《复变函数与积分变换第三版答案

1、1/1讦算下列各式.(1 + i) - (3 - 2i)；解 1 +。一(3 - 2i) = (1 + i) - 3 + 2i=- 2 + 3i,(2) (a -弧)解 (a - bi/=+ 3a (bi)2 -(历尸 =4 - 3ab2 + 3a2A).(i - 1)(i - 2)；(i 一 l)(i - 2) F - 2i - i + 21 - 3i= i(l + 3i)= -3i10- 10104) z ,= H +- i)；芸+ 1解 I r _ 彳+ iy - 1 =(工一1 十+ 1 一 i)忠+ 1 J： + tj? + 1(j; + l)z + y2=i + V2 - J +

2、2iy(x十1产+ y212证明下列关于共辗复薮的运算性质：(1)(71 +之2)=矛土乏之；证 (耳 土之a) =(JC1 + W1) 土 (x2 + iy2)-(XI X；) + i(j/j 3*2)=士工2)- 1(1 J2)=- 11 士工2 年 二百士 (2)定1 七2 =至1 * z3；证 吃1 丈2 =(工1 + bl )(12 + i2)=(工1 工2-yiyif + i(工 1N2 + *42)=1 1立2 - ,1* -耳,百二（工I十必）（亚十必）-（1-ii）（xi - iy2）= W1 工2 - il2 - 132 即左边=右边,得证.（） =上（0）.工一 / 叫

3、+ 汕 _ 八工1+ 61）（2 一 也）工JIh + bJ 避十巾word可编辑._ (町- iyi)(工2 + i?2)_ 据+ yl二工一汕=1工2 必 22zi - Z2 1.3解方程组2(1 + 1)町 + 1 利解所给方程组可写为J2l| + 2iyi 2 _ iy21(1 + i)(q + iyi)十 X即：21央 + i(2% 一火 *m -山-力+心1 +利用复数相等的概念可知 j：2 = I力一力=1-加-32口 + 丁2 + V 解得176丝=一号，义工-w，皿故36.叼二一 5 一亍卜句1 4 将直线方程qT十妁+C 二提示；记彳+iy =名.解由一产，中2( z +

4、无)+ 2iz -_ （q - 3）（/ + 了分（避+ 7）（*2 - W）= 4-3i+=工2 十2）- 4 - 31.）二 ii上2 十,1）= 4 - 31）,1=4,二- 3.36一 5，亚=_亍617.=_ y_ J1-0（十户W0）写成复数形式代入直线方程，得-乏）+ e =0,az az - bz -乏）+ 2c =0, （a - ib）M + （a +话）乏 + 2c =0s故 An +4- 73 中 A = 口 十 16 t 3 = 2u.1.5 将圆周方程a(, jc2 + y )+bjr+cy十d - 0( a. N=0)写成复 数形式(即用结与之表示,其中空=N卜池)

5、.牙代入圆周方程,az - W + q(je+W)十(上一三)十tZ 0,20H 至 + ( b ic) s： I (b + ic)W + 7.。,则 2.七？ | 忌，+ 又(| T I + I , I )2 - I t 3 + R 2 + 2 I 01 )-石即( + 1川 1之仁 I-TI + lyLL 将下列各复数写成二角表示式.-3 + 2i；解 | - 3 + 2i | - /13, arg(- 3 + 2i) = arctan - 4 r,-j故word 可编辑.-3 + 2i = /13cos| ff arctan 号)卜 i 或门sm a + i COS a ；sin a 4

6、-b .%cos aarg(sina 十cos a) arrtan sin a=arctanfcot a)二 手 sin a 十i cos a7tcos1 cos2 6 K_ I COS -g-2= arctan I cot 亳7TCOS泰)+ i sin1.922=oos 3五 一 i sin -yir.利用复数的三角表示计算下列各式：1 + i = 72霍COS -J4t . . n + i sin - 41 i = 42 TT d . 一4 cos -r- 十 i sm r-44(1 + i)(l - i) = 2cos7T元, ，44(2) (-2 + 3i)/(3 + 2i)； 解因

7、+ isin 传一 )= 2.-2 + 3i = v；rl3 cost arctani n3)卜 i sin (arctan- ir).3 + 2i -/1322 Tcost arctan y) + i sin( arctan y),故(2 + 3i)/(3 + 2i) = i.注：arg 2 + 3i)/(3 + 2i)-32arctan + 霍- arctan q=arctan一32 _ 2/3_ _ 三 _u _三1 -r (-3Z2) - (2/3) x +冗=解由乘嘉公式知 )3(4) 6 - 2 + 2i,cos 3 + i sin3，寿=)解 因|-2 + 2i| = 8farg

8、(-2 + 2i)=所以由开方公式知3 + 8A ir . 3 + 86兀 COSn-卜k = 0,123.110 解方程：/+ 1 = 0.解方程/ + 1二o,即名3 = 1,它的解是 之=(- I)工由开方公式计算得z =1 - (cos it + i sinx)3=TOSk = 0,1,2.nn1 , V3*之 o = oos y + t stn y =彳 + 5 b书I = oos n + i sin7: = 1,57r . 5冗 143.1.11句=oos g + i sm = y - -i.指出下列不等式所确定的区域与闭区域，并指明它是有界的还是无界的?是单连通域还是多连通域?解

9、 圆环，有界多连通域. |13；解 以原点为中心,W为半径的圆的外部，无界多连通域. 31g 之 与且 1 I I 1 且 | w | 2;解 圆环的一部分，有界单连域. (5) Re 1;解 /-？2 1,无界、单连域.(6) |之一1| + |之 + 1|44:施圆的内部及椭圜的边界，有界，闭区域.(7) | arg z I & (41 0).分三种情况：0 O 1为圆内.以(0, 为1 12 指出满足下列各式的点*的轨迹是什么曲线。心,1为半径的圆周.(2) |艺值|十与+口| = 6,其中afb为正实常数：解 以土口为焦点4为长半轴的椭圆. (41(3) |?一以| = 14匕(k一方

10、),其中口,6为实常数；解 设之=x + iy, M!j | (X- - a ) + iy I = Re( / 一 6 + iy).即 (x - a)2 + j2 = (x - 6)2, H - 6 0.丁解椭圆周的参数方程为一 0工工（2冗，写成复数形y = 6 sin t）式为 z - Acos / - i 6sin （04* 4 2k）.1.14 试将函数x1 - y2 - i（节-& ）写成定的函数（w = jr + iy）.解将上二审,y=号代人上式.得&J (w -)、.(一 宅尸 .(.4 z )(w _. w + r44 -1 4i +|丁2;2 + 2之比+另2 广一 2彳毛

11、十芝2 年，一干工,t + =+-H-9.3z _, 3 iz4 + 4221.15 试证lim f不存在. T Z证lim工lim :.令y =月r,则上述极限为白丁，随归Z r HJ1 十 ly1 + KL变化而变化，因而极限不存在.,孙L16 设/（交）二9十/0,试证/（N）在胃=0处不连续.Hm/X z) lim 芦 lo71* + y坨庐即Ibnf（幻不存在，故代工）在胃二0处不理续./建）=解 因P 1（N +片）f（ ）1* E + 塾 2lim;- - = lim 一 =Hm a27- = 4 （与关 0）,Axu Ah （芝 + 芸）七 df （注）=（-）=一七（z 卉

12、0）.（2） f（.z） zRe 喇Jr 解 因lima -0f（N + 芦）一 f（之）h=lim（胃 + ）Re（ n + 之）一 zR? zA名lim注Rc 之 + ARe_a： + AxReA之=lim Re zAz-Ki + Re 之+交Re Ag e ）=lim Re zNF Re A ?z =lim Ke z izO Ar*0当之关O时，上述极限不存在，故导致不存在；当Z二9时,上述极 限为0,故号数为0.1 .下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? fiz） - Z * Z2.解f（之）三交*1 =牙* N =之产之二（,+ y2）（x + iy）=x（x +；

13、/）十 0（工十 /）,这里这工,y) = x(x2 + y2),v(x1y)=?(，+6=+ / 十 2M，卬7 二七2 + 2y2，% = 2xy,% = 2卬，要孙二.=1%,当JI仅当金=* = 0,而, %, %, %均连续, 故f(七)=记* J仅在z = 0处可导.处处不解析.(2) f(z) - j:2 + iy，解 这里 =心=.为=2工，A =。，% = 0, % = 2y ,四个偏导数均连续，但ii,r =%，% = - %仅在H = y处成立，故/( Z )仅 在工=V上可导T处处不解析.(3) f(z) - X3 - 3xy2 + i(32y 一 33)解 这里以父，

14、7)二，- 3灯2,已(彳.) = 3x2y - y3.- 3”-3y2,4 = - 6Hly , % = 6卬,vy = 3x2 3/,四个偏导数均连续且 Uj- = UyiUy = 一 %处处成立.故f(z)在整个复平面上处处可导，也 处处解析.(4) f( z) = sin x ch + i cos x sh .解这里u(j： ,y)= sin j:ch * (t ,_y)= cos ish y.Wj oos j: ch yt uy sin t sh 3/, 七工=-sin jtsh yf vy cos x ch - 四个偏导均连续且% = %,%=-%处处成立, 故f(公处处可导,也处

15、处解析.3.确定下列函数的解析区域和奇点，并求出导数.古 一解 八力二丁三 是有理函数，除去分母为。的点外处处解析, Z - L故全平面除去点之二1及艺二- 1的区域为f(z)的解析区域,奇点为之二士 1 J(文)的导数为：门公=( )2则可推出患=黑=0,即汽=C（常数）.故f必为。中常数.（3）设/（之）= +以由条件知3TS(口/以丫1 + (v/u )2卫=C,从而 u0,求导得化简，利用CR条件得所以需二募二洞理需L = 0,即在D中i为常数，故/ 在。中为常数.（4）设。#0,则u - （c -加），求导得b 2屯 3 b 3zr3jc a dxJ dy a dy *由OR条件Su

16、 b dub dv五=3可，五=7瓶,故w , u必为常数，即f（z）在D中为常数.设口 =0#0#0,则C,知幻为常数，又由CR条件知也必为常数，所以f在D中为常数.5,设/U）在区域。内解析，试证一勘/（2 = 46*）艮证设f（z） - m + iiy,|/（胃）12 = M + /,小）4 -嚼，中川2=（野7（野1又/(f)解析,则实部&及虚部,均为调和函数,故（a知） 1 -（像）2的=4|f |6 .试证CR方程的极坐标形式为鸽=已务需=-2需，并且 有证一 设二= roos,y二rsin夕 GR条件;票=票，中=一空.djc 6y dy djc因=cos + sin,3K dy

17、a AuA 3u rsin。三一十 rojtt u 丁 , ddy二 oos，毅+ sin& 孕，jtdy-rsin 8 普 + roos 6 孕, 壮工iy利用斜=H + 3jry2 - y3 jc3 C)二(1 - i)/(o: + iy) - 2( 1 一 i)(b + i)-2y( 1 4- i) - 2j:y2(l - i) + Ci=靠(1 i)(7 - J) 2ryi * iz(l - i) + Ci=(1 i)z(x2 - y2 - 2jcyi)十 Ci二(1 - i)零3 十 ci.嘤=2.患3 at _ 31； _。甚 一 % -(2)v = 2xy + 3 空;:21，由

18、f)解析，有u 2n6e =/+ My).又骂=一票=2y 3,而居二以)，所以武(3)=2y -3,则 成(“ 二一 / 一 3少十C.故f(z) = x2 y2 3y -h C + i(2xy + 31).我-2(x - l)y/(2) = - i;因养=2y,最=2(z - I),由f(w)的解析性，有 言=4=-21),一 2(工1 )dx (x - l)? +,含=2w而 =(),所以/(y) = 2y W(y) 二 / + C,-(11)2十/十0,由 /(2)/(n) = 2(工 一 l)j 十 i( 一 G - 1/十 / + C),。一 i 得F(2) = i(- 1 + C

19、) =i,推出 C = 0,即/(之)=2(x - l)y + i(y2 一工2 + 2i - 1)i(-+ 2x - 1) = - iG 1尸.(4) u 。(工cos y - sin y) ,/(O)= 0.解困Sudll=eJ( jrros y 3/sin y) + ecos y fea ( x sin y - sin y - ycos 3),由汽幻的解析性，有3簟3 u一 _ 3jc3p 热=c* ( xsin y - sin y ycos y)zoos y - sin )+ ecos y.v(jc,y)=“(3)YOMAOdxJ oJ ft已(hcos y ysin y) + eco

20、s ydy 十 Ccos ydy了 sin ydy +屋 xsin y -coti y -o二 esin y 一 2勺8 y +ycos ydy +cos ydy + C o /故f(w) = efxcos y - ysin y) + ie工(zsin y 一 cos y) + iC*由 f(0) = 0知 C = 0,即f(z) = eJ(jroofi y - ysi门 y) + id(工sin y - 3cos y) = wm,10 .设七=e或口 y,求p的值使七为圈和函数，并求出解析函数u + is解 要使口（工,）为调和函数，则有& =力皿十己妙二0.即 y - esin ） = 0

21、,所以P=1时,口为调和函数，要使以零）解析，则有%=ux ty）= j*cos ydx = y + 小？），_ iuy 二一y 十 5（y） - - y.所以7-psin y, $&() = p jecos y + C 即 u(r,y) = peaces + C,故f(z)=d (cos)十 i sin “ + C =/ + C, /)= 1, 一 e-x(cos 3/ + isin3?) + C = -e-x + C, p -.11 .证明:一对共舸调和函数的乘积仍为调和函数.证明设己是孤的共趣调和函数，令fz=U +词,则/（之）是u2 v2) + 12 wv 也解析函数,尸(之)=f(

22、z), fz) = (w + iv)2 =(是解析函数，故其虚部2必是调和函数，从而tw是调和函数.12. 如果 fz=数.u +是一解析函数，试证:iJTQ也是解析函证 因汽2)解析，则居二含，留二-碧且混，均可微，从而-U也可微，而i/(z) = v 1U v - i( u)又3v du 3(一忧) dv _ djt _ _，(.)djc 3y dy 1 Sy dx3工 即-仪与方满足CR条件，故iTTTJ也是解析函数.13.试解方程：(De* = 1 +73i;解 e1 = 1 +V3i - 2(cos g + i sm y ) = 21尹我，-即以0+孕，= 0, 1? 2, 故z =

23、 In 2 + (2k + 年).k - 1 2.0=cos 5 + i sin 5=i sh 1;=i sh 1 = i( - i)sin i =解(2k - 1)(2) In z = L.sin z冗i#为整数.sin i, 所以 n = 2Eir+i 或 z 另解.见本节例24.(4) sin z + ms z 0.解由题设知ta门w - - I14.求下列各式的值.(1) cos i;工二归兀一k为整数，解cosi二幽书吧二号(5) Ln(-3 + 4i)；解 Ln( - 3 + 4i) = I口 5 + iArg(- 3 + 4t)-24be(lL+i)Ln(li)(6) (1 -i

24、)1+L;解(1 - i)1+i以t/i* %-2*?r+iln/5 + 2-m q卢2彳-2*”8式怙4 - 今)+，sin( lnV2 牙).(4) 33-5 看=2 , V；4i=声* + 1 - 1 e-2iz) ja 11.=.(e2那一e-2ia) sin 2H.(5) | sin z i2 = sin21r + sh%;证 sin n | = = sin z * sin z = sin z * sin 乏=-e?u + e3 - 2 + 2 0 - 占之打=sin2 +让/3(6) .门(爱芸)=cos证因 X2) = sin n cos i&in 芸？，16证明：(1) ch之

25、sHz 1 ；eJ - e-j2井+e_ 24e.十七一.十24?76+厂工4 2drz - sh- = 了-4(2) ch 2z = sh2z + ch，；证由%+$ =令十】工4ch 2z,产+日工2(3) th(芝 + m) = th z t力足*疝_-疝证 th(z + rd)=二T工:*芸+7fl + 仁一彳一现=一 厂 _ 一丁心十-(4) sh( z + Z2)= sh /ch 文之 + ch tish 知.证 Sh.ch 在二 l；E-T，d*d,- e-*i+*j -.，C丐一)=4，i 造土i 勺-e z2ch zsh Z2 = 2，2_ 理：2.工 一 一g1r2 + 一

26、工1= - -巳，十七一 一*叼 117证sh Zjch Z2 + ch 之ish z 8 = ch(?】十 z。证明：ch z 的反函数 Arcch z = ln(2： + /明-1).设之二ch g,且如=Arcchw,由n = ch9铲+d.)知 2之=e的+e /r即- 2zew+1 = 0.解方程得针=士 VzT-l，故w = ln( z + / z2 - 1).注口含有“土”两根.18.由于In乞为多值函数，指出下列错误.(1) Ln s2 = 2Ln z.解因Ln = Ink I z + 鼠28 + 24ir) k = 0, 1, 2, 而2Ln z 二 2 In | 七 | +

27、 i( 8 + 2石M)二 ln| 之 | 工 + i(29 斗 4Ea) r k - 0, lt 2？-* 两者的实部相同，而虚部的可取值不完全相同.(2)Ln 1 = Ln = Ln 之Ln n = 0.解 Ln 1 = In 1 + i(0 + 2 天 it)=2kmk = 0, 11 21-, 即Lnl = 0仅当4=0时成立.注:Ln(之i , %) = Ln之i * Ln妆及Ln三=Ln芝i 一 Ln s2两个 等式的理解应是:对于它们左边的多值函数的任一值，一定有右边两多 值函数的各一值与它对应,使得有关等式成立;反过来也一样.19,试问:在复数域中(或厂与口配一定相等吗？解不一

28、定，如： a = l + i,b 1 2,c = y f = 1 + i9(ab)c = /2it20.1 列命题是否成立？(1) ez -,解 成立，因ez = =匕士(cos y + i siny) = (cas y - i siny)(2) p(幻=似/(仪幻为多项式).解不一定，如p(z) - (a + bzy p(公=(& - b)zpz = a + bz.sin ? - sin z.解成立，因sin z -式 i】工2i-2iLn z - In =ln Ln 七二 Ln w.解成立.I II 1- .1. . .l-I -0, E E E fl ll, _ * -Ln z = In

29、 | + i(0 + 2kiS= 0, 1 土2,.= ln| - i(tf + 2而).+ i(- 0 + 2k况)- i(9 + 2Atc),1计算积分-3)d-积分路径(1)自原点至1十i的 直线段M2)自原点沿实轴至1,再由1铅直向上至1 + i;(3)自原点沿 虚轴至i,再由：沿水平方向向右至1十I.第i晒4- ijr2 dsr(1)=|j”(l 1 i)df = i(l 3 = 一/ 4 g注e直线段的参数方程为= (1 + i,OM 士 ML立计算积分中昌d之的值，其中C为匕| = 2;(2)|! = 4. 解 令W = /*卿，厂=2时，为4m当r 4时，为8m.3.求证W甘，

30、其中C是从1 - i到1的巨线段.证 C:之=1 +1 + i tan & ry -子 M&wo 一I r I 2 =1 + y2 = 1 + tan2 Q CDSiOIj I - df di = i _， 7耕第3题4,试用观察法确定卜列积分的值，并说明理由，C为隆I = 1.解 积分值为0,因被积函数在1内解析.r 1(2)0 3d-J Q COS z解积分值为0,理由同上， f i(3)0 rdz.J c 12解 () 2 后.Jc _ /25.求积分工后取的值，其中。为由正向圆周| ? I = 2与负向圆周 二1所组成.解二 2疝-2iri = 0.第5题第6题6.计算一 c胃解 fC

31、z）=dn其中C为圆周屋I = 2.在I - = 2内有两个奇点年=0,1,分别作以0,1为中心的圆周G，G，G与C?不相交，则=2m - 2ri = 0,7.计算？=3 （丈 一 i）（胃+ 2）解解法同上题,I M =3 （之一 i）（第十 2）= 0.8.计算下列积分值.Pm sin wd葺.J。,irisin zdz = = cos zi+iz edx.1! （9.rri=1 - cos m. oie,+iJ IL（3es + 2z）Az.Oe1 十 2zdz = （3u + z2） J oo34 1 - 3 = 3e - 4.计算心-dz，其中C为圆周|名十i=2的右半周，走向为从-

32、3i 到 i.解函数在全平面除去z =。的区域内为解析,考虑一个单连z.通域，例如 D：Re - J z | y，则2在D内解析，于是取3的 / M之=一个原函数-工,则-5k44,- I31310.计算下列积分.原式二2疝（2/ -七十1）2八一”dzz2 - i解将被积函数分解因式得到由于点#在圆周屋-i=1内部,而函数i|4l上为解析，故0m4c反寄E 其中C是(1) I z I = 1;(2)1 - 21 = 1;(3) I z： - 1 j = y ； (4) | 名 | = 3.解(1)被积函数在|?|41内仅有一个奇点工C）(2)被积函数在G - 21 W 1内仅有奇点727T1

33、4tu =2 = 5,(3)被积函数在卜义内处处解析，故1二0,(4)被积函数在b | 3内有两个奇点之 路原理，知广二：产十2 之 + 1 15也C - 2ri , 4 m.了十5 =叫其中g为|n| = 1,Q为鼠-2|二L12.若/(工)是区域G内的非常数解析函数，且外之)在G内无零 点，则f(z)不能在G内取到它的最小模.证设gG)二危，因幻为非常数解析函数，且G,f(z) k0,则融之)为非常数解析函数，所以 =)在G内不能取得最 大模，即以z)不能在G内取得最小模.13,计算下列积分.灯一解原式=2元i的白_sin z jI M =2 （第一 7t/2）2 Z解 原式2n:i(si

34、n ?) n 2xi cos z * =也AQ = 2(3)cf_8dN,其中 g：GI = 2g Itr| = 3.J c=ct + c2 w 2m 7(oos n 门 2iri (cos z ) I211羊=。21I z = o7Tt( I) 7Ci( - 1 ) = 0.14设丑之)在l/i上解析，且在屋=1上有l/U)-, 试证：尸(义)M&证由柯西积分公式知p vds = 4 - 2it = 8, J I z I =i i *4!1211注：之一 5- x2 + y1 - x I 五二,工 + 1在之=1 _tl.15-设f（口与虱G在区域D内处处解析,C为D内的任何一条 简单团曲线

35、，它的内部全含于D,如果/I）二0幻在C上所有的点 处成立，试证在C内所有的点处=gG）也成立.证 设F（注）=/（王）- g（足），因/（2）,晨之）均在D内解析，所 以F&）在D内解析,在C上,F（z） = 0（，C C）, 丫劭在C内有F（zo）二白， ?=02m J | 艺 | =1 = 一艺。即/（叼）工晨町），由理的任意性可知，在C内的G = g.1 .下列序列是否有极限?如果有极限,求出其极限.(1)% = * + :; (2)得=(3) 二(羡).解(1)当 f 8时,f不存在极限，故%的极限不存在.(2)|小事-。(8),故“0.=cos 2nd + i sin 2ndf8时

36、,8s 2曲点n 2的极限都不存在，故筛=(f V无极限.2 .下列级数是否收敛?是否绝对收敛？2自(上 + ：)；W(1 +。尸 1、,1 *ri-0解因fl1二发散.故住+上)发散. 产】桂言舞 言 n / .ng i2 1|= X=收敛做绝对收敛. 111Ml .?i - 1 .3 3) lhn(l + i)- = lim重尸e吊木0,故发散. Rf 8q -*d03.试证级数 (22尸当I z k 4时绝对收敛.证 当I zI 时，令I 21 = r 叁，(2之尸 | = (2r)n 1.8RS（2r）fl收敛，故（2?）以绝对收敛.1 4.试确定下歹端级数的收敛半径.ODC0OO j

37、r、叔-12(1+!尸屋，(3)2 口4-1I71k-l r* *解(1J lim= lim 土 = 1故衣=L(2) Km /| Q | = lim J(1+ ) iim(l+ )fl= e,n-*n ag Vn J/jfs71故R =, elim=lim 7tVtt = lim - 0 .*f g n + 1)!a m + 1故 R = 8.5.将下列各函数展开为N的幕级数,并指出其收敛区域.1 +1)2； 解1 J- 1+之(6)e,（1）rrp;g-工定一心一关d&#；(4)ch s； (5)sin2N：二 1 (一 /)88=2（ 一文3） = （一1），0M-0原点到所有奇点的距离

38、最小值为底故|之| L=匕0/ - 向卜目6且圉 1， 即z min a. A b .若a = 8,则L = I_： =_(z - a)(z - b) (之一值户 z a / a -= (a(l-r/a) =(S*) =1；(*.s n-1=S ；+i，I 2 I a .启k i aC3)(1 + z2)2 = (rrp) =_虫(_/产)二- 1尸2一1T制=1二2(-1尸女2f, ui 1.ch-出产”伊*士守) 乙/ rt = O n =0 */T-T, 艺2打=修以rc . 2 I - cos 2r 11 v(2之尸 ” (- 1 尸知 z = 一2 =2 -2(2n)!_ X v(一

39、1)-2 *工- i/g一 一 2 2(2)!一令人)=/J(0)=1,二一（喜，1产/建 f二- 1i 芸-iri 七一 ”Z7 1 = -6 f() 4f(w) _ fG 尸 _ (w - 1)4)(z-l)3 (z _ 1产 * ! f =1 - 27 - jy.因为1为一(文)的唯二奇点,原点到1的距离为 R L6.证明对任意的凡有归七-l|WeMz证因为二母耳，底|+8所以HtI=*三-1 网三4rt , 国融6 I-=S：,八詈一 rt 1R 1 1又因为；e 一1 = 1芝l + a/wy +-=旧(1 +可/+十十N尸 +胃 2+ )=1心 所以le - l!e!z| 一 1国

40、 |z7.求卜列函数在指定点与处的泰勒展式.(1)七，之o = 1;(2)sin 史，交口 =(3)4-3/ 和一 1 + 订(4)tan之，z(y 解七)。0) = 1鼠故收敛半径IJLL*卜) g 1 J .1;nT1，(之f(z)-尸去，f(0)(2)sin z = ain =sin=cos+ sin314)令 f(w)=f (z) = (tan z(土 个=(瞿-(lTTTt) 一7gg -2(- A .小 _1尸7e = 11 尸d 1)(-DZ 7 T L 国二。(七一1+1)(z - 1 )eos 1 + sin 1 cos(- 1)if1-1乃川(-1W + 1)!田产一尸一|

41、1 3)=1,y = 1 sin z _ CDBZ-t sincos zjcoe?Nr 仔)=z1一 2 /、 2tanH八 oI =/x)=可，(亦2._) _ 2_(.) “ cos?_ 2_/(z)2cos 您(-sin q)c /cos4 %16,2f (2)cos 之 + 4 f(之)sin h3COS史故tan z = 1 + 2(z - y) + 2(z -彳尸十7Z之一彳8.将下列各函数在指定圆环内展开为洛朗级数.N + 1L 1),01,1 zx2elzS0 kl之上一2之十屋-2)(z2 + 1)A | 2；(4)解1COSi，o I(1)0 屋 | 1时,znt+ 1z2(z - 1)OO芸+ 1时,01 / 1,(2)z2eTt =0/r、 z2 - 2之 + 5 (3)(72)171)1 1z 2271=1 +x72 !21 1 /Ez2 + 11十WzLk口上胃fi = Q 工f=- f悬+ 尸，忐，1|m 2.(4) G | 注一 11 8 时，T _Li el-