初等数学中的因式分解及其教学文献综述

1、毕业论文文献综述数学与应用数学初等数学中的因式分解及其教学1、 前言部分 （说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）因式分解是初高中数学衔接内容的重点知识，熟悉掌握因式分解常用方法，对其进行总结及拓展， 不仅能提高学生对所学知识的迁移及应用能力， 还能培养学生学习高中数学的兴趣。 本课题拟对初等数学中因式分解的思想、 方法、 应用、教学等进行系统的归纳分析， 为学生对因式分解这一知识点的掌握与教师的相关教学提供一定的帮助。单博1在因式分解技巧一书中将因式分解定义为：“把一个整式写成几个整式的乘积” 。他提到在初中数学中，因式分解十分重要。一方面，它承上启下，学习它，既

2、可以复习整式的四则运算，又为下一步学习分式打好基础，对等式的恒等变形、 方程的求解等等也是不可缺少的； 另一方面， 因式分解的问题变化万千，方法灵活多样，有助于培养学生的观察能力、运算能力和创造能力，因此它是初中数学竞赛的重要内容。本文综述了因式分解中蕴含的数学思想，初等数学中因式分解的方法和应用， 学生在因式分解中的常见错误及其成因和因式分解教学中存在的问题及其对卒策。2、 主题部分 （阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）前人对因式分解的研究已有很多，他们认为：因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。

3、刘顿 2在因式分解中的数学思想一文中认为：数学思想是数学解题的灵魂。在因式分解过程中蕴含着许多数学思想（ 1、整体思想；2、类比思想；3、转化思想；4、换元思想），如果能灵活地运用这些数学思想， 往往能更好地解决因式分解问题。在引入因式分解和数学思想的定义后，研究者对因式分解的方法总结如下：1、提公因式法提公因式法是因式分解中最基本的方法， 用这种方法进行因式分解的关键是确定多项式的公因式各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积， 同时要注意：公因式要提尽；小心不要漏掉“ 1”；首项取正号；公因式是多项式时，要留心符号问题。2、公式法运用公式法分解因式， 关键是观察多项式的项数、各项的次数

4、和系数是否符合公式的特点， 若多项式是二项式， 可考虑运用平方差公式； 若多项式是三项式，可考虑运用完全平方公式。 在运用公式法分解因式时，要注意：先观察是否有公因式可提，然后再考虑是否符合公式的形式；公式中的字母，可以表示一个数、一个单项式或者一个多项式。3、分组分解法一般情况下， 当多项式的项数达到四项或四项以上时， 通常用分组分解法进行因式分解。 应用分组分解解法的关键是如何分组， 分组的原则是： 各小组能分解或有的小组能分解； 组间能继续分解， 我们现在学习的是分组后能提公因式或运用公式法进行分解。4、十字相乘法十字相乘法是针对ax2bxc型二次三项式的一种因式分解法。使用该方法应注意

5、：分解常数项时，要留心所分解两因数的符号； “十字”交叉相乘的积的和为一次项系数。5、换元法换元法是数学中常见的一种方法， 在有些问题中， 若把某个量看作另一个整体（即换元），就更方便。这种换元的方法，就是在研究和解决数学问题时采取迂回的手段，即把将要解决的问题进行变换，将复杂的问题转化成简单的问题，将难的问题转化成容易的问题， 将未解决的问题转化成已解决的问题， 从而达到解决问题的目的。 36、拆项与添项，重新整理法对于一些多项式， 如果不能直接因式分解时， 可以将其中的某项拆成二项之差或之和， 再应用分组法， 公式法等进行分解因式， 其中拆项、 添项方法不唯一，可有许多不同途径，对题目一定

6、要具体分析，选择简捷的分解方法。7、待定系数法待定系数法是解决代数式恒等变形中的重要方法， 如果能确定代数式变形后的字母框架， 只是字母的系数不能确定， 则可先用未知数表示字母系数， 然后根据多项式的恒等性质列出 n 个含有特殊确定系数的方程 （组） ， 解出这个方程 （组）求出待定系数。 4李良庆 5 在试述因式分解在中学代数中的地位一文中介绍了以下几种应用：1、分式上的应用分式是两个整式相除的商。 它是在学生掌握了整式四则运算、 多项式因式分解及一元二次方程解法等知识基础上引进的。 学生正确进行分式运算在于掌握通分和约分的方法。2、在不等式上应用 :对不等式组而言，从解的图象能很方便帮助我

7、们确定不等式组的解，而在中学代数中学到一元二次不等式时， 就是通过分解因式， 把原命题归结为解两个不等式组的问题来解决的。3、在方程组上应用 :在一元二次方程中因式分解是广泛采用的。 对于方程组中学代数中所研究的主要是二元、 三元一次方程组和特殊类型的二元二次方程组。 下面主要谈谈因式分解在二元二次方程组成的方程组上的应用。曾毓芳 6 在论因式分解的教育通过因式分解应用贯穿初中数学知识点 一文中将因式分解的讲解融入到其他初中数学知识点的教学之中， 以下就列举了联系比较紧密的8个知识点并予以举例分析，它们分别是：1、解方程； 2、求值； 3、分式；4、不等式；5、根式；6、几何问题；7、方程组。

8、因此，作者认为， 因式分解的教育应该遵从图式理论， 将因式分解的图式与其他知识点的图式有机的结合起来， 在以后的学习过程中让学生自觉地相互巩固， 不断完善关联知识点 , 做到真正的融会贯通。陈振良 7 在因式分解在三角形问题中的应用一文中认为：因式分解与三角形是初中数学中的两个重要内容。 在数学学习中，因式分解与三角形一般分开讲授，但解题时，有时需要把二者联系起来，才能准确求解，并举例说明了因式分解在三角形问题中的几个应用： 1、 判断三角形的形状； 2、 求三角形的边长；3、证明不等式关系。孟坤 8在关注因式分解新题型一文中提到：在新课改理念下，因式分解的考查方式已不再是纯粹的分解因式， 一

9、些新颖别致的创新题在中考试题中频频出现。并举例说明如下： 1、开放创新题；2、分解求值题；3、数形结合题；4、实际应用题；5、辨析改错题；6、阅读理解题；7、规律探究题。李玲 9在因式分解学习中常见错误分析一文中将因式分解的常见错误归纳为： 1、概念混淆不清； 2、提取出错； 3、符号出错； 4、分解不彻底；5、系数出错； 6、只做局部分解；7、公式运算错误；8、分解方法不熟悉。陈守磊 10在初中数学因式分解教学之管见一文中提到：明确因式分解的意义是学好这一课题的先决条件。 学生由于不明确因式分解的意义， 而经常出现下列一些错误： 1、混淆了乘法运算和因式分解；2、只“分解”多项式的某儿项；3

10、、不知分解到何时为止。尤其把“不会”与“不能”混淆，以为不会分就是不能分了。本文并针对以上情况，提出了可采用的措施： 1、类比分解质因数提出分解多项式的问题， 并且指出多项式因式分解是把一个多项式分成几个整式的积的形式。再对比说明，乘法运算是把几个整式“乘出来”。 2、要用实例使学生了解，尚能分解时，还要继续分解下去，直到每个因式不能分解为止。杨杰11在初中数学因式分解内容的教学分析一文中提到：分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。 其教育价值还体现在使学生接受对立统一的观点，培养学生善于观察、善于分析、正确预见、解决问题的能力。文中还提出了对因式分解教学的建议及教学中应注意的问题的

11、说明。张立臣 12在因式分解教学之管见一文中提到：因式分解是初中教学的难点。它前与“整式乘除”后与“分式运算”有着密切的联系。对于学生而言，上一章的整式运算通过法则、 公式的教学， 似乎是有章可循的。 因式分解则不然，涉及内容面广、方法灵活，学生难于把握。因此在初期阶段的教学当中，必须把握好教学过程中讲解的深度和难度， 强化因式分解常规方法的教学， 做到讲课不超纲， 选题不离纲； 利用因式分解和整式乘法的互为逆变形关系， 以提取公因式法为突破口， 逐步过渡到公式法、 十字相乘法和分组分解法； 坚持以教科书为蓝本，质量检测为依据，对教材、质量检测中的基础题有重点地让学生练习，从而树立学生学习数学

12、的自信心，让他们感觉到因式分解“有法可依”，激发他们学习数学的热情。张汉斌 13在整体感悟，逐步分化掌握初中数学“因式分解”教学的整体设计 一文写到： 基于因式分解内容的重要性， 我们需要深刻反思传统的因式分解教学中存在的问题， 重新思考和认识该教学内容对于学生成长发展的教育价值， 并努力探究其体现育人价值的教学实践新体态。 最后还提到了教学中应注意的问题： 一是关注学生在整体感悟中的结构把握； 二是关注学生在逐步分化中的判断与选择意识的培养。轩师敏 14在关于“因式分解”的教学设计一文中提到：根据数学课程标准 的具体要求， 本着让学生在课堂上真的动起来的原则， 充分发挥学生的观察、分析、判断

13、、理解运用的能力，对因式分解实施了开放式教学，引导学生体会知识的发生、发展过程，鼓励学生充分动脑、动口、动手、积极参与到教学中来，充分发挥学生的主体作用。其教学流程： 1、提出问题，创设情境； 2、分析讨论，探究新知；3、独立练习，巩固新知；4、例题教学，运用新知；5、强化训练，掌握新知；6、变化训练，扩展新知；7、整理知识，形成结构；8、课后作业，消化新知。梁彩英 15在在因式分解教学中体现创新思维一文中提到：激发学生的创新思维， 培养和提高学生的创新能力， 在素质教育的今天， 已被越来越多的教师运用在教学实践中。 在数学课堂上， 如何体现这种新观念， 以下列举了在因式分解教学中的一些尝试：

14、 1、不断尝试，拓宽思路； 2、运用换元，开启思维； 3、 运用变化，达到引申； 4、拆项补项，巧作分解。这些尝试的优点在于把一个个看上去相对封闭的题目放到一个相对宽泛的视野中， 目的在于寻求一种解题的质量， 寻求一种在掌握因式分解规律之上的解题大智慧， 学生的学习水平和解题能力也得到大幅度提高， 更多地掌握解题技巧和方法， 有了扎实的解题基础， 再有 广阔的视野，创造性思维的形成就是水到渠成的事情了。3、 总结部分 （将全文主题进行扼要总结，提出自己的见解并对进一步的发展方向做出预测）数学作为一种创造性活动不仅拥有真理， 而且拥有至高无上的美。 因式分解是初等数学中的一个重要的恒等变形问题，

15、 它在数学应用中的随处可见性使得其成为学生在中学阶段必须要掌握的工具性的数学知识。 本文主要阐述了初等数学中的因式分解的概念、 方法和应用及其教学的相关知识， 首先论述了因式分解的概念， 通过查阅各种相关教材、 文献， 系统归纳和总结了因式分解的典型方法及其在分式运算、数的计算、解方程、解不等式和一些几何问题中的应用。本文还阐述了学生在解题时常常出现的问题， 并说明了出现这些问题的原因。 在对出现这些问题的原因进行反思后， 研究者们又提出了一些新的教学设计， 如： 开放式教学等。 当然随着教学经验的不断积累会有更好的教学设计出来， 对因式分解的研究也将更加深入、透彻。（根据文中参阅和引用的先后

16、次序按序编排）1单增.因式分解技巧M.上海：华东师范大学出版社,2005. 4.2刘顿.因式分解中的数学思想J.课程资源：40-41. 3 肖联春 . 对因式分解问题的再探讨 J. 数学教学 . 2009， 6（ 中旬刊 ） ： 142， 162. 4 葛香珠 . 因式分解教学谈J. 南平师专学报. 2007， 26（ 4） ： 136-138. 5 李良庆 . 试述因式分解在中学代数中的地位 J. 安庆师范学院学报（自然科学版） ， 1999， 5（ 4） ： 98-100. 6 曾毓芳 . 论因式分解的教育通过因式分解应用贯穿初中数学知识点 J.双语学习 . 2007， 12： 132-1

17、33. 7 陈振良 . 因式分解在三角形问题中的应用 M. 中学生数理化， 2007. （ 11） ：25. 8 孟坤 . 关注因式分解新题型 J. 中学数学杂志（初中） ， 2007， （ 6） ： 56-57. 9 李玲 . 因式分解学习中常见错误分析 J. 中国科教创新导报， 2010， （ 24） ： 55-56. 10 陈守磊 . 初中数学因式分解教学之管见 J. 景德镇高专学报， 2002， 17（ 4） ： 69-70. 11 杨杰 . 初中数学因式分解内容的教学分析 J. 新课程 （教师版） ， 2010，（ 6） ：74. 12 张立臣 . 因式分解教学之管见 J. 河北理科

18、教学研究， 2004， （ 2） ： 56-58. 13 张汉斌 . 整体感悟， 逐步分化掌握初中数学 “因式分解” 教学的整体设计J.基础教育，2006, 3: 63-64. 14 轩师敏 . 关于“因式分解”的教学设计 J. 教学案例， 2004， 1： 10-11. 15 梁彩英 . 在因式分解教学中体现创新思维J. 高等函授学报（ 自然科学版） ，2004， 6： 57-58. 16 吕希元 . 新课标下的因式分解在高中的拓展 J. 科教文汇，2010， 2： 74，76. 17 田载今 . 因式分解小议 J. 中学生数理化， 2007， （ 12） ： 7-10. 18 吴远梅 . 这样分解因式，对吗？ J. 数学基础精讲，2007， （ 11） ： 9. 19 罗玮玮 . 关于“十字相乘法”是否应保留的一点思考 J. 教学在线，2005：5. 20 刘顿 . 公式法分解因式的 “八先” J. 数学基础精讲，2007， （11） ： 10，