线性变换习题解答

1、第七章 线性变换习题解答P320 1. 不是 当时，不是线性变性当时，所以是线性变换1A.1（不是）含，则不是线性变换1A 取 是一个线性变换1.（是），令，则因此是一个线性变换P321 1.解 因此这里的投射是一个线性变换.1.（不是）因为则但C中任意复数，一般，故不是线性变换P321 .1.，则由矩阵运算性质 故是一个线性变换.P321 .2.解为空间的一点M那么，因此：P321 ，3解：，故（第3习题里给出了这样的是存在的）证：当k=1时（已知）设也成立故对一切自然数例进一步 P321.5 可逆换是1-1对应证：设A的逆变换A-1，则矛盾,故象不同A-1是单射（1-1的）此外若有是满射（

2、映上的）是1-1对应P321 6若A可逆，可对于故线性无关若A，则A是一个基与基之间的过渡矩阵，A可逆，由定理2，一个可逆变换。在标准基下的矩阵 7、（1） （ii）(iii)7 7 7 那么 = 7 7 （同上）P322.8 P322 9在下的矩阵为在下的矩阵为在下的矩阵为P322.10反没有不全为0，使而是 第一个非0数，故 两也用作用则只留下，但，（与的选择矛盾！）故线性无关。P322 11 （由10题），线性无关，做成空间的一个基且 =而为所求证。 13 设对任意可逆矩阵T 那么由已知在任意基下矩阵相同，故即 与任何可逆矩阵可换 特别的令（矩阵单位）因此A与任何矩阵可换，所以14、所求

3、矩陈为：14若，则，基础解为14令，则14 令可 15 若则会有 15 15 结果仍为P324 16 当n=1时显然已成立设n=k时命题成立， 当n=k+1时若 那么 对于 则其中证毕P324 17 存在 此时若A不可逆，则只有，没有ABBA对于（参见P207 30或P.3）至于简单可取则AB=0，BA= P324.18,设 P324 19 求的特征值，特征向量：对于一切特征向量为对于当，数乘变换，特征值为0，特征向量是一切非0向量P324 19 。，由于秩重数有3个特征数.但故对于一切特征向量为不全为0。对于。属于的一切特征向量为P324 19 对于一切属于2的特征向量为 对于一切属于的特征

4、自量为对于一切属于的特征向量为P324 19 特征值为对于对于一切特征向量为P324 19 , （反对称）解 对于 对于一切特征向量为对于一切特征向量为， P325 19 特征值为 P325 20 由定理8推论1 . 取其，即使的矩阵对角化，取则P325 20 即可取则P325 20 故可以对角化，取基 即可令,则P325 20 即可.则P325 20 可以对角化，取基即可 令 则P325 20 有3个（个）特征根，可以对角化，取基即可，令P325 20 （见7，106，11.4）只有个特征值，且之和为小于空间维数故在任何基下的矩阵不是对角形，即不与对角矩阵相似.设可解出令则可逆，同样也有P3

5、25.21证：取的基 =，则在某组下的矩阵为反设，有T可逆，使则矛盾！（）P325.22 ，取则P325.23 P325 23 得得得对应到对应于对应于P325 23 取，则P325 24 若 则 P325 24 既然中所有向量为特征向量，若存在所有非零向量，必有同一个数使，所以对一切P326 25 ，则而因此25 在C中至少有一个特征根令是的属于的特征子空间，则又因为（由上小题）考虑，则，而在C中至少有一个特征值入。必有一个向量，使，P326 26 26设26，只有一个特值，解得的属于的一切特征向量为设W为子空间，则在W中必有一个特征向量26 若，而，于是不是直和。P326 27 A=或又P

6、326.27 ，或，而补1. 证：补1证 补2，证：由Th2(i) (ii) 可以，所以补 3 因此：个线性变换 线性相关，即存在故作则有 补3 因为 补3 即为所求“” 补4 可逆 因为有 于是0的原像不唯一，不是单射，矛盾！补4设的特征值，则有 P327 补5“”，必有某个“”若某个，则另证：设在基下的矩阵为A，则有非0解是一个特征值 P327 补6 有n个不同的特征根，由定理8,推论1，则与对角矩阵相似补6 只有一个n重根根据推论4，（7，107，12.3）应：对角但不能与对角矩阵相似.P327.补7则，不可逆，且为上三角矩阵，证：（归纳片）当时，已经成立，设阶时命运成立。考虑级情形。，则存在一复根，设为A的属于的特征向虚，扩充为的一个基的令可逆A1是级矩阵，由归纳假设，存在T2使为上令则=仍为上由假纳假设，证毕P327 补8 两两不同，则，使两两不同，（看见这题，想起什么，chap6补5）证：作则诸是中个非零线性变换令因为，所以，是的有降个个非平凡子空间，由chap补5，（见6、92、12.4），存在，且即即两两不同P327补9 设证证：取的基扩充为为W的基，所以同理且线段无关（证法与定理不同）所以（证毕）注，秩并不说明，例如P327补10：。证：秩证由上