2013江苏高考数学含答案

1、2013年普通高等学校统一考试试题(江苏卷)一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位 置上。1 .函数y =3sin(2x+)的最小正周期为 4【答案】兀【解析】T=>尸白尸兀222 .设z=(2-i) (i为虚数单位)，则复数 z的模为【解析】z= 3 4i)i2=1)| z |=二223,双曲线 巳-2一=1的两条渐近线的方程为1693【答案】y = _3x4【解析】令：二匕=0 ,得y =±/%169164 .集合 -1,0,1共有 个子集.【答案】8【解析】23=8.5 .右图是一个算法的流程图，则输出的n【答案】3【解析】n=

2、 1, a=2, a= 4, n=2; a= 10, n=3; a = 28, n = 4.6.抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩(单位：环)，结果如下:运动员A次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为【答案】289 90 91 88 92【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：x = 90 .522222卡至4._2 _ (89 -90)2(90 -90)2(91 -90)2(88 -90)2(92 -90)2_ 9力左力： S 二二27.现在某类病毒记作 XmYn,其中正整数m , n ( m<7,

3、 n <9)可以任意选取，则m, n都取到奇数的概率为【答案】2063【解析】m取到奇数的有1, 3, 5, 7共4种情况；n取到奇数的有1, 3, 5, 7, 9共5种情况，则m, n都取到奇数的概率为= 20.7 9638.如图,在三棱柱 ABiG ABC中，D, E, F分别是AB, AC, AA的中点，设三棱-ADE的体积为V1 ,三棱柱A1B1G - ABC的体积为V2,则V1 :V2 =1: 24三棱锥F -ADE与三棱锥 A1 ABC的相似比为1: 2,故体积之比为1: 8.又因三棱锥 A1 - ABC与三棱柱 AB1cl - ABC的体积之比为1 ： 3 .所以，棱锥F

4、A D E与AB1cl ABC的体积之比为1： 24.2 .9.抛物线y=x在x =1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部和边界）.若点P（x, y）是区域D内的任意一点，则x + 2y的取值范围是- 一1【答案】-2, 2 2 1 Z【解析】抛物线 y=x在x=1处的切线易得为 y=2x 1,令z= x+2y , y= "2 x+ 2 ._1Zmax - 2 ,BE =-BC ,3若DE =%AB +%AC（ % %为实数），则A 十九2的值为2 一(BA AC)【解析】DE 二 DB BE 二AB BC =AB233所以，,1,611.已知f(x)是定义在R上的

5、奇函数。当x>0时，f(x) = x24x,则不等式f (x) x的解集用区间表示为【答案】(5, 0) U(5, +8)【解析】做出f(x) =x2 -4x (x >0)的图像，如下图所示。由于f(x)是定义在R上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出XV 0的图像。不等式f(x)>x，表示函数y= f (x)的图像在y = x的上方，观察图像易得：解集为 (-5, 0) U(5, +8)。12.在平面直角坐标系> 0,b > 0),右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线 BF的距离为di , F至ij l的距离为d2,若d2= &l

6、t;6di,则椭圆C的离心率为【解析】如图,由等面积得:“ 、3【答案】 3_ 2a ，,两边同除以：底匹，整理得：V6a2 -ab -v'6b2 =0 a=0 ,解之得：b=,所以，离心率为：e =a 3113.在平面直角坐标系 xOy中，设定点A(a,a) , P是函数y =- ( x>0)图象上一动点, x若点P, A之间的最短距离为2J2 ,则满足条件的实数a的所有值为【答案】1或*开0【解析】14.在正项等比数列an中，a51=一，a6 + a7 = 3 ,则满足 2a1 + a2 + an > a1a/"an 的最大正整数n的值为【答案】12【解析】设

7、正项等比数列an首项为a1,公比为q,则：<1a1q4=2，得：a=ag。 q) = 332 ，q= 2, an= 26 n.记 Tn = a1 +a2 +- an2n ,1 上.5 ，口 n=a1a2an = 22.TnAHn,22n(n 加则2->2 2 ，化简得：252n -121n2 J1n 61 2 112 2，当 n一n n+5 时，2213121n 二2%12 .当n=12时,丁12 >口12,当 n=13 时，T13 < n 13 ,故 nmax= 12 -二、解答题：本大题共 6小题，共计字说明、证明过程或演算步骤.90分.请在答题卡指定区域内作答，解

8、答时应写出文15.(本小题满分14分)已知 a=(cosa,sina), b = (cosP ,sin P) , 0<P<a<n.(1)若 | a -b |= J2,求证：a_Lb；(2)设 c =(0,1),若 a+b = c,求 o(,P 的值.解： (1) a b=(cos> cos 8 sin a sin 份,|a一b|2= (cos a cos 2 + (sin a sin 92=2 2(cos a- cos 叶sin a- sin 9 = 2,所以,cos a - cos 叶 sin a sin 3= 0,所以,(2) 3cos ： - cos : = 0s

9、in .：> ； sin : = 1,2+ 2 得：cos(a 3 = 2 .带入得：sin( 2 n + + sin 3= cos / g sin B= sin(F 9=1,32233c H3=6所以，a= 51,616 .(本小题满分14分)如图，在三锥SABC中，平面SAB_L平面SBC, AB _L BC , AS = AB ,过A作AF _LSB,垂足为F ,点E, G分别是棱SA, SC的中点.求证：(1)平面EFG平面ABC；SABA平面 SBC= BC,(2) BC ISA.证：(1)因为 SA= AB 且 AFSB, 所以F为SB的中点.又E, G分别为SA, SC的中

10、点， 所以，EF / AB, EG / AC.又 ABAAC=A, ABU 面 SBC, 所以，平面EFG平面ABC.(2)因为平面 SAB,平面SBC,平面AF 二平面 ASB, AF XSB.所以，AFL平面SBC.又BC仁平面SBC, 所以，AFXBC.又 ABBC, AF AAB= A, 所以，BCL平面SAB.又SA二平面SAB, 所以，BC ISA.如图，在平面直角坐标系 xOy中，点A(0,3),直线 l :y =2x 4.17 .(本小题满分14分)(1)若圆心C也在直线y = x1上,过点A作圆C的切线,设圆C的半径为1,圆心在l上.求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使M

11、A = 2MO ,求圆心C的横坐 标a的取值范围.y = x -1、，-解：(1)联立:7,得圆心为：C(3, 2).y=2x-4设切线为：y = kx + 3 ,d=13y=r=1'得：k=° or k 3_故所求切线为：y=0 or y = x 3=2、；x2 + y2 ,(2)设点 M(x, v),由 MA=2MO ,知:Jx2 +(y-3)24化简彳导：x2+（y+1）2=4,即：点M的轨迹为以（0, 1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆 D. 又因为点M在圆C上，故圆C圆D的关系为相交或相切.故：1W|CD|W3,其中 CD =a2 +(2a-3)2 .18.（本小题

12、满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点 A处下山至C处有两种路径。一种是从 A沿直线步行 到C,另一种是先从 A沿索道乘缆车到 B,然后从B沿直线步行到C .现有甲、乙两 位游客从A处下山，甲沿 AC匀速步行，速度为50m/min .在甲出发2min后，乙从 A乘缆车到B,在B处停留1min后，再从匀速步行到 C .假设缆车匀速直线运动的123速度为 130m/min,山路 AC长为 1260m,经测量，cosA =，cosC=.135解:19.(1)(2)(3)求索道AB的长；问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?为使两位游客在 C处互相等待的时间不超过 乙步行的速度应控制在什么范

13、围内？(1)如图作BDLCA于点D,设 BD = 20k,贝U DC = 25k, AD = 48k, AB=52k,由 AC=63k= 1260m, 知：AB=52k= 1040m.(2)设乙出发x分钟后到达点 M, 此时甲到达N点，如图所示.则：AM = 130x, AN = 50(x+2),由余弦定理得： MN2= AM2+AN2 2 AM 3分钟,ANcosA = 7400 x2 14000 x+ 10000,其中 0WxW8,当 x=3537(3)由(1)知：BC=500m,若甲等乙3分钟，则乙到此时乙的速度最小，且为:若乙等甲3分钟，则乙到此时乙的速度最大，且为:故乙步行的速度应控

14、制在（本小题满分16分）(min)时，MN甲到C用时:126C用时：- 586 500+7 5126c用时：- 5500+12507T，最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短.1260126方二(min) 14186+ 3=-5- (min),在BC上用时：石1250/o m/min .43111，一，563=-5- （min），在 BC 上用时："5(min).(min).565625d / m/min .14625 ,74 范围内.nSn2 +'n c设an是首项为a,公差为d的等差数列（d00）, 且是其前n项和.记bn =一 * 一、n = N，其中c为实数.2(1)右

15、c=0,且 b1, b2, b4成等比数列，证明：Snk = n Sk ( k,nw N)；(2)若bn是等差数列，证明：c=0.证：(1)若 c = 0,则 an =a+(n 1)d , Snn(n -1)d 2a- (n -1)d 2a,bn =当口，b2, b4成等比数列,b2即:2d a23 3d.2= aa + I,得：d = 2ad ,又 d12 )0Q,故 d =2a.222.2由此：Sn = n a , Snk = (nk) a = n k a , nSk2. 2=n k a故:Snk = n2Sk ( k ,n u N ).(2)bnnSnn2 (n -1)d +2ac(n

16、-1)d 2a c(n -1)d 2a格)若bn是等差数列，则bn = An + Bn型.观察(X)式后一项，分子哥低于分母哥,(n -1)d 2a故有:(n -1)d 2a0,而(n-1)d'2aw0,经检验，当c = 0时bn是等差数列.20.(本小题满分16分)设函数 f (x) =ln x ax , g(x) =ex ax ,其中 a为实数.(1)若f(x)在(1,收)上是单调减函数，且g(x)在(1,收)上有最小值，求a的取值范围;(2)若g(x)在(-1,+至)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论._.11解：(1) f(x)=aw0 在(1,收)上恒成立

17、，则 a > - , x u (1, +°°).故：a >1.g (x) =ex -a ,若 1W awe,则 g (x) =ex a >0 在(i,一)上恒成立,此时，g(x)=exax在(1,y)上是单调增函数，无最小值，不合；若a >e,则g(x)=exax在(1, lna)上是单调减函数，在 (ln a,十好)上是单调增函数，gmin(x) =g(lna),满足.故a的取值范围为：a >e.(2) g '(x) =ex a >0在(1,+=c)上恒成立，则 a w ex,一 1故：aw.e1 1 - axf (x) = - -a = (x > 0).x x11(i )右0v a w二，令f (x) >0得增区间为(0,二)； ea令f (x) <0得减区间为(1 , +oo).当 x一。时，f(x) 一 8;当 x一 + 8 时，f(x) 8; 1.1 1 一 . 一当x=a时，f(a )= - lna- 1>0,当