2021届高考数学专题突破等差数列(解析版)

1、如21届高考数学专题突破2021届高考数学数列与不等式突破性讲练02等差数列一、考点传真：1 .理解等差数列的概念；2 .掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3 .能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问 题；4 .了解等差数列与一次函数的关系.二、知识点梳理：1 .等差数列的概念(1)如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就 叫做等差数列.数学语言表达式：an+1an= d(nC N*, d为常数).a b(2)若a, A, b成等差数列，则 A叫做a, b的等差中项，且 A = a2b2 .等差数列的通项公式与前n

2、项和公式(1)若等差数列an的首项是ai,公差是d,则其通项公式为 an=ai+(n- 1)d.“一n (n 1) d n (a1+an)(2)刖 n 项和公式： Sn = na1 +2=2.3 .等差数列的性质(1)通项公式的推广：an=am+ (n-m)d(n, mCN*).(2)若an为等差数列，且 k+l=m + n(k, l, m, nCN),则 ak+ai= am+ an. . (3)右an是等差数列，公差为 d,则ak, ak+m, ak+2m,(k, mCN )是公差为md的等差数 列.(4)若Sn为等差数列an的前n项和，则数列Sm, S2m- Sm, Sm S2m,也是等差

3、数列. Sn若Sn为等差数列an的前n项和，则数列 帚池为等差数列.【注意点】(1) .已知数列an的通项公式是an=pn + q(其中P, q为常数)，则数列an 一定是等差数 列，且公差为p.(2) .在等差数列an中，a0, d0,则Sn存在最大值；若 210,则Sn存在最小 值.(3) .等差数列an的单调性：当d0时，an是递增数列；当d0 ,求使得&至an的n的取值范围.【解析】（1）设an的公差为d.由 S9 = -as得 aI +4d = 0 .由a3=4得仇 +2d =4 .于是 a1 = 8,d = 2 .因此aj的通项公式为an =102n .（2）由（1）得 a1 =T

4、d ,故 an =（n -5）d,Sn = n（n -9）d .2由 a1 0 知 d 0,故 Sn an 等价于 n211n+1Q 0,解得 1MnM10.所以n的取值范围是n|1Jg!|n 10, nW N.例2. （2019全国卷出）记Sn为等差数列an的前n项和，若 a3=5,a7 = 13,则S10 二.【答案】100,I a? - a313 - 5 dd= 2【解析】在等差数列an中，由a3=5 , a7 =13,得 7-34,10 9S10 =10 12 =100所以 a1 =a3-2d =5-4=1,则 012.例3. （2019天津卷）设（an是等差数列，bn是等比数列，公比

5、大于 0,已知a1=b1 = 3,b2 =a3 , b3 =4a2 +3 .(I)求a和如的通项公式;(n)设数列cn满足cn1,n为奇数，*bn为偶数求 a1C1 +a2c2 +川 +a2nC2n ( nN 卜2【解析】(I)设等差数列an的公差为d ,等比数列bn的公比为q依题意，得3q =3 2d 3q2 =15 4d d =3 一，、八,解得 W ，故 an =3 + 3(n -1) =3n , bn q =3=3 3nJ =3n.所以，an的通项公式为an=3n(nwn*), bn的通项公式为 bn =3n n N .(n) a1G, a2c2 . a?nC2n(ai +% +a5

6、+，-七乙)1 (+a2b +a4b2+a6b3+c n(n - 1n 3266 131 2 2 31 83 3n. n 63=3n26 1 32 23|l n n 3_1_2_nTn =1父3 +2父3 + n3 .3Tn =1父32 +2 父33 +|H +n33卡，-得，2Tn =-3-32 -33 -.-3n +nM3n*3 1 -3n 3n11-3(2n-1)3n 书+3第5页共11页,(2n -1 pn卡 +3故 Tn 二22 2n -13n 13所以， aiCi 8262 川a2nC2n = 3n6Tn =3n 3 二一1)3n 2 6n2 9 n N* .2j _. ，. 、j

7、 ， - - . _ _ _ * .n项和.若例4. (2019江苏卷)已知数列an(n= N )是等差数列，Sn是其前a2a5=0, S9 =27 ,则 Sg 的值是【解析】设等差数列an的首项为a1，公差为d ,(01 十d)(a1+4d)+a1+7d =00,解得q =2 .所以，bn =2n.由 b3 =a42a1，可得 3d a1 二8.由 1 =1比4,可得 aI + 5d =16，联立，解得 a1=1,d=3,由此可得an=3n2.所以，烝的通项公式为 烝=3n 2 , bn的通项公式为bn =2n.(n)解：设数列a2nbn的前n项和为Tn ,由a2n=6n2,有Tn =4 父

8、2 +10父22 +16 M23 +|H +(6n -2)2n ,2Tn =4乂22 +10 M23 +16 乂24 +|+(6n 8)父 2n +(6n2)乂 2n二,上述两式相减，得 -Tn= 4 2 6 22 6 23 | 6 2n-(6n-2) 2n 112 (1 -2n)n1n2=4(6n-2)M2n =(3n-4)2n 2 -16 .1 -2得 Tn =(3n4)2nd2+16.所以，数列a2nbn的前n项和为(3n-4)2nH2 +16 .四、巩固练习：1 .已知等差数列an的前n项和为Sn,若a2=4, $4 = 22, an=28,则n=()C. 9D. 10【答案】D_22

9、-4a2 一.一.【斛析】 因为 S4=ai+a2+a3+a4= 4a2 + 2d = 22, d =2=3, a1 = a2 d = 4 3= 1,an=ai + （n1）d=1 + 3（n 1）=3n 2,由 3n 2= 28,解得 n=10.2 .设数列an是等差数列，其前n项和为Sn,若a6 = 2且&=30,则S8等于（）A.31B.32C.33D.34第13页共11页【解析】由已知可得a1+5d=2,0 ,则 S20= （）A. 420B. 340C. 420D. - 340【解析】设数列an的公差为d,则a3=az+d = d, a5=az+3d = 3d,由a3 a5= 12得

10、d= i2,一一一.一 ，. 一 ， 一一一 一一 20M9由 a10,a2 =。，可知d0, 数n的值为（）a3 + a100,a6a70的最大自然B.C.12D.13【解析】因为a10, a6a70 , a70,ai + ai3=2a70, Si30的最大自然数n的值为12.9设数列an满足 ai = 1, a2=2,且 2nan= （n 1居一1+ （n+1）an+（n2且 n C N*）,则 a8=（）A.25B.26C.3D.289 99【答案】B【解析】令 bn= nan,则 2bn= bn 1+ bn+1（n 2）所以bn为等差数列，因为 b1 = 1, b2 = 4,所以公差

11、d=3,则 bn= 3n 2,所以 b18=52,则 18a18= 52,所以 a18 = . 9111 -10 .若数列an满足工二a=d（nC N , d为常数），则称数列an为调和数列，已知数列、工广为 调和数列，且 x1+x2+ x20= 200,则 x5+x16=（）A.10B.20C.30D.40【答案】B11【斛析】依题后,彳=xn+1 xn = d,xn +1 xn，xn是等差数列.又 Xi+X2+ +x20= 20 （x； x20）=200.，Xi+X20= 20,从而 X5 + X16= Xi + X20= 20.11.中国古诗词中，有一道八子分绵”的数学名题：九百九十六斤

12、绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）A.174 斤B.184 斤C.191 斤D.201 斤【答案】B【解析】用a1，a2,，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a1，a2,，a8是公差为17的等差数列，且这 8项的和为996,. c . 8W，rcl- -8a1+ -2-X17=996,解之得 a1=65. a8= 65+7X17= 184,即第8个儿子分到的绵是 184斤.12 .设an=(n+1)2, bn=n2 n(nC

13、N*),则下列命题中不正确的是 ()A. an+ian是等差数列B. bn+ibn是等差数列C. anbn是等差数列D. an+bn是等差数列【答案】D【解析】对于A ,因为an=(n+1)2,所以 an+i an= (n+2) (n+1) =2n + 3,设 cn= 2n + 3,所以 cn+1 cn= 2.所以an+1an是等差数列，故 A正确；对于 B,因为 bn=n2-n(n N*),所以、+一明= 2n,Cn = 2 n,所以 Cn + 1 Cn = 2 ,所以bn+1 bn是等差数列，故B正确；对于 C,因为 an=(n+1)2, bn= n2n(nC N*),所以 anbn=(n

14、+ 1尸(nn)=3n+1,设 Cn= 3n+1 ,所以 Cn + 1 Cn= 3,所以anbn是等差数列，故 C正确；对于 D, an+ bn=2n2 + n+ 1,设 cn=an+bn, cn+1 -cn不是常数，故 D 错误.13 .已知Sn是等差数列%的前n项和，若a1= 2 015 ,S；瞿黑9= 6,则多。9 =n12 015 2 009019 【答案】6057【解析】由等差数列的性质可得 导卜为等差数列设其公差为d，则就6,d= 1.故S29=S_+ 2 018d=- 2 015+2 018=3,2 0191 .S2 019= 3X2 019 = 6 057.14 .已知等差数列

15、an的首项a=20,公差d=-2,则前n项和Sn的最大值为 【答案】110【解析】因为等差数列an的首项a = 20,公差d = 2,Sn= na1 十n (n 1)2d = 20n n ( n 1)2X2110.又因为nCN ,所以n=10或n=11时，&取得最大值，最大值为15 .设 Sn是等差数列an的前 n 项和，S10 = 16, S100 S90 = 24,则 Soo=【答案】200【解析】依题意，Sio,S20Sio,S30S20,，Sio0S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为 d.又 S10=16, S100-S90 = 24,因此 S100 80 = 24=16+(10

16、1)d=16+9d,解得 d8_10M10M 8=因此 Goo= 10SwH厂d=10M6+ . 右=200. 922916 .设等差数列an满足a3+a7=36, a4a6 = 275,且anan + 1有最小值，则这个最小值为【答案】-12a4= 25, 或一.6=11,【解析】设等差数列an的公差为d, a3+a7= 36, a4+ a6= 36, 3 a4a6= 275,a4= 11,联立，解得,36= 25a4 = 11, a6= 25a1= 10, 时，可得,d=7,此时 an=7n17, a2=3, a3= 4,易知当 nW2时,an3时，an0 ,a2a3= - 12 为 an

17、an+1 的最小值;a4= 25, a6= 11a1 = 46, 时，可得d=- 7,此时 an= - 7n+ 53, a7 = 4 , % = 3,易知当 nW 7时，an0,当 n8时，an2时，由an + 2&Sn1=0,11信 Sn Sn-1 = 20&1,所以=2,SnSn 1P 11c又三=r= 2,Si a1,1 I、，一，故愚首项为2,公差为2的等差数列.Sn,一 11(2)解由(1)可得 Sn=2n, .Sn= 2n.当n2时,.-Q_Q1nT nan S1 n 1 2n 2 (n1) 2n (n1)12n ( n 1)当n=i时，ai=2不适合上式2 n，, 故 an= i、2n ( n 1)n2.18.设Sn为等差数列an的前n项和，已知a1 + a13=26, S9= 81.(1)求an的通项公式；令bn=-1一，Tn=b+b2+ bn,若30mo对一切nC N*成立，求实数 m