fev(t)=(f(t)+f(-t)/2. 3、f(t)为奇谐函数。（半波对称函数）f(t)=- f(t±T/2),移动T/2后，关于横轴对称。付里叶级数只含奇次谐波，不含偶次谐波。a0= a2= a4= a6=¼ b0= b2= b4=¼=0例3.2-2 把锯齿波信号展为付里叶级数。解： 方法1：f(t)=t/T既不是偶函数也不是奇函数，直接在0,T区间上求an ，bn .方法二：把分为奇偶两部分。fev(t)=(1/2)f(t)-f(-t)=(1/2)t/T+(

12、-t+T)/T=1/2. fod(t)=(1/2)f(t)+f(-t)=(1/2)t/T-(-t+T)/T=t/T-1/2=(t-T/2)/T. 奇函数部分分解为：an bn =(4/T)t/T-1/2sin(nWt)dt=(4/T2)sin(nWt)-nWcos(nWt)/(nW)2+(2/T)cos(nWt)/(nW)=-1/np. n=1,2,3 f(t)= fev(t)+fod(t)=1/2+ bn sin(nWt)=1/2-(1/p)sinWt+(1/2)sin(2Wt)+(1/3) sin(3Wt)+.锯齿波含直流分量和各次谐波分量。三、周期信号分解为指数形付里叶级数。1、定义式：

13、（由三角形式推导）f(t)=A0/2+ Ancos(nWt+n)= A0/2+ (An/2)ej(nt+n)+e -j(nt+n)。 f(t)= Fnejnt2、确定付里叶系数Fn Fn=(1/2) Anejn+(1/2)Ancosn)+jAnsinn=(1/2)(an-jbn) =(1/2)(2/T) f(t)cos(nt)dt-j(1/2)(2/T) f(t)sin(nt)dt =(1/T)f(t)cos(nt)-jsin(nt)dt Fn=(1/T) f(t)e-jntdt. n=0,±1,±23、物理意义：周期信号可分解为许多不同频率(nW)的虚指数信号(ejnt)

14、之和。每个分量的大小用Fn来表示，分为幅度和相位。 各三角函数型和指数型付里叶级数及其系数，以及各系数间的关系见表4-1。 §3.3 周期信号的频谱一、频谱的概念： 频谱分为 F 幅度频谱：以频率（或角频率W）为横坐标，An/Fn为纵坐标。 F 相位频谱：以频率（或角频率W）为横坐标，n 为纵坐标。f(t)=A0/2+ Ancos(nt+n)A0为直流分量幅度；An为n次谐波的振幅；n为n次谐波的初相角。周期信号的频谱是离散的。结论：正如波形是信号在时域的表示一样，频谱则是信号在频域的表示。描述了一个信号的频谱就等于描述了这个信号。信号分解：从已知信号绘制其频谱图。 合成：根据其频谱

15、图反过来和成原有的信号。 波形f(t) 频谱Fn与An比较：An：每条谱线代表一个完整的谐波分量的幅度，物理意义明确。Fn：从数学上将cosnWt分成ejnt和e-jnt，有负频率，没有物理意义。变化趋势一致都可进行信号的频谱分析。Fn=(1/2)An.3、周期信号频谱的特点：离散性；谐波性（是基波频率的整数倍）。二、周期矩形脉冲的频谱。f(t)幅度为1，脉冲宽度为t;周期为T.1、求频谱：f(t)= nejntFn=(1/T)f(t) e-jntdt=(1/T) e-jntdt=(t/T)sin(nWt)/(nW)=(t/T)sin(nWt/2)/(nWt/2)= (t/T)Sa(nWt/2

16、) 或W=2p/T. n=(t/T)sin(n2pt/2T)/(n2pt/2T) =(t/T)Sa(npt/2). N=0,±1,±2¼ (1) f(t)= (t/T)Sa(npt/2) ejnt 是指数形式的付里叶级数展开式。由（1）式画出矩形脉冲信号频谱图。设T=4tFn=(t/4t)Sa(npt/4t)=(1/4)sin(npt/4)/(np/4)= sin(np)/(np) n=0,±1,±2¼n=0 F0 =1/4=0.25 Sa(x)=1,当x®0时n=1 F1= sin(p/4)/p=0.225. n=2 F2

17、= sin(p/2)/2p=0.16 n=3 F3= sin(3p/4)/3p=0.075.n=4 F4= sin(p)/4p=0. n=5 F5= sin(5p/4)/5p=-0.045.n=6 F6= sin(3p/2)/6p=-0.053. n=7 F7= sin(7p/4)/7p=-0.032.n=8 F8= sin(2p)/8p=0. 特点：1、是离散的，仅含有w=nW的各分量。(n取整数)。 2、谱线间隔为W（W=2p/T） T­ 间隔小，密 T¯ 间隔大，疏 3、第一零点在2p/t处，与t有关 t­ 主瓣宽 t¯ 主瓣窄。2、脉冲宽度与频谱

18、的关系：t¯ 直流分量F0=t/T¯ 频带宽度DF=1/t­ 保持第一零点内能量不变。脉冲宽度(t) 频谱幅度(F0=t/T) 第一零点 DF=1/t t=T/4 F0=1/4 2p/t=8p/T 4/Tt=T/8 F0=1/8 2p/t=16p/T 8/Tt=T/16 F0=1/16 2p/t=32p/T 16/T 3、周期与频谱的关系。谱线间隔保持第一零点内能量不变 F0=t/4 W=2p/TT=4t F0=1/4 W=2p/4t T=8t F0=1/8 W=2p/8t T=16t F0=1/16 W=2p/16t T®¥ ，频谱趋于一个脉

19、冲。三、周期信号的功率 p= (1/T)f2(t)dt=(1/T) A0/2+ Ancos(nt+n)2dt= (A0/2)2 + (An)2/2. P=(1/T)f2(t)dt= F02+2 Fn2=F-n2+F02+ Fn2=Fn2例3.3-1 T=1,t=0.2解：p= (1/T)f2(t)dt=(1) 2dt=0.2Fn = (t/T)Sa(npt/T)=0.2·Sa(0.2pt) n=0,1,2,3,4,5.确定第一个零点：2p/t= 2p/0.2=10p, W= 2p/T= 2p,n= 10p/2p=5.P10p=(0.2)2+2(0.2)2Sa2(0.2p)+Sa2(0

20、.4p)+Sa2(0.6p)+Sa2(0.8p)+ Sa2(p)=0.1806。P10p/p=0.1806/0.2=90.3%. 4、=H(jnW) n =（1/）Sa(0.2np)e-jarctg0.5n y(t)= ejnWt= Sa(0.2np)/ e-jarctg0.5n .输出波形与时域分析相同。§3.4 非周期信号的频谱¾付里叶变换信号分析；F 周期信号：可展开为付里叶级数，频谱n是离散的，求和形式，满足狄里赫利条件。F 非周期信号：存在付里叶变换，频谱密度F(jw)是连续的，积分形式， f(t)dt<¥一、付里叶变换。由周期信号非周期信号，推导

21、出付里叶变换的定义。1、频谱密度函数定义：F(jw)=n/(1/T)= n·T称为频谱密度函数。n/f表示单位频率的频谱，类似于单位体积的质量，定义为物体的密度。T®¥,即为非周期。2、付里叶变换的定义：周期信号 n·T=f(t) e-jntdt (1)f(t)= n·T·ejnt·(1/T)= f(t)e-jntdt·ejnt·W/2p. (2)非周期信号: F(jw)= n·T def f(t) e-jwt dt f(t)= f(t)e-jwtdtejwtdw/2pdef=(1/2p)f(j

22、w)ejwtdwF(jw)=f(t) f(t)=F(jw) f(t)« F(jw) F(jw)与n一样，也是一复函数，讨论时可分开写为:F(jw)=F(jw)ejj(w)=R（w)+jX(w)=F(jw)cos j(w)+jF(jw)sin j(w).3、复里叶变换的物理意义三角形式：f(t)= (1/2p) F(jw)ejwtdw=(1/2p) F(jw)ejwt + j(w)dw=(1/2p)F(jw)coswt+j(wt)dw +j(1/2p)F(jw)sin wt+j(wt)dw =(1/p)F(jw)cos wt+j(wt)dw定义:非周期信号可看作是由不同频率的各余弦“分

23、量”组成，它包含了频率从零到无限大的一切频率“分量”。三要素：1、它包含了频率从零到无限大的一切频率“分量”，且是连续的。2、各分量的振幅为：(1/p)F(jw)dw 它是无穷小量。3、相位为j(w)。4、付里叶变换的条件：充分条件：f(t)在无限区间内绝对可积，即f(t) e-jwt dt<¥，但这并非必要条件。在引入d(t)函数后，可将条件放宽，使许多不满足绝对可积条件的函数也能进行付里叶变换。例3.4-3：双边指数函数（a>0，衰减） e-at « (2a)/(a2+w2) 实函数。例3.4-4：f2(t)= - e-at t<0e-at t>

24、0 (a>0)满足绝对可积条件。 F2(jw)=- eat·e-jwtdt+ e-at·e-jwtdt =-1/(a-jw)+1/(a+jw)=-j2w/(a2+w2)。 F2(jw)= R2(w)+jX2(w)5、典型常用信号的付里叶变换。门函数gt (t)，幅度为1,宽度为t. F(jw)= f(t)e-jwtdt=1 e-jwtdt= (e-jwt¤2-e-jwt¤2)/(-jw)=2sin(wt/2)/w=t·Sa(wt)/2 零点幅值：F(0)=t第一零点位置在wt/2=p,w=2p/t处。信号的宽度DF=1/t , t

25、5; DF­单边指数函数f(t)= e-at·e(t),(a>0)，满足绝对可积条件。 F(jw)= f(t)e-jwtdt= e-at·e-jwtdt = -1/(a+jw)·e-(a+jw)t =0-1/-( a+jw)= 1/(a+jw).a>0.复函数 | F(jw)|=1/ . 偶函数 j(w)=-arctg(w/a). 奇函数 F(jw)= f(t)e-jwtdt= f(t)cos(wt)dt-jf(t)sin(wt) dt.特点：若f(t)是t的偶函数 ®F(jw)是的实函数若f(t)是t的奇函数 ® F(j

26、w)是的虚函数。若f(t)非奇非偶 ® F(jw)为复函数，用幅度和相位才能表示。二、奇异函数的付里叶变换。1、d(t)的频谱由定义d(t)= d(t)e-jwtdt=1其频谱密度在-¥<w<¥区间处处相等。由极限概念(1/t)gt(t)= (1/t)×t×Sa(wt/2) d(t)= Sa(wt/2)=1.2、单位直流信号的频谱：f(t)=1, -¥<t<¥不满足绝对可积条件，不能用定义。只有极限概念得到：引入d()函数后，条件放宽。双边指数：f1(t)=e-aôtô a

27、4;0 f1(t)=1. F1(jw)=2a/(a2+w2) a®0 2a/(a2+w2)= 0 w¹0 2/a w=0是一个以w为位自变量的冲激函数，强度有冲激函数定义求出。强度：2a/(a2+w2)dw=2a/1+(w/a)2d(w/a) =2arctg(w/a) = 2arctg(¥)-arctg(-¥)=2p/2-(-p/2)=2p. 1=2pd(w).3、符号函数 sgn(t)= -1 t<0 0 t=0 1 t>0不满足决度可积条件，不能用定义。用极限 f2(t)= -e-at t<0 a®0 Sgn(t)= -1

28、 t<0eat t>0 1 t>0 a®0 F2(jw)=-2jw/(a2+w2) -2jw/(a2+w2)= -2j/w=2/jw w¹0 0 w=0F2(jw)是的奇函数，在 w=0处时值为0. 4、e(t)的频谱v(t)不满足绝对可积条件，不能用定义求.v(t)=1/2+(1/2)Sgn(t).e (t)=(1/2)1+(1/2)Sgn(t)=pd(w)+1/jw.5、d(t)的频谱d¢(t)=d¢(t)e-jwtdt= jw.同理：d(n)(t)=(jw)(n). § 3.5 付里叶变换的性质连续时间信号有两种描述方法

29、: C 时域描述 f(t)C 频域描述 F(jw)一、线性 a1f1(t)+ a2f2(t) Û a1F1(jw)+ a2F2(jw)利用该性质，可将所求信号表示成已知频谱信号的线性组合，用间接方式求出频谱函数。二、奇偶性 大前提，f(t)是实函数；f(t)与F(jw)奇偶虚实关系:推导：F(jw)=f(t)e-jwtdt=f(t)coswtdt-jf(t)sinwtdt F(jw)=R(w)+jX(w)=ôF(jw)ôejj(w) ôF(jw)ô= ,j (w)=arctgX(w)/R(w).1、实部是偶函数R(w)=R(-w)，虚部是奇函数

30、X(w)=-X(-w). 模是偶函数，ôF(jw)ô=ôF(-jw)ô,相角是奇函数j (w)=-j (-w)。2、若f(t)是偶函数f(t)=f(-t),则X(w)=0, F(jw)=R(w)是实函数，也是偶函数若f(t)是奇函数f(t)=-f(-t),则R(w)=0, F(jw)=jX(w)是虚函数，也是奇函数偶：f(t)sinwt是的奇函数，虚部积分为0，只有实部。奇：f(t)coswt是的奇函数，实部积分为0，只有虚部。3、f(-t)« F(-jw)= F*(jw)。推导：f(-t) = f(t)e-jwtdtt=-t f(t)ejwt

31、d(-t) = f(t)e-j(-w)td(t)=F(-jw). F(-jw)= R(-w)+jX(-w)=R(w)-jX(w)=F*(jw).三、对称性若f(t) « F(jw) 则F(jt) «2pf(-w)当f(t)为偶函数时： f(t) « R(w),R(t) «2pf(w).推出：F(jw)=f(t)e-jwtdtf(t)=(1/2p) F(jw)ejwtdw令t=-t,f(-t)= (1/2p) F(jw)e-jwtdw令t=w/ w=t ，f(-w)= (1/2p) F(jt)e-jwtdt« (2p) f(-w)= F(jt)e

32、-jwtdt.定义：时间函数F(jt) 与F(jw)形式相同的付里叶变换是(2p)f(w).例：d(t)« 11«(2p)d(w)利用对称性，可以很方便地求出一些函数的付里叶变换。例:4.5-1 Sa(t)=sint/t.门函数gt(t) «t Sa(wt/2)令t/2=1.则t=2.(1/2)×gt(t) «2×(1/2)×Sa(w)=Sa(w). «由对称性知：Sa(t) « 2p×(1/2)×g2(w)= pg2(w) « 例：f(t)=t d¢(t)

33、71; jw. jt«2p× d¢(-w)=-2p× d¢(w) t«+j2p× d¢(w).例：f(t)=1/t.已知：sgn(t)«2/jw 则2/(jt)« 2psgn(w).1/t «jpsgn(-w)=-jpsgn(w).四、尺度变换（时域展缩）若 f(t) « F(jw) 则f(at) « (1/ôaô) F(jw/a) 结论：信号的等效脉冲宽度与占有的等效宽度成反比。若言压缩信号的持续时间，则不得不以占宽频带作代价。在通信中，通信速

34、度与占用频带宽度是一对矛盾。通信系统的设计便是寻找矛盾的合理解决方案。五、时移特性若f(t) « F(jw) 则f(t±t0) « e±jwt0F(jw)= ôF(jw)ô ejj(w)±jwt0即时域中信号延时t0 «频域中所有频率“分量”相应落后一相位w t0，而幅度不变。既有时移又有尺度变换若f(t) « F(jw) 则f(at+b) « (1/ôaô) e-j(b/a)w F(jw/a) b=0 尺度变换 a=1，时移。例3.5-3 已知f1(t)= g2(t), F

35、(jw)= «t Sa(wt/2)= 2Sa(w)=zsinw/w. 解：(1) f2(t)= f1(t+1)+f1(t-1) F2(jw)= ejw F1(jw)- e-jw F1(jw)= (ejw - e-jw)2sinw/ w=4j×sin2w/ w. (2) f3(t)= f2(2t) F3(jw) = (1/2) F2(jw/2)= (1/2) 4j×sin2(w/2)/(w/2)= j4×sin2(w/2)/w.例3.5-5 已知f(t) « F(jw) 求f(3-2t) « ej4t的付里叶变换。解：f(t) 

36、1; F(jw)时移：f(t+3) «ej3w F(jw)尺度变换 a=-2, f(-2t+3) «(1/ô-2ô) ej3w/(-2) F(jw/(-2)= (1/2) e-j(3/2)w F(-jw/2)频移特性： ej4t f(3-2t) « (1/2) e-j(3/2)(w-4) F(-j(w-4)/2).六、频移特性(调制特性)若f(t) « F(jw) w0为常数 f(t)e±jw0t « Fj(ww0).证：f(t) ejw0t= f(t) ejw0t×e-jwtdt=f(t)×e

37、-j(w-w0)tdt= Fj(w-w0).应用：频域搬移技术在通信系统中得到广泛应用，诸调频、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频谱搬移的实现原理是将信号乘以载频信号cosw0t或sinw0t。应用例子：y(t)= gt(t) cosw0t y(t)= (1/2)gt(t) ×e-jw0t+(1/2)gt(t)×ejw0t Y(jw)=(t/2)Sa(w+w0)t/2)+(t/2)Saw-w0)t/2.表示：已调信号的频谱是将原频谱一分为二，分别向左和向右搬移w0，在搬移中幅度谱的形状并未改变。应用：收音机，分成各个波段，将声音调制在不同的频段上。七、卷积

38、定理1、时域卷积定理：f1(t)* f2(t)« F1(jw)F2(jw)证： f1(t)* f2(t)= f1(t)f2(t-t)dt×e-jwtdt = f1(t) f2(t-t)×e-jwt dtdt = f1(t)×e-jwt F2(jw)dt =F2(jw) f1(t)×e-jwtdt= F2(jw)F1(jw)2、频域卷积定理：f1(t)f2(t) «(1/2p) F1(jw)*F2(jw)=(1/2p) F1(jh)F2(jw-jh)dh.例：3.5-7 r(t)=tv(t)的频谱函数解：1、t的频谱 t«j2

39、p×d¢(w)2、e(t)的频谱 e(t) «p×d(w)+1/(jw)3、由频域卷积定理te(t)= (1/2p) j2p×d¢(w)*p×d(w)+1/(jw) = jp×d¢(w)*d(w)+d¢(w)*(1/w) = jp×d¢(w)+d (w)*(1/w)¢= jp×d¢(w)+ jp×d¢(w)-1/w2 te(t) «jp×d¢(w)-1/w2可推出：ôtô

40、71;-2/w2八、时域微积分1、微分：f(t) « F(jw) f¢(t) « jwF(jw). f(n)(t) « (jw)n F(jw)证：f¢(t)=f(t)*d¢(t) f¢(t)= f(t) ×d¢(t)= F(jw)×jw.2、积分：f(-1)(t) « pF(0) ×d(w)+(1/jw)F(jw) f(-1)(t) « (1/jw)F(jw) 当F(0)= f2(t)dt=0时证：f(-1)(t)= f(-1)(t)* d(t)= f (t)* d

41、(-1)(t)= f(t)*e(t). f(-1)(t) = f(t) ×e(t)= pF(0)×d(w)+(1/jw)= pF(jw)×d(w)+(1/jw) F(jw)=pF(0)×d(w)+(1/jw) F(jw) 如果F(0)=0即F(0)= f2(t)dt=0则f(-1)(t) « (1/jw)F(jw) 例：3.5-8 仍求fD(t)的频谱函数。解：fD(t)® f¢D(t)® f¢¢D(t).冲激函数变换 F(jw) fD(t)= f(-2)(t) 为双重积分。 f(t)=(2/t

42、)d(t+t/2)- (4/t)d(t)+ (2/t)d(t-t/2) F(jw)=(2/t) ejwt/2- (4/t)+ (2/t) e-jwt/2 =(4/t)cos(wt/2)-1=-8sin2(wt/4)/t.要用积分公式限判断F(0)= fD(t)dt=0，因为双重积分，判断F(0)= fD (t)dt=0, F(0)= f¢D(t)dt=0. FD(jw)=(1/jw)2 F(jw)=8sin2(wt/4)/(wt)2= (2/t)Sa2(wt/4).九、频域微积分1、微分：f(t) « F(jw) -jtf (t) « F¢(jw). (

43、-jt)n f(t) « F(n)(jw)2、积分： pf(0)×d(t)-(1/jt)f(t)« F(-1)(jw) -(1/jt)f (t) « F(-1) (jw) 当f(0)= 0时.例：3.5-10. 求te(t) 的付氏变换。解： e(t) «p×d(w)+1/(jw) -jt e(t) «dp×d(w)+1/(jw)/dw=p×d¢(w)-1/(jw2).te(t) «jp×d¢(w)+1/w2例：3.5-11 求 Sa(t)=sint/t的付氏变换。

44、 f(t)=sint=(1/2j)(ejt-e-jt) « (1/2j)2pd(w-1)-d(w +1) =jpd(w +1)-d(w-1)=F(jw)f(0)=0 sint/(-jt) « F(-1)(jw)=jpd(h+1)-d(h-1)dh = jpe(w +1)-e(w-1) sint/t«pe(w +1)-e(w-1)= pg2(w)。十、能量谱和功率谱：1、能量谱信号的能量：E= f2(t)dt= f(t)×(1/2p) F(jw)×ejwt dwdt =(1/2p) ôF(jw)ô2 dw.能量谱： (w)=&

45、#244;F(jw)ô2 单位频率的信号能量，能量密度函数。 E= f2(t)dt =(1/2p)(w)dw.2、功率谱信号的功率：P= (1/T)f2(t)dt=(1/2p)(ôF(jw)ô2)/Tdw.功率谱: j(w)=(ôF(jw)ô2)/T单位频率的信号能量，功率密度函数。 P= (1/2p)j(w)dw. § 3.6 周期信号的付里叶变换信号分析；F 周期信号：可展开为付里叶级数(求和)，频谱Fn是离散的，满足狄里赫利条件。F 非周期信号：存在付里叶变换(积分)，频谱密度F(jw)是连续的， f(t)dt<¥

46、;,可放宽。目的：统一分析方法。一、正余弦函数的付里叶变换（典型的周期信号） 1«2pd(w) ejw0t«2pd(w-w0) e-jw0t«2pd(w+w0) cosw0t=(1/2)(ejw0t+e-jw0t)«pd(w-w0)+ d(w+w0) sinw0t=(1/2j)(ejw0te-jw0t)«pd(w+w0)- d(w-w0)二、一般周期函数的付里叶变换：fT(t),周期为T.方1、先求Fn，再求F(jw)= fT(t)fT展开成付里叶级数：fT(t)= Fnejnt Fn=(1/T)f(t)e-jntdt.F(jw)= fT(t)

47、= Fnejnt=(2p) Fnd(w-nW)含义：有无穷多个冲击函数组成，位置在nW处，强度2pFn.例3.6-1解：先求 Fn=(t/T)Sa(nWt/2) F(jw)= PT(t)=(2p)(t/T)Sa(nWt/2) d(w-nW) = 2sin(nWt/2)/nd(w-nW)比较 fn 与 F(jw)图形相位似，含义不同。Fn是虚指数分量的幅度和相位；F(jw)是频谱密度。 例3.6-2 求dT(t)= d(t-nT)的付里叶变换解：先求Fn=(1/T) dT(t)e-jntdt=(1/T) d(t)e-jntdt=1/T 再求F(jw)=dT(t)=(2p)Fnd(w-nW)=(2

48、p/T)d(w-nW) = W d(w-nW)=Wd(w) dT(t)« WdW(w).方2、先求第一周期函数f0(t) « F0(jw)，再求F(jw). 先求第一周期函数f0(t) « F0(jw)， fT(t)= f0(t)* d(t-nT)= f0(t)*dT(t) 再求 F(jw)=fT(t)= f0(t)dT(t)= F0(jw)WdW(w)= W F0(jw)d(w-nW)=W F0(jnW)d(w-nW)例3.6-3 P0(t)=gt(t) 的付里叶变换.解：先求P0(t)= tSa(wt/2)再求: PT(t)= W tSa(nWt/2) d(w

49、-nW) =(2p)(t/T) Sa(nWt/2) d(w-nW) 三、付里叶系数与付里叶变换比较 fT(t)= (2p)Fn d(w-nW) fT(t)= (2p/T)F0(jnW)d(w-nW).关系：Fn=(1/T) F0(jnW)=(1/T) F0(jw)表明：付里叶变换中的许多性质，定理也可用于付里叶级数，并提供一种求Fn的方法。例3.6-4：将fT(t)展开成指数形式付里叶级数。解：f1(t)« F1(jw)=(T/2)S2a(wT/4) f0(t)« F1(jw)e-j(T/2)w=(T/2)S2a(wT/4) e-j(T/2)w= F0(jw)Fn=(1/T

50、) F0(jw)=(1/2) S2a(nWT/4)e-j(T/2)nW = (1/2) S2a(np/2)e-jnpfT(t)= (1/2) S2a(np/2)e-jnpe-jnWt § 3.7 LTI系统的频域分析一、频域响应： f(t)® LTI系统 ® y(t)=yf(t) ejwt ® LTI系统 ® H(jw) ejwt f(t)=(1/2p)F(jw)ejwtdw® LTI系统 ®y(t)= (1/2p) H(jw)F(jw)ejwtdw1、频域响应的定义;当输入为f(t)= ejwt 时系统的零状态响应y(t)

51、=h(t)*f(t)=h(t)* ejwt = h(t)ejw(t-t)dt=h(t)e-jwtdtejwt= H(jw)ejwt 定义：H(jw)=h(t)e-jwtdt为频域响应函数/系统函数；关系：h(t)« H(jw) 用来描述系统的特性；表示H(jw)=ôH(jw)ôejj(w)h(t)描述时域特性 ； H(jw)描述频域特性 ； 2、频域分析的基础方法：当激励为任意信号f(t)时 f(t)« F(jw) 系统函数h(t)« H(jw) y(t)« Y(jw)= H(jw)F(jw)时域分析 f(t)*h(t) = y(t) 频域分析 的关系： H(jw)