初中数学《勾股定理》常见题型归纳详解

1、初中“勾股定理”题型归纳勾股定理是我国劳动/氏的结晶 是研究几何的星础和数形结介的典型代表，史是历年中考不可缺少的组成 部分,为了方便同学们的学习与运用，并及时了解中考中有关勾股定理的题型,现就中考试题归纳学析如下,供笏它一、求线段的长度例1 （诙州市）如图,已知中，H5=17. 4C=IO,M边上的氤1=8,则边IC的长为（）A 21B 15C.6D.以卜.答案都不对分析IIIrAD是高,所以可得到两个直角三角形.这样可分别利用勾股定理求得线段切和7）解 因为,"）足高,所以N.SB=NJ7X'=90c,即JDZbOAJDC都是宜角三角形.W>AB 17. AC=U）

2、.所以由勾股定理.得 8D=J/I状-4）2 =1172* =15. CD= LC 一心=VlO2-82 =6.所以 BC-BL>+C£）-15+6-21.故应选 A.说明 利用勾股定理求解仃关线段的大小是中考中随时都会遇到的问题,同学们一定要用握其运用,并避免出现 制快二、求图形的福氏例2 （牡丹江市）有块苴价二用形的绿地，一一两立角边长分别为6m, 8m.现作耍将绿地扩充成等战三角形.IL扩充部分兄以即n为口由边的立向三用形,求扩充埼等腰三角形绿地的周长.分析 由于两直角分别为6in, 8m,于是,可勾殷定理求出其斜边的长，而庵目只说明扩充成善三角 形,并没用指明等腰一角形

3、的城边和腰,所以应分情况求解.解 在RtZM/T中,ZACB = 90% AC=.加'=6巾勾股定理，得/H=IO,扩充部分为RtA4（D.扩充成等 腰J&）分以卜二种情况：如图h当/夕=乂。=10时,可求（？）（3 6, F是,A4B。的周长为32皿 如图2,2,|=川）=1。时.可求（?） = J.山勾股定理，得.1/）=方，丁是"）的冏氏为（21）+45）1比 如图3.I"，为底时,设）=D=x，则/）=、一（>山勾股定拜，f*? x= . 于是.AJH）的周氏为四n、3说明 本题事实上也是道运J股定理解决 冲的实际问题，山出殳中问题不明确，以求

4、解时应注上 类,以避免海豺三、数学风不例3（安顺山）如图中是我国古代 1的“赵爽弦BT的示意期它是由四个全等的直角三角形围成的,在RtA45c中,中直为边/1C=6,枚=5,将四个直角诊中就长为6的直角边分别向外延长倍,得到图ZJ标的“数学风4” .则这个风车的外附用长（图乙中的实线）是分析 观察图乙可知,风车的外围局长是由8条线段构成,其中有4条分别相等,且有四条边的长等于6只K用 勾股定理求出另条边即可.解 依恋意，山勾股定理,得国乙中最长的,条功长=，?丁育=13.所以这个风乍的外闱周长=4X（6+”） = 76.说明近年来中考中经常以“中爽弦图”为背景设的试题,求解时只要能灵活运用勾股

5、定理的知识即可.四、拼图验证勾股定理例4 （新辆自沿区）如图I用便纸板做成的四个全等的总角三角形，两总向边长分别是。.从斜边长为c和 个边民为c的正方形,请你将它们拼成个能证明勾股定理的图形.（1）画出拼成的这个图形的示意图.解 方法不怕如.（1）如图2所小（2）证明,因为大正方形的面积表示为（。柏门,大正方形的面枳也可向小h+AX-ab.所以（0+/02=/+4乂!加.即标十2加十力2二/十24）.所以 混功2r2即4用三角形的内角边的平方和等于科22边的平方.b乂如,（1）如图3所示.（2）证明：因为大正方形的面积表示为乙 乂可以表小为一出>><4+仍一）2.所以一一向X

6、4+仍一即d=2命/一2"七六 所以d=冉认即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.说明 为CE确求解，可联想课本和资料上的例习题，并通过力作即可正确求解.五、勾股树例5（达州巾）如图是株美:W的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的:角形郴足直角二角形,一株方形3 小 C /）的边长分别是3、5. 2、3.则最大止方形的面积分（）A.13B.26C.47D.94分析 正方形"的面枳等于边长的平方,而其平方等于与之紧邻的两个正方形边长的平方和,同样这两个。为大 亚方形紧邻的正方形边长的平方乂分别等于正方形工力边长的平方和3E方形C、。边长的平方和，此时，正方形$、

7、B、（）的边长已知.解 闪为正方形力、B、（。的边长分别是3、5、2、3,所以最大正方形的面积=32毋+24347.故应选C.说明 本题中的勾股只行I川个分校,若将这四个分枝再进步的延伸,将会得到许许多中的分枝，情况仍会和这 一样，请同学们迎过求新,用心去体会.六、确定最短线路例6（方岛市）如长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6皿如果用一根一线从点4开始经过4个恻B 缄烧圈到达点田那么所用细税最短需要cm：如果从点1开始"讨4个岷而狮空圈到达点月，那么所用如线最短而要 cm.分析 要求展短细线的长,一先能确定最短线路,J是,可画出长方体的傅画展开图,利用两点之网线段最短, 结

8、合勾股定理求得.若从点开始经过J个侧面辨绕圈到达点B，即相当长方体的建而展开图的,边长由3+I+3+1 变成(3+计计I),同样可以用勾股定理求解.解如图2.依题意.得从点.4开始经过4个何曲纲”图到达点8时,最短即过为此时，由勾联定理,得乃=必+8? =1。,即所川细线最为为IDcm.若从点/开始经过4个侧向缠境 到达点B,则长方体的儡面屣开国的边长山3+1+3+1变成(3+I+3+I),即 X山勾股定理.得56?+(8>=)36 + 64/,即所用细线最短为36 + 64/ cm,或2d9 + 16/ cm.说明 对J从点.I开始经过4个侧面缠绕圈到达点B的最短细线不能理解为就足个底

9、面周长.七、方案设计例7 (恩施I沿州)恩施州自然风光无限,特别止以“城、奇、阳看、险”著称广世.著名的恩施大峡谷.1 >和 世界级自然保护区星斗山(B)位卜笫江的沪渝高速公路同侧.50km. A. 到H线.的班离分别为10km和 40km,要在沪渝高:速公路旁修建眼务区R向/、6两景区运送游客.小民设“J'两种方案,图I是方案的示意图 3P与直线.V垂直，>足为/>).P到.4、8的距离之和$=&+P5,图2是方案:的示意图(点关于自线.V的对 称点是4,连接R4'交直线工点P) , P到、5的他寓之和,7U+PA(1)求与、S，并比较它们的大小,(

10、2)请除说明 BP.T+PH的什为一小:(3)拟建的恩流到张家界高速公路)”。沪渝高速公路垂，建立如图3所示的直角坐标系，B到直线I的皿离为 30km.诂你在A旁和).旁各修建眼务区人(?使人、从(?生成的四边形的用长最小.并求出这个最小值.分析 为门出丁运用勾股定理求解有关线底的长，可迫当引垂线,井泡台对称等几何知识即可求解.射(1)如图1中.过，作W'LJA 垂足为C,则由勾股定理，得(一 /o、74O-IO)2 W.ARtzVW 中.山勾股定理.得 BP=4BC2 + PC? = "0? + 402 = M .所以 $06+10 (km).如图2中,过8作8CLLI垂足

11、为C,由轴对称知/U=/U'则C=5O,又*=4。,所以由勾股定理.7?J'=V402 + 502 =10 41 .所以£二打l'=10/41 (krn).显然，(2)如图2,在公路上任找 点”.连接"1, "B. 1"',由对称知"1=刖卬, 所以.TZBTA = A5+J£ 1'IB 所以 &=R J'为最小.（3）过作关V轴的对称点J，过A件关J物的对称点连接7T,交.V轴点R交卜轴点。，川儿 （J即为所求.过4、万分别作.V轴、/轴的平行线交于点G.市勾股定坤，得”=J1

12、00?+5（）2 =505.所以所求四边栏的周长为（5H5O6）km说明 本题既心一道对图形的操作题,乂足道利用勾股定理进行方案设计的试题.求解时定要注意动手动脑, 发挥想象,避免错误的出现.八、阅读理解例X （龙岩巾D阅读下列材料：正方形网格中,每个小E方形的顶点称为中点,以格点为顶点的三角形叫格点二角形.数学老师皆小明同学出一道题II：在如图1所示正方形网格（每个小正方形边长为1中画出格点ar,使AB.4（-'>/5 » BCV2 ：小明同学的做法是：山勾股定理.得一=.4=十F = 6, HC=#TiT = V2 ,于是面III线段.4乩 "C从而虺出格点A4BC.（1）请你参考小明同学的做法，在如图所小的止力形网恪（每个小正方形边长为D中出格点41方叱（/嘘 位跳如图2所小）.使4广_才（"_5, n'（*_v7o.（且接间出图形，仔j过程）：（2）观察ZU8C与ZU0。的形状.猜想NfMC-WU有怎样的JHI关系,并证明你的猜想.分析（1）通过阅读.我修可以在正方形网脩中找到5和而的线段,由于5=后 =弄，V10 = Vl2+32 .于是可则I出符合要求的:三角形.（2）由所画的:角形的图形形状可以猜想/9C=/TJC.此时.知道两个.加形 的边长,可以利