2002中国数学奥林匹克试题及解答

1、精诚凝聚=A，=成就梦想 _HIII2002年中国数学奥林匹克试题及解答(考试时间：2002年1月27号、28号)试题：一、 AABC的三边长分别为 a, b, c, bc, AD是角A的内角平分线，点 D在边 BC上。(1)求在线段 AB, AC内分别存在点 EF (不是顶点)满足 BE=CF和/ BDE= /CDF的充分必要条件(用角 A、B、C表示)；(2)在点E和F存在的情况下，用 a, b, c表示BE的长。二、设多项 式序列Pn(x)满 足：P1(x)=x21, P2(x) =2x(x2 1),且Pn书(X)Pn(X)=(Pn(X)2 (x21)2, n=2 , 3,。设Sn为Pn

2、(x)各项系数的绝对值之和，对于任意正整数n,求非负整数kn使得2/Sn为奇数。三、18支足球队进行单循环赛，即每轮将 18支球队分成9组，每组的两队赛一场，下 一轮重新分组进行比赛，共赛17轮，使得每队都与另外17支球队各赛一场，按任意可行的程序比赛了 n轮之后，总存在 4支球队，它们之间总共只赛了1场，求n的最大可能值。四、对平面上任意四个不同点耳，P2, P3, P4,求“PPj1 :j *的最小值。min PFj1J2及实数0a1 a2an ,2nnnm只要满足_ kak =c ak ,总有Z ak Mak ,其中m是不超过cn的最大整数。 nkmk 1k 1kd解答：一、（1）由条件

3、 BE=CF, /BDE=/CDF ，得 S 为de =Sdf , . BD DE=CD DF BD2 +DE2 -2BD DE cos/BDE =BE2 =CF2 =CD2 +DF2 -2CD DFc oZC D F由、，得 BD2 +DE2 =CD2 +DF2由、得BD+DE=CD+DF以及(BD -DE)2 =(CD DF)2由知，BD-DE=CD-DF，或 BD-DE=DF-CD若成立，则由，BD=CD这与条件b-A ,由b-A 。分别在 AB、AC上取E, F使/ DEB= / C,2 2/DFC=/B,于是 BDEA FDC ,且对应高相等。. BDEA FDC,从而 BE=CF

4、, /1BDE= / CDF ,因此所需的充要条件为 B A。2(2)当点 E、F 存在时，据 BDEAFDC,，/BED=/C,因此 A、C、D、E 共圆，2.BE BA=BD BC,即 BE c =-a a ,. BE =。 b cb c二、由条件，P：(x) Pn书(x)Pn(x) =(x2 1)2 ,因上式右端与n无关，故Pn(X)-Pn+(X)Pn_1(X)=Pn2A(X)-Pn(X)Pn(x)(n=3 ,4,)，.Pn(Pn 书 +PnA)=Pn(Pn + Pn N )。则 Pn 书 +Pn,_Pn - Pn /递推_P12PL _ 2x 。、Pn一Pn11 一 P2一 ，Pn.=

5、2xPn -PnL ( n=2, 3,)，补充P0 =0,则此式对 n=1也成立。特征方程片=2Xx -1 , . ？u=x Jx2 -1 (|x|1)。从而 Pn(x) =(x +4x2 -1)n -(x -x2 1)n。 2记(x +Jx2 _1)n =u(x) +v(x) vx2 -1 (u(x), v(x)为 x 的多项式)则(x -Vx2 -1)n =u(x) -v(x) ,Vx2 -1 , (丁 Jx2 -1与 _Jx2 _1 的偶次哥相同，而奇 次哥仅相差一个符号)二(x + Vx2 -1 )n -(x -Vx2 -1)n =2v(x)Jx2 1 oc . x 2 T cc从而

6、Pn(x) =2v(x) x2 -1=(x2 -1)v(x) =(x2 -1)22m= (x2 -1)、C2mLxTm1(x2 -1)m =(x2 -1)、C2mLxnMZ (-1)022(012m 1 in)m=0k O翻点亮心灯/(AvA)照亮人生精诚凝聚=A，=成就梦想 上1当n为奇数(其中an为适合0W2m+1 wn的m的最大值，即n 12 )n2当n为偶数2：_n.n=(x2 -1) z (1)kxnNkZ CnmC：,k =0m *:二 nSn =2、 k O工 c2m+C： =2Z Cm =k:n；：n=2 C2m2mm z0为找出Sn的2因子最局帚次kn与n的关系，将的右端表为

7、另一形式:Sn =1(1 +,2)n (1j2)n,记 tn =(1 +2)n +(1 -V2)n。则 So =1, S1 =2, to =3 =2,且 tn +V2Sn =2(1 +2 时，tn =2 Cnm 2m =2(1+ C2m .2m)。 m _0m 0从而Itn为奇数。(此结论对n=1也成立)2又，对任意m, nC N ,有tmn2Smn =2(1 - - 2)m =2(1.2)m 2(1 ，2)nJ(tm 2Sm)(tn、,2Sn)2 (tmtn +2SmSn +&(7& +tnSm)。211_比较两病无理项得，Sm+=(-tm)Sn +tn)Sm1小令 m=n,则 S2n =(

8、tn) 2Sn， 2又据，当r为奇数时，Sr =2(C： +2C：+22c5 十+210c2Gr) =2 奇数Sn =Smr =(Lmr。2Sm= J tmj)(tm) 222= ,1,m、，1,m2、，1, 、，1 m m1/ 米/、=(12r ) (12r ) (_ t2r)(_ tr) 2 Sr=2 (可 数) 2222二 kn =m +1。若用数论函数表示，则 kn =Pot22n。三、将18支球队顺次编号为1, 2,，18,并按奇数与偶数分成二个子集：A=1 , 3,5,，17, B=2 , 4, 6,，18。然后将每场比赛的队（x, y）按其和x+y被9除的余数情况而规定轮次，并且

9、先在同奇偶的队间各安排4场，再将挂单的二个队安排一场比赛,即要求：第r轮中每场比赛的队（x, y）满足x+y三r （mod9）即: 第一轮：（x, y）比赛两队满足 x+y = 1 （mod9）;(1, 9), (3,11,1”3,15) ,以及(5, (2, 8), (4, 6), (10, 18), (12, 1 6 )14)。第二轮：(x, v)满足 x+y = 2 (mod9); a CC11),以及(1, 恪 18), (4, 16), (6, 14), (8, 1 2 )10)。第三轮：(x, v)满足 x+y = 3 (mod9);乜 11), (3, 9),(5, 7),(13

10、,17),以及(6, 0 10), (4, 8), (12, 18), (14, 1 6 )15)。第四轮：（x, v）满足x+y三4 （mod9）;“，3), (5,17),(7,15),(9,13)(4, 18), (6, 16), (8, 14), (10, 12)11)。第五轮：(x, v)满足 x+y = 5 (mod9);乜 13), (3,11)，5, 9),(15,17),以及(7, (2, 12), (4, 10), (6, 8), (14, 1 8 )16)。第六轮：(x, v)满足 x+y = 6 (mod9);(1, 5), (7, 17), (9, 15), (11,

11、13)=2 4), (6, 18), (8, 16), (10, 1 4 )，以及（3,12)。第七轮：(x, v)满足 x+y = 7 (mod9);：(1，15), 13),(5,皿 9)，以及(8, 17) (2, 14), (4, 12), (6, 10), (16, 1 8 )第八轮：(x, v)满足 x+y = 8 (mod9);2 7), (3,与17)，15),以及(4, 13)。 (2, 6), (8, 18), (10, 16), (12, 1 4 )第九轮：(x, v)满足 x+y = 9 (mod9);(1, 17), (3, 15), (5, 13), (7, 11)

12、 (2, 16), (4, 14), (6, 12), (8, 1 0 )，以及（9, 18）。在这九轮比赛中，共含有4X9=36个（奇，奇）型搭配，36个（偶，偶）型搭配，而36 = C；,翻点亮心灯/（AVA）照亮人生精诚凝聚=A，=成就梦想 _HIII即在这九轮中，一切（奇，奇）型搭配，（偶，偶）型搭配均已出现，即任一对（奇，奇）号球队都比赛过，任一对（偶,偶）号球队也比赛过。今在这18个队中任取三个队，设编号为a, b, c,其中必有二数同奇偶，即比赛过。现对于任意四个队 a, b, c, d,由于a, b, c中必有两队比赛过，设（a, b）比赛过， 去掉a,考虑b, c, d三个队

13、，其中又必有二个队比赛过。因此按这种分组方式进行9轮比赛后，任何四个队 a, b, c, d之间至少比赛过两场。于是，适合条件的n必应满足n 10）o今用18个点表示这18支球队，如u, v两队已赛过，则在 u, v间连一条边，于是得图 G, G的每个顶点的度数皆为 no在G中任取不相邻的二个顶点 a1, a2, 丁 d（a1）+d（a2） =2n E14 ,故G中异于a1, a2的16个点中至少有一点a3,它与a1, a2都不相邻。于是 M1 =a1, a2, a3的点两两不相邻，G的其余15个点记为:N1=b1, b2，b15,由于M 1中任二点不相邻，每一点度数为n,故连结M 1、N1之

14、间的边数恰有3n条（3nW21 ）。（i）若集N1中有一点，例如b1，向集M1只发出一条边，则四点 a1，a2, a3, b1为所求（恰有一条边）；（ii）若集Ni中的每个点，或者向 Mi不发出边，或者向 Mi发出的边数2,由于连结Mi, Ni之间的总 边数3nm, AC m, / BAC= a ,则 BC 2m sin -。 2(作分解线 AD , 并作 AD 的垂线 BE , CF , 则 _ a . _ a . aBC - BE CF=ABsin ACs in 2ms i-ni。222先考察二个特殊图形： 对于正方形，k=4+2，2,对于顶角为60的菱形，k=5 + J3。因此猜想kmi

15、n =5+g。1 .如四点中有三点共线，有 RP2 +P2P3 +PiP3 之4m, PR +PF2 +PP3 之3m ,于是 k 75+5 +的。（ii）如凸包为四边形。若四个内角均w 设 a + 3 180 , 干旱P a4Y j 之 45 ,4120 ,因四边形总有两相邻内角和a180。如有一内角120 （设/P2Plp42120口），由引理，P2P4 之J3m ,于是k之5 +J3。a 3 ,又由，则 3 60 , 0 a-3 60 。a - P0 1 且(u, v, w)D =1。事实上，设(x, y)=(b)=(aa1 a2a1a2必), a1a2ai, ab2, aa2)D =d

16、 ,则a2b1 ab2 a1a2、/ 人 a2b1a1b2(,)d =1 ,令 =u,d d dd daa2=% d=w ,则(u , v , w ) =1 且,、，u v、（x, y）=（一，一）。 w w精诚凝聚=A，=成就梦想 _HIII我们不必考虑只含有一个有理点的直线，因为无论对Q2怎样划分，这种直线只能含有其中一个子集的点。今设直线l上含有二个有理点， 取两点式，经化简后，可设直线l的方程为ax+by+c=0, a, b, c为整数且(a, b, c)D =1。而点(u,)在l上当且仅当 au+bv+cw=0 w w为讨论方便，以下我们用向量(a, b, c)表示直线ax+by+c

17、=0 ,用向量(u, v, w)表 示有理点(上，乂)。据可知，有理点(上，-)在直线l上当且仅当向量(u, v, w)与(a, w ww wb, c)的内积为0。现考虑诸整数的奇偶 性，即将各分量置于*H 2 (mod2)意义下讨论。并注意(a,b, c)d=1,(u,v,w =1,则(a, b, c), (u, v, w)各有 7 种情况：(0, 0,1),(0,1,0), (0,1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1,1, 0),(1, 1, 1),它们分别对应于前 7个正整数1, 2, 3, 4, 5, 6, 7的二进制表示式。现在我们将所有直线(a, b, c

18、)划分为三类：L0 =(a, b, c)与1, 3, 5, 7的二进制表示式对应；L1 =(a, b, c)与2, 6的二进制表示式对应；L2=(a, b, c)与4的二进制表示式对应。即在 mod2 意义下，L0:(a, b, c)三(0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1)L1:(a, b, c)三(0, 1, 0), (1, 1, 0)L2：(a, b, c)三(1, 0, 0)。再将有理点集Q2分成三个子集：Q2 =Qi UQ2UQ3 ,其中Qi, Q2, Q3分别与上述7 数在二进制表示式中的一位数，二位数，三位数相对应。即：Q1:(u, v

19、, w) = (0, 0, 1)Q2：(u, v, w)三(0, 1, 0), (0, 1, 1)Q3：(u, V, w)三(1, 0, 0), (1, 0, 1), (1,1, 0), (1,1,1)。显然，Qi, Q2, Q3两两不交，且由可知，LOQi=牝LiQQ2=e, L2 1 Q3 因此这种划分满足条件(2)。又对于任一有理点 Po = (曳，也)，Wo至1 , (u0, Vo , Wo)d =1以及任一正数r,以Po Wo Wo 翻点亮心灯/(人9)照亮人生 翻 精诚凝聚=A，=成就梦想 翻点亮心灯/(AvA)照亮人生为圆心，r为半径的圆盘记为 Dr：Dr =(x, y)|(x粉

20、2+(y-Wo)2。2，选取充分大的n,22uoVoi 22n 2： r -2 Wo并取(xi, yi)=(2nuoc n2 Vo(X2,V2)=(X3,y3)=(则(Xi(Xi,(X22nWo i 2n wo i)Qin n ，2 Wo2nuo 1n n2 Wou o 2-)2(yiWoyi) Dr,u o 2-)(y2 Wo(X2, 丫2) Dr ,/ uo 2/- 一一)(y3Wo.（X3, 丫3） Dr。从而Dr Qi 牝in)WQ2,2nWo2nVoon2 Wo当WoV o )2WoV o ) 2WoDr Q2)/，22uoVo2 n2Wo(2 Wo i)u2 +v2 +iC 2n

21、22 Wo2r ，i2n2Woi72n22 Wo22uoVo02n 22 Wo2uo22r ，V2 i2n 2Wo2r ，从而这种划分适合条件（六、记r=cn, k=r,则条件化为:工kak =rZ ak取 S0 =0,kSk =z aj ,则由: jT0 = (k r)ak 八(k -r)(Sk -Sk) 精诚凝聚=A，=成就梦想 nn=、(k -r)Sk，(k 1 - r)Sk k 1k 1n 1=(n -r)Sn Skk 1n=(n +1 -r)Sn -Z Sk 0k 1n即 Sk =(n +1 -r)Snk 1因数列an单增，故其算术平均序列2也必单增，从而有Sj jsm ,对j=i ,2, Jmkmm i s m _iim 求和，得 Z Sj Z J umsm.j4m jd2(n _m _k)(Sm永-Sm) (n -m -k) kam4k k(Sn -Sm ),1Sm 4k -(n m -k)Sm *kSn,n - mnn _mn _mn