2019年4月北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习(一)理科数学试题参考答案

1、北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（一）2019.4数学（理科）参考答案及评分标准9、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）(1) C(2) B(3) D(4) A(5) D(6) C(8) D二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）(10)(11) 3,13+1(12)60(13) （0,1）（答案不唯一）(14)(9) 60三、解答题（共6小题，共80分）(15)(共 13 分)1 1解得a =1.解：(I)由已知 f (-) =1 ,得 4ax-x- =1 ,32 2nf (x) =4cos xsin(x -) 6,3 .1、=4cos x(sin x - -

2、 cosx) 22=2.3sin xcosx -2cos2 x=3 sin 2x - cos2 x -1n=2sin(2x -) -1 6 7分所以f （x） =2sin（2 x三）1的最小正周期为 6(n)由(i)知 f(x) =2sin(2x )-1.6当 x0,m时，2x- = -,2m-,666若f (x)在区间0,m上单调递增，则有 2m - <,即 mW. 623n所以m的最大值为-.13分(16)（共13分）解:（I）设A表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”.由题意可知,2009年，2011年，20

3、15年，2016年满足要求,拓一4故 P(A)=10.4分（H）由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2, 3,且P(X =0)=C31C306 'P(X =1)=c4c21P(X =2)=c2c63C3010 'P(X =3)=C：1C3030所以X的分布列为:X0123P113162103010分13分故 X 的期望 E(X) =0父1+1/+2父3+3 j=6621030 5（出）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大.从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大.（17）（共 14 分）解：（I）连结CO .因为C在平面A1ABB内的射影O

4、为AB与AB的交点,所以CO，平面AABB.由已知三棱柱 ABC - AB1cl各棱长均相等,所以AC =BC,且AABB1为菱形.由勾股定理得OA =OB ,即AB1 = AB .所以四边形人人8口为正方形（n）由（I）知 CO_L平面 A1ABB1, CO 1 OA,CO 1OA1.在正方形A1ABB1中，OALOA.如图建立空间直角坐标系 O -xyz .由题意得 o(0,0,o), A(T2,0,0), a(o,应,0), bjj2o,o), c(o,0，物,Ci(V2,T2,T2),国-告争口应常务所以 AA = (-J2,12,0), AC=(0, -、,2,、.2).设平面A A

5、CC1的法向量为m = (x, y, z),AA =0,AC =0.f-J2x 、,2y =0, 即一 2y-2z=0.=1,则 y=1,z=1.m 二(1,1,1).又因为 EF =(32, -,0), 22z设直线EF与平面AACC1所成角为日，则sin 二-| cos m ,EF |二m EF. 3015所以直线EF与平面AAC所成角的正弦值为, 301510分（出）直线EF与平面ACD没有公共点，即EF /平面 A1CD .设D点坐标为（0, y°,0） , D与O重合时不合题意，所以y。= 0 .因为设n =（x1, y1,乙）为平面ACD的法向量,皿Jn AD =0, 一

6、J2x十丫必=0,则n羡=0.即言及+也2令x, =1,则y=， V。4 =1.口- 2是 n =(1,，1).V。若EF /平面ACD , nEF =0.p =z3v22 小又讦=（丁，一3,0），3 222.2所以义=0 ,解得y0 =22y03此时EFb平面ACD ,所以 AD 二也,DBi =4/2. 33AD 1八所以=.14分DB12(18)(共 13 分)解：(I) f(x)定义域为(0,也). 21 2ax (a 2)x-1 (2x 1)(ax - 1)f '(x) =2ax (a - 2) - 一 二二.xxx由已知，得f (1) =0，解得a = 1.当 a=1 时

7、，f'(x)J2x+1)(x-1), x当 0<x<1 时，f (x) <0 ；当 x>1 时，f'(x)>0.所以f(x)的递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+ ?).所以a = 1时函数f (x)在x = 1处取得极小值.即f '(x)的极小值点为1时a的值为1.6分(II )当0<x0<1时，曲线y = f(x)上不存在点P位于x轴的下方，理由如下：由(I )知 f '(x) = (2x*1)(ax、, x当aE0时，f'(x)<0,所以f(x)在(0,收)单调递减，f (x)不存在极小值点；

8、当 a >0时，令 f'(x)=(2x+1)(ax"=。,得 x 二1. xa,1.1当xW(0,)时，f (x)<0, f (x)在区间(0,一)上单倜递减； aa.1.1当x u (一 , +8)时，f (x) >0 , f (x)在区间(一，十望)上单倜递增. aa11所以f(，)=lna+ 1-，是f (x)在(0,)上的最小值. aa1.由已知，右0 <x0 <1 ,则有0<<1,即a >1.a1, 1 一当 a>1 时，ln a >0 ,且 0 <一<1, 1 - >0. aa,1所以f

9、(-) 0.a当0<x0<1时，曲线y = f (x)上所有的点均位于 x轴的上方.故当0<x0<1时，曲线y=f(x)上不存在点P位于x轴的下方. 13分(19)(共 13 分) 解：(I)因为 m>0,由椭圆方程知：a2 =4m,b2 = m,a = 2 jm,b = jm ,1Saaa =万父 2ab = 2 Vm、m = 2m = 2 ,所以 m = 1.2所以椭圆C的方程为 + y2 = 1.4由 a=2,b=1, a2 =b2+c2,得 c =有3所以椭圆C的离心率为2(n)设点 P(xp,yp), P(X0,yo),P2(x。，yo)(xo>0

10、),不妨设 A(2,0)A(2,0),设 pA：y=h(x+2)，p2A2：y=y(x2 x0 2x0 -2出七（"2 I由0得y = y°- x -2x0-24 xp = , X。yp -X04x0 二一 xp4-yp2ypxp4 22又迎+ y02 =1, 4(4)24 2得xp+代=1,4xp2-1(xP0).化简得- yp24因为 A(2,0), B(0,1),所以 | AB =75,即 M (-后0), N(芯,0).2所以点P的轨迹为双曲线 亍-y2 =1的右支，M, N两点恰为其焦点，A,A为双曲线的顶点，且AA2=4,所以 PM PN =4. 13 分(20

11、)(共 14 分).3分解：(I) c1=2 c2=1 c3=2 c4=1.(n )由于对任意的正整数k(1 <kML),存在a中的项am ,使得am=k .所以G,c2,L,q均不为零.必要性：若 t(a。=a (1 <i <n),由于 t(k) =L c1 也 *L,nGc1c2g c2 cc c2 LcL所以有 t(1)=L 工=1 ； t(2) =L -_2=2； t(3) = L -2_21=3； L ； t(L) =L -2Lnnnn通过解此方程组，可得ci =cj(i, j =1,2,L , L)成立.充分性：若 ci =cj(i, j =1,2,L , L)成

12、立，不妨设 h=ci=cj(i, j=1,2, L , L),可以得到 h L =n .h 2h3h ,Lhnnnn所以 t(ai) =ai (1 Ei En)成立.9 分(出)设A: al5 a2,L , an的所有不同取值为U1, U2,L , Um ,且满足：Ui <U2 <L <Um .不妨设 A:U11, U12, L ,U1r1, U21, U22,L ,U2r2,L , Um1, Um2,L , Umrm ,其中 U11 U12 = L =u1n ；U21 =U22 =L=U2r2 ； L ； Um1 =Um2 = L -umrm .又因为 L =n ,根据变换

13、 T 有：t(u11) =t(u12) =L =t(u1r1) =t(u1) = L ,'=r1 ;ncu.cu.t(u21) =t(u22)1=t(u2r2) W(u2) =L '=1 +2 ； L ;ncu1cu2Lcumt(um1) =t(um2)=L =t(umrm) - t(um ) =L n=1 +r2 +L +m = L ；所以T(A):悭用勺已对机己"4u寸,巧己也凶把)川中呵方(um：悭史um)即 t (A) ： t，rd 1山，r1 心巴光 甲,j任2 J h , L止如 jL - 、#rm 个所以T (T (A): 口附区小竹所),4,十期(1,?邛1 ?)Ji"(卜见上/!jLtqL).因为r1：二 rr2门卜r12III 'rm,所以有 t(r1)F,ta f) =rGlILt。r2 1H %)=L .所以有：t(1)=L ,-=1； t(2)