2020年领军高考数学(理)一轮必刷题导数的应用(解析版)

1、考点14导数的应用1、已知函数f(x) = x3+bx2+cx+d的图象如图所示，则函数 y=log2(x2+2bx+A)的单调递减区间为( 33A. 2，+B. 3, + 8)C. 2,3D. (8, 2)【答案】D【解析】因为 f(x) = x3+ bx2+ cx+ d,所以 f 'x)=3x2+2bx+c,由图可知 f '«2) = f ' (3) 0,所以.2 4b+ c=0, |27+6b+c=0,3- b= -/n 2 C c,c解得 s 2 令 g(x) = x2 + -bx + -,则 g(x) = x2-x-6, g x)=2x1,由 g(x

2、)=x2-x 33c= 18.-6>0,解得 xv2 或 x>3.令 g'x)v0,解得x<2,所以g(x) = x2-x- 6在(8, 2)上为减函数，所以函数y= log2x2+ |bx+ 3的单调递减区间为(一00, 2).C. (1,2)f(x)的单调递增区间为()B. ( 8, 0)和(2, + 8)D. R【解析】因为函数 y=是R上的减函数，所以f 'x)>0的充分必要条件是0 V g J'x)v1, f 'x)<0的充分必要条件是1f x)>1.由图象可知，当xC(8,0) U (2, +8时，0<，刈&

3、lt;1,即 f'x)>0.第8页共7页所以函数f(x)的单调递增区间为(一8, 0)和(2, 十00).故选B.3、若曲线Ci： y=ax2(a>0)与曲线C2： y=ex存在公共切线,A.2e- + oo IJ2 eB.0,Ci，十力D.0,则 a的取值范围为()2e8e4【解析】结合函数 y=ax2(a>0D y=ex的图象可知，要使曲线 C1： y= ax2(a>0)与曲线C2： y=ex存在公共切线，只要ax2= ex在(0, 十°°比有解，从而a=e2.令xeh(x) = -2(x>0),则 h x)= xex x2 ex

4、2x x-4xx令 h'x)=0,得 x= 2,易知 h(x)mm= h(2) = 4,所以 a号4、已知函数f(x) = x(xm)2在x= 1处取得极小值,则实数 m=()A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】f ' x)= (x m)2 + 2x(x m)= (x m) (3x m).由 f ' (1) 0 可得 m=1 或 m=3.当 m=3 时，f'x0= 3(x1)(x3),当1vxv3时，f'x)<0;当x<1或x>3时，f 'x)>0.此时在x= 1处取得极大值，不合题意.所以 m= 1,此时

5、f ' x)= (x 1)(3x 1),当 lxv 1 时，f 'x)v 0;当 xv1 或 x> 1 时，f 'x) >0.此时在 x= 133处取得极小值.选 B.5、已知函数f(x) = x3px2qx的图象与x轴切于点(1,0),则f(x)的极大值、极小值分别为()B. 0,4274-c.27, 0D. 0,427【解析】由题意知,33 2p q = 0,f x0=3x2-2px-q,由f'(今 0, f(1)=0 得。1-p-q = 0,解得 p=2, q = - 1, .-.f(x)f(x)取极大值27,当x= 1时，f(x)=x32x2

6、+x.由 f ' x) = 3x2 4x+ 1 = 0,得 * = 1或 x= 1,易知当 x=，时, 33取极小值0.6、已知函数f(x) = x3+3x2-9x+ 1,若f(x)在区间k,2上的最大值为28,则实数k的取值范围为()A. -3, +8)C (一 OO) - 3)D. ( °0, 一 3【答案】D【解析】由题意知f 'x)= 3x2+6x9,令f 'x)=0,解得x= 1或x= 3,所以f 'x), f(x)随x的变化情况如下表：x(8, 3)-3(-3,1)1(1 , + 8)f 'x)十0一0十f(x)极大值极小值又 f(

7、 3) = 28, f(1) = 4, f(2) = 3, f(x)在区间k,2上的最大值为 28,所以 k<- 3.7、已知函数f(x) = x2a(a> 0)在1, + 00止的最大值为 岑,则a的值为()A.y/3- 1B.D. V3+ 1【答案】A2xa x【解析】由f(x尸目得f刈=120.当a>1时，若 x>a/a,则 f x)< 0, f(x)单调递减；若 1vxvF，则f'x)>0, f(x)单调递增.故当x= F 时,函数f(x)有最大值 4 =坐，得a=3<1,不合题意；当a=1时, 2 u a 2 34函数f(x)在1 ,

8、 + 00止单调递减，最大值为1f(1) = 2,不合题息；当 0V av1时，函数f(x)在1 , + 8止单倜递减,此时最大值为隼)=±=害'得a = 73- 1,符合题意，故a的值为431.选A.8、已知函数f(x) = x3+bx2+cx的图象如图所示，则x2+x2=(B.C.D.163【答案】C1+b+C=0,3【解析】由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0),因此解得b=-3, c= 2,所以f(x) = xl8+4b+2c=0,3x2+ 2x,所以 f 'x)=3x26x+ 2.因为x1，x2是方程 f 'x)=3x26x+2 = 0

9、的两根，所以x1 +x2=2,XiX2=所以 Xi + x2 = (x1 + x2) 2x1&= 4 = 33 39、函数f(x)=1x3+x23在区间(a, a+5)上存在最小值，则实数a的取值范围是()A. 5,0)C. 3,0)B. ( 5,0)D. (-3,0)【答案】C上是增函数，在(一2,0)上是减函数，做出其图象如图所示【解析】由题意知，f'x)=x2+2x= x(x+ 2),令 f'x)=0,解得 x=0 或2,故 f(x)在(°°, 2), (0, + 8)令1x3+x21= 2得，x= 0或x= 3,则结合图象可知，, 3333a

10、 v 0,解得a -3,0).故选C.a+5 > 0 ,10、已知函数f(x)=x3-2x2-4x-7,其导函数为f 'x),给出以下命题：f(x)的单调递减区间是(一3, 2 ；f(x)的极小值是一15;当a>2时，对任意的 x>2且x，恒有f(x)>f(a)+f' a)(xa);函数f(x)有且只有一个零点.其中真命题的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】f'x)=3x24x 4=(x2)(3x+2).令f'x)v 0,得一3v xv 2,所以f(x)的单调递减区间是 3, 2 ；令f'x)>0,

11、得xv 2或x>2,结合可知f(x)的极小值是f(2) = 15;显然当a>2时，对任意的x> 32且x，恒有f(x)>f(a)+f'a)(xa)不成立；f 二3卜一崂< 0, f(2) = 15<0,并结合易知f(x)有且只有一个零点.故选 C.311、已知函数f(x) = x- (4m- 1)x2+ (15m2- 2m-7)x+ 2在R上单调递增，则实数m的取值范围是 .3【答案】2,4【解析】f 'x)= x2 2(4m1)x+ 15m22m7,由题意可知，f 'x)海R上恒成立，所以 A= 4(4m 1)24(15m22m 7

12、) = 4(m26m+8) wq 解得 2<m<4.12、已知定义域为 R的函数f(x)满足f(4) = 3,且对任意的xCR总有f 'x)<3,则不等式f(x)3x15的 解集为.【答案】(4, +*【解析】令 g(x) = f(x)-3x+ 15,则 g'x) = f (x)3V0,所以 g(x)在 R 上是减函数.又 g(4) = f(4)3%+ 15 =0,所以 f(x)v 3x15 的解集为(4, +8).13、已知函数f(x)= - 2x2 + 4x 3ln x在区间t, t+1上不单调，则t的取值范围是 .【答案】(0,1) U (2,3)【解析

13、】由题意知 f'x)=x+43=x2x,由f'x)=0得函数f(x)的两个极值点为1和3,xx则只要这两个极值点有一个在区间(t, t + 1)内，函数f(x)在区间t, t+1上就不单调，所以1C(t, t+1)或3t< 1,t<3,C(t, t+1)? ,或"? 0vtv1 或 2vtv3.|t+ 1> 1|t+1 >314、已知函数 f(x)的导函数为 f 'x)=5+cos x, xC (-1,1),且 f(0) = 0,如果 f(1 x) + f(1 x2)v 0,则实数 x 的取值范围为.【答案】(1,2)【解析】f 

14、9;x)是偶函数,且f(0) = 0,原函数f(x)是奇函数，且定义域为( 1,1).又导函数值恒大于 0, .原函数在定义域上单调递增，所求不等式可变形为f(1 x)vf(x2 1), 1v 1 xvx21v1,解得1vxv42, 实数x的取值范围是(1,42). 15、函数f(x) = gx3+x23x 4在0,2上的最小值是 .317【解析】f x) = x2 + 2x-3,令 f'(x) = 0 得 x= 1(x=-3 舍去).又 f(0)=- 4, f(1) = - ,1710 一f(2)= 一w，故 f(x)3在0,2上的最小值是f(1) = -37.16、已知函数 f(x

15、)=x3+3ax2+bx+a2在 x=1 时有极值 0,则 a-b=【解析】由题意得f' x) = 3x2+ 6ax+ b,则1 + 3 a b+ a2= 0,l3-6a+b = 0,a= 1, 解得,b= 3,、a = 2,，、八八、或;经检验当a= 1,b= 9.b=3时，函数f(x)单调递增无法取得极值，而 a = 2, b=9满足题意，故a b = - 7.17、已知函数f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在极大值又存在极小值，则实数 m的取值范围是 .【答案】(8, 3)U (6, + 8)【解析】对函数f(x)求导得f 'x)= 3x2+2mx+ m+6,要

16、使函数f(x)既存在极大值又存在极小值，则 f 'x0=0 有两个不同的根，所以判别式 A>0,即4m2-12(m+6)>0,所以m2-3m-18>0,解得m>6或mv 3.18、已知函数 f(x)=x36x2+9xabc, avbvc,且 f(a)= f(b)= f(c)= 0.现给出如下结论：f(0)f(1) >0;f(0)f(1)v 0;f(0)f(3) >0;f(0)f(3)v 0.其中正确结论的序号是 .【答案】【解析】 f x)=3x2-12x+9= 3(x1) (x-3),由 f 'x)<0,得 1vxv3;由 f 

17、9;x)>0,得 xv 1 或 x>3.，f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(一00, 1), (3, + 8止是增函数.又 av bvc, f(a)=f(b) = f(c) = 0,. y极大值=f(1)=4-abc> 0, y极小值= f(3) = abc<0,0V abc<4. .a, b, c 均大于零，或者 a<0, b<0, c> 0.又x= 1, x= 3为函数f(x)的极值点，a<0, b<0 , c>0不成立，如图19、已知函数 f(x)=- ex(a>0). a(1)求函数f(x)的单调区间;(

18、2)求函数f(x)在1,2上的最大值.【答案】(1)单调递增区间为8, in；;单调递减区间为In：1，+8)(2)当 1<或<2,即 e2<a<1寸， 一 1111f(x)m产 f (na 厂 a%-a；当ln%i,即叱时，皿4(1) = ；e.x v1V【解析】(1)f(x) = ：ex(a>0),则 f 'x)=aex令 f' x) ex= 0,则 x= In 1a.当x变化时，f ' x), f(x)的变化情况如下表:x1 - 8, in1 ；. aa71 Inain； + 8； a a/f'x)十0一f(x)极大值故函数f(x)的单调递增区间为-°°, In：；;a单调递减区间为Ma，+(2)当 ln*2,即 0va,时,f(x"= f(2) =2e2; aea 1 一一 1 i, 一当 1V 唁< 2,即"a<e时，f(x)max当 Injwi,即 a3时，f(x)max= f(1)=一e. aea20、已知函数 f(x)=xln x.(1)若函数g(x)=f(x)+ax在区间e； + 00止为增函数,求a的取值范围;(2)若对任意 xC (0, + 8), f(x)苏x2 + mx 3恒成立，求